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1.3 解直角三角形（2）
课题 1.3 解直角三角形（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1. “坡比”与“坡角”的名词术语的理解；2．利用解直角三角形解决与坡度有关的问题．
重点 有关坡度的计算．
难点 例题4弯道处两栏的路程是指弧长，用皮尺尺测量弧长比较困难，所以确定B栏架的位置，要将弧长的测量转化为测量弦长．由于学生缺乏这方面的实践经验，难以想到这一转化，因此例题4是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】1复习回顾：在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这五个元素之间有什么关系？2. 问题1.填表(一式多变,适当选用): 已知两边求角及其三角函数已知一边一角求另一边已知一边一角求另一边 3.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，怎么描述倾斜程度呢？
新知讲解 提炼概念 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度．坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）．记作i，即i＝．坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．典例精讲 【例3】库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1︰2.5，斜坡AB的坡比为1︰3．求：（1）斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1 ，宽度精确到0.1m）；（2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方（精确到1m3）？【例4】体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？
课堂练习 巩固训练 1．小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了 ( ) 2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米3．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则tan α的值为 ( )4．如图，一段河坝的横断面是梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD.5.如图所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.(1)试说明△ABC∽△DBE；6.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB＝2m.已知木箱高BE＝1m，斜面坡角为 32°求木箱端点E距地面AC的高度（精确到 0.01m）.答案引入思考在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.提炼概念典例精讲 例3 解：（1）如图，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．在Rt△CDF中，tanD＝＝＝0.4，∴∠D≈21°48'．∴CF＝CD×sinD＝60×sin21°48'≈22.28（m）DF＝CD×cosD＝60×cos21°48'≈55.71（m）∵＝，∴AE＝3BE＝3CF＝66.84（m），∴AD＝AE＋BC＋DF＝66.84＋6＋55.71＝128.55≈128.6（m）．（2）设横断面面积为Sm2．则S＝(BC＋AD)×CF＝(6＋128.55)×22.28≈1498.9（m2），∴需用土石方V＝S l＝1498.9×150＝224835（m3）答：斜坡CD的坡角约为21°48'，坡底宽约为128.6m，建造这个堤坝需用土石方224835m3．例4 解：如图，连结AB，由题意，得＝45m，OB＝36.3m．设∠AOB＝n°，由弧长公式l＝，可以得到n＝＝≈71.03．作OC⊥AB于点C．∵OA＝OB，∴AC＝BC，∠AOC＝∠AOB＝35.52°．∴AB＝2AC＝2OA×sin∠AOC＝2×36.3×sin35.52°≈42.2（m）．答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m．巩固训练1.A2.B3.D4.解： 过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，AB＝10，BF＝CE＝8.∴AF＝6.在Rt△CDE中，tan α＝＝i＝.∴α＝30°且DE＝8，∴AD＝AF＋FE＋ED＝6＋9＋8＝15＋8.答：坡角α等于30°，坝底宽AD为15＋8.5.解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ACB＝∠DEB.又∵∠A＝∠D，∴△ACB∽△DEB.(2)连结OC，则OC＝OA，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠AOC＝120°.∵OF⊥AC，∴∠AFO＝90°.在Rt△AFO中，cos 30°＝＝，∴AO＝2.∴的长为 π·2＝π.6.
课堂小结 小 1.坡度与坡角2.应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：（1）弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系转化成直角三角形各元素之间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添国辅助线，得到直角三角形；（3）解直角三角形.
A
B
E
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1.3 解直角三角形（2）
课题 1.3 解直角三角形（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1. “坡比”与“坡角”的名词术语的理解；2．利用解直角三角形解决与坡度有关的问题．
重点 有关坡度的计算．
难点 例题4弯道处两栏的路程是指弧长，用皮尺尺测量弧长比较困难，所以确定B栏架的位置，要将弧长的测量转化为测量弦长．由于学生缺乏这方面的实践经验，难以想到这一转化，因此例题4是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1复习回顾：在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这五个元素之间有什么关系？2. 问题1.填表(一式多变,适当选用): 已知两边求角及其三角函数已知一边一角求另一边已知一边一角求另一边 3.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，怎么描述倾斜程度呢？ 思考自议利用解直角三角形解决坡度问题，体会三角函数在 实际生活中的应用； 将有关图形的计算问题化归为解直角三 角形问题来解决．
讲授新课 提炼概念讲解概念：（1）坡度的概念， 如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。三、典例精讲例1、一水库大坝的横断面是梯形ABCD，测得坝顶BC宽6m，斜坡CD长为60米，斜坡CD的坡度 r=1：2.5，斜坡AB的坡度i=l：3， 求：（1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米） (2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)解：（1）如图，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．在Rt△CDF中，tanD＝＝＝0.4，∴∠D≈21°48'．∴CF＝CD×sinD＝60×sin21°48'≈22.28（m）DF＝CD×cosD＝60×cos21°48'≈55.71（m）∵＝，∴AE＝3BE＝3CF＝66.84（m），∴AD＝AE＋BC＋DF＝66.84＋6＋55.71＝128.55≈128.6（m）．（2）设横断面面积为Sm2．则S＝(BC＋AD)×CF＝(6＋128.55)×22.28≈1498.9（m2），∴需用土石方V＝S l＝1498.9×150＝224835（m3）答：斜坡CD的坡角约为21°48'，坡底宽约为128.6m，建造这个堤坝需用土石方224835m3．过梯形上底的端点作梯形的高线是将有关梯形的计算问题划归为解直角三角形问题的常用辅助线，在教学后要引导学生加以总结，锐角三角形或钝角三角形的高线，也是将问题转化为，解直角三角形的常用辅助线．例2、例4. 体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m.在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（ π取3.14，结果精确到0.1m）.提醒： 要解决本题，先要理解弯道弧线是圆的一部分.解：如图，连结AB，由题意，得＝45m，OB＝36.3m．设∠AOB＝n°，由弧长公式l＝，可以得到n＝＝≈71.03．作OC⊥AB于点C．∵OA＝OB，∴AC＝BC，∠AOC＝∠AOB＝35.52°．∴AB＝2AC＝2OA×sin∠AOC＝2×36.3×sin35.52°≈42.2（m）．答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m．例4教学中可引导学生结合图形加以分析，如果有条件，可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的距离，引导学生将较难测量的，弧长转化为方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题，而根据弧长求弦长，又可化归为用两条半径和弦AB构造等腰三角形，再作等腰三角形的高线，将求弦长的计算问题划归为解直角三角形问题来解决．联系弧长和弦长的关键量是所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数．对于中间运算中的量，可以不取近似值，到最后按题目要求取近似值，也可以向学生补充中间运算取近似值比结果要求多取一位的通常做法． 搞清楚坡角、坡比(度)等各词的含义；将等腰梯形分割成矩形和直角三角形． 会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决.
课堂检测 四、巩固训练1．小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了 ( ) 1.A2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米2.B3．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则tan α的值为 ( )3.D4．如图，一段河坝的横断面是梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD.解： 过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，AB＝10，BF＝CE＝8.∴AF＝6.在Rt△CDE中，tan α＝＝i＝.∴α＝30°且DE＝8，∴AD＝AF＋FE＋ED＝6＋9＋8＝15＋8.答：坡角α等于30°，坝底宽AD为15＋8.5.如图所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.(1)试说明△ABC∽△DBE；解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ACB＝∠DEB.又∵∠A＝∠D，∴△ACB∽△DEB.(2)连结OC，则OC＝OA，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠AOC＝120°.∵OF⊥AC，∴∠AFO＝90°.在Rt△AFO中，cos 30°＝＝，∴AO＝2.∴的长为 π·2＝π.6.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB＝2m.已知木箱高BE＝1m，斜面坡角为 32°求木箱端点E距地面AC的高度（精确到 0.01m）.
课堂小结 1.坡度与坡角2.应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：（1）弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系转化成直角三角形各元素之间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添国辅助线，得到直角三角形；（3）解直角三角形.
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浙教版 九年级上
1.3 解直角三角形（2）
新知导入
情境引入
C
A
B
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
新知导入
合作学习
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要明斜坡的倾斜程度.
h
l
h铅垂高度
l水平长度
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做
坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i = tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
提炼概念
典例精讲
新知讲解
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
例3.一水库大坝的横断面是梯形ABCD，测得坝顶BC宽6米，斜坡CD长为60米，斜坡CD的坡度i1=1∶ 2.5 ，斜坡AB的坡度i2＝1∶3.
求：（1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米）
(2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
分析：
由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线.垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度，通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CFD.
解;(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足
在RtACFD中，
∴ ∠D≈21°48′.
∴ CF= CD ·sin D=60 × sin 21°48′≈22.28( m)
DF= CD·cosD=60 × cos21°48′≈55.71( m)
∴ AE=3BE=3CF=66.84(m),
∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
= 66.84+6+55.71=128.55≈128.6 ( m)
(2)横断的面积 S= (BC+AD)×CF÷2
=(6+128.55) ×22.28÷2
≈1498.9(m2),
需用土石方V=SL=1498.9×150=224835(m3).
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为 128.6m，建造这个大坝需用土石约为224835m3.
(2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
归纳概念
（1）弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型；
（3）解直角三角形.
应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
（2）将实际问题中的数量关系转化成直角三角形 各元素之间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添国辅助线，得到直角三角形；
例4：体育项目400m栏比赛中,规定相邻两栏架的路程为45m.在弯道处,以跑道离内侧0.3m处的弧线(如图中的虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m.问在设定A栏架后,B栏架离A栏架的距离是多少（结果精确到0.1m）
36
36.3
O
A
B
路程为45m
弧长AB为45m
圆心角∠AOB的大小
36.3
36
O
A
B
45
解:
连结AB,
由题意得
作OC⊥AB于C.
∵OA＝OB,
∴AC＝BC,
∴AB＝2AC=2OAsin∠AOC
答:B栏架离A栏架的距离约为42.2m.
C
课堂练习
A
1．小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了 ( )
课堂练习
2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米
D．AB= 米
B
3．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则tan α的值为 ( )
D
4．如图，一段河坝的横断面是梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD.
5.如图所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.
(1)试说明△ABC∽△DBE；
解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ACB＝∠DEB.
又∵∠A＝∠D，
∴△ACB∽△DEB.
(2)连结OC，则OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠AOC＝120°.
∵OF⊥AC，∴∠AFO＝90°.
6.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB＝2m.已知木箱高BE＝1m，斜面坡角为 32°求木箱端点E距地面AC的高度（精确到 0.01m）.
A
B
C
E
答：木箱端点E距地面AC的高度约为 1.91m．
解：连结AE，过点E作AC的垂线，垂足为点F．
在Rt△ABE中，
在Rt△ABC中，
F
课堂总结
感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题
的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”)
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
