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浙教版 九年级上
1.3 解直角三角形（3）
新知导入
情境引入
引例：灯塔上发现在它的南偏东30°，距离500m的A处有一艘船，该船向正西方向航行，经过3分钟到达灯塔西北方向的B处，求这船的航速是每时多少千米（ 取1.7)
新知导入
合作学习
提炼概念
如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
典例精讲
新知讲解
例5 海防哨所0发现,在它的北偏西300,距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向,经过3分时间后到达哨所东北方向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精确到1km/h)
北
东
300
450
O
A
B
500m
3分
500
北
东
300
450
O
A
B
C
解:
在Rt△AOC中,
OA＝500m, ∠AOC＝300,
∴AC＝OAsin∠AOC
＝500sin300
＝500× ＝250 (m).
3
2
3
在Rt△BOC中, ∠BOC＝450,
＝500×0.5＝250(m)
∴OC＝OAcos∠AOC
∴BC＝OC＝
250 (m).
3
∴AB＝AC+BC
＝250+
250
3
∴250 (1+ ) ÷3×60
3
3
＝250(1+ ) (m).
≈14000(m/h)
＝14(km/h)
答:船的航速约为14km/h.
例6 如图，测得两楼之间的距离BC为32.6米,从楼顶点A观测点D 的俯角为35012′，点C 的俯角为43°24′。求这两幢楼的高度.（精确到0.1m）
解：如图，作DE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，∠ACB＝∠FAC＝43°24 ，
∴AB＝BC×tan∠ACB
＝32.6×tan43°24 ≈30.83≈30.8（m）．
在Rt△ADE中，
∠ADE＝∠DAF＝35°12 ，DE＝BC＝32.6（m）．
∴AE＝DE×tan∠ADE＝32.6×tan35°12'≈23.00（m）．
∴CD＝AB－AE≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m）．
答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m．
归纳概念
1．弄清俯角、仰角、方位角等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题.
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 ( )
D
课堂练习
2．如图所示，两建筑物AB和CD的水平距离为30 m，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______m(用根号表示)．
4.在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．
5.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B
A
D
F
60°
30°
12
B
A
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
在Rt△ABF中，
解得x=6
10.4 > 8没有触礁危险.
30°
60°
课堂总结
知识小结
1．弄清俯角、仰角、方位角等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题.
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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1.3 解直角三角形（3）
课题 1.3 解直角三角形（3） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.理解方位角、仰角与俯角的概念；2．运用解直角三角形来解决方位角问题；3．运用解直角三角形来解决仰角、俯角问题．
重点 解直角三角形的运用．
难点 例5，例6均需化归为解两个直角三角形问题．但例6涉及的两个直角三角形交叠在一起，图形和计算都较例5复杂，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题引例：灯塔上发现在它的南偏东30°，距离500m的A处有一艘船，该船向正西方向航行，经过3分钟到达灯塔西北方向的B处，求这船的航速是每时多少千米（ 取1.7) 思考自议能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中各 元素之间的关系。 将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题是的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形往往由视线、水平线和铅线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定。
讲授新课 提炼概念如图，在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
三、典例精讲【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处．求船从A处到B处的航速（精确到1km/h）．分析：对没有附图的测量问题，一般我们可先根据题意画出示意图．由示意图可以看出，要求船的航速，只需求出A，B间的路程，这可化归为解Rt△AOC与Rt△BOC．解：根据题意画出示意图，如图在Rt△AOC中，OA＝500m，∠AOC＝30°，∴AC＝OAsin∠AOC＝500×sin30°＝500×＝250（m），OC＝OA×cos∠AOC＝500×cos30°＝500×＝250（m）在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝250（m），∴AB＝AC＋BC＝250＋250＝250(1＋)（m）．∴船的航速为250(1＋)÷3×60≈14000（m/h）＝14（km/h）．答：船从A处到B处的航速约为14km/h．在例5的教学中，首先引导学生分析题意，联系速度、时间和路程的关系．已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题．然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和积累的经验之处．【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12 ，点C的俯角为43°24 ．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）． 解：如图，作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，∠ACB＝∠FAC＝43°24 ，∴AB＝BC×tan∠ACB＝32.6×tan43°24 ≈30.83≈30.8（m）．在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAF＝35°12 ，DE＝BC＝32.6（m）．∴AE＝DE×tan∠ADE＝32.6×tan35°12'≈23.00（m）．∴CD＝AB－AE≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m）．答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m．例6中，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A楼边沿的铅垂线构成直角三角形，可直接求得A楼的高度．D楼的高度不能直接求得，需由条件先求出A，D两幢楼的落差，再由此求得D楼的高度．因此，解决本例的关键是以点A观察点D的视线为你斜边，适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，其构造方法除课本给出的方法外，还可以采用过D向水平线AF作垂线．教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点与便捷性，鼓励学生积极探索，使学生成为主动的、富有个性的过程．例题教学后可引导学生进行总结．将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题是的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形往往由视线、水平线和铅线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有正确的理解和想象，并出来这些线．讲解时教师要具体展示例题中示意图是怎样画出来的，并让学生逐步学会根据题意画示意图的方法．画示意图在用解直角三角形解决实际问题中是十分关键的一步． 找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把实际问题化为解直角三角形的问题． 在非直角三角形中，添加辅助线得到直角三角形，进而解直角三角形．
课堂检测 四、巩固训练1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 ( )1.D2．如图所示，两建筑物AB和CD的水平距离为30 m，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______m(用根号表示)．3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)解： 过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，可得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝66 m.在Rt△ADB中，由tan ∠BAD＝，得BD＝AD·tan ∠BAD＝66×tan 30°＝66×＝22.在Rt△ADC中，由tan ∠CAD＝，得CD＝AD·tan ∠CAD＝66×tan 60°＝66×＝66，∴BC＝BD＋CD＝22＋66＝88≈152.2(m)．答：这栋楼高约为152.2 m.4.在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．解：如图．解法一：设树高CD为x（m），则(6＋x)2＋x2＝4x2，解得x1＝3－3（舍去），x2＝3＋3≈8.2．答：树高约为8.2m．解法二：设树高CD为x（m），在Rt△ACD中，tan30°＝＝，则AD＝．同理，在Rt△BCD中，BD＝．
由AB＝AD－BD＝6，得－＝6，解得x≈8.2．答：树高约为8.2m．5.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4 > 8没有触礁危险
课堂小结
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1.3 解直角三角形（3）
课题 1.3 解直角三角形（3） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.理解方位角、仰角与俯角的概念；2．运用解直角三角形来解决方位角问题；3．运用解直角三角形来解决仰角、俯角问题．
重点 解直角三角形的运用．
难点 例5，例6均需化归为解两个直角三角形问题．但例6涉及的两个直角三角形交叠在一起，图形和计算都较例5复杂，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】引例：灯塔上发现在它的南偏东30°，距离500m的A处有一艘船，该船向正西方向航行，经过3分钟到达灯塔西北方向的B处，求这船的航速是每时多少千米（ 取1.7
新知讲解 提炼概念 如图，在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
典例精讲 【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处．求船从A处到B处的航速（精确到1km/h）．【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12 ，点C的俯角为43°24 ．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）．
课堂练习 巩固训练1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 ( )2．如图所示，两建筑物AB和CD的水平距离为30 m，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______m(用根号表示)．3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)4.在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．5.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案引入思考提炼概念根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题，这是解决问题的关键，也是教学中要让学生重点体验和积累的经验之处．典例精讲 例5 解：根据题意画出示意图，如图在Rt△AOC中，OA＝500m，∠AOC＝30°，∴AC＝OAsin∠AOC＝500×sin30°＝500×＝250（m），OC＝OA×cos∠AOC＝500×cos30°＝500×＝250（m）在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，∴BC＝OC＝250（m），∴AB＝AC＋BC＝250＋250＝250(1＋)（m）．∴船的航速为250(1＋)÷3×60≈14000（m/h）＝14（km/h）．答：船从A处到B处的航速约为14km/h．例6解：如图，作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，∠ACB＝∠FAC＝43°24 ，∴AB＝BC×tan∠ACB＝32.6×tan43°24 ≈30.83≈30.8（m）．在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAF＝35°12 ，DE＝BC＝32.6（m）．∴AE＝DE×tan∠ADE＝32.6×tan35°12'≈23.00（m）．∴CD＝AB－AE≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m）．答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m．巩固训练1.D2.3.解： 过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，可得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝66 m.在Rt△ADB中，由tan ∠BAD＝，得BD＝AD·tan ∠BAD＝66×tan 30°＝66×＝22.在Rt△ADC中，由tan ∠CAD＝，得CD＝AD·tan ∠CAD＝66×tan 60°＝66×＝66，∴BC＝BD＋CD＝22＋66＝88≈152.2(m)．答：这栋楼高约为152.2 m.4.解：如图．解法一：设树高CD为x（m），则(6＋x)2＋x2＝4x2，解得x1＝3－3（舍去），x2＝3＋3≈8.2．答：树高约为8.2m．解法二：设树高CD为x（m），在Rt△ACD中，tan30°＝＝，则AD＝．同理，在Rt△BCD中，BD＝．
由AB＝AD－BD＝6，得－＝6，解得x≈8.2．答：树高约为8.2m．5.解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4 > 8没有触礁危险
课堂小结 小
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