四边形中四朵“姊妹花”

四边形中四朵“姊妹花”
------教学随笔
为考查学生的阅读理解能力，分析和解决问题的能力，许多中考试题，都是我们课本上的改编题。往往在原题的基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些我们不熟悉的命题。有效地考查了同学们的数学思维能力，体现了新课程理。下面类举四边形中四朵“姊妹花”，仅供参考。
一．姊妹花之一：勾股四边形
例一：我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ，
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)， A(3,0)，B(0,4)，请你在图中画出以格点为顶点，OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图（2），将⊿ABC绕顶点B按顺时针方向旋转600，
得到⊿DBE，连结AD,DC，∠DCB=300．求证：DC2+BC2=AC2，
即四边形ABCD是勾股四边形．
解：（1）矩形、正方形。
（2）勾股四边形为图(3)中的OAM1B和OAM2B
（3）连结CE。由题意得：⊿ABC≌⊿DBE 且∠EBC=600
∴ AC=DE,BC=BE
∴⊿EBC是等边三角形
∴∠BCE=600
∵∠DCB=300
∴∠DCE=900
∴DC2+CE2=DE2
即DC2+BC2=AC2
评析：本题是一道类比勾股定理的勾股四边形，考查了旋转图形的性质，渗透了转化的数学思想。通过旋转，把勾股四边形的边转化为直角三角形的边，然后运用勾股定理。
二．姊妹花之二：等对边四边形
例二．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图4，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）如图4，在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
解：（1）平行四边形、等腰梯形等。
（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。
证明：如图5，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。
因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
所以△BCF≌△CBG， 所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，
∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等对边四边形。
评析：本题是一道类比等腰三角形的等对边四边形，要求同学们从有一个角是特殊的等对边四边形中总结方法，然后解一般性的等对边四边形，体现了从特殊到一般的数学思想。
三．姊妹花之三：筝边四边形
例三．我们给出如下定义：若一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这个四边形为筝边四边形，把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边．
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是筝边四边形的图形的名称 。
（2）如图6，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)， A(0,3)，B(3,0)，请你在图中画出所有以格点为顶点，OA,OB为边的筝边四边形OAMB；
（3）如图7，在筝边四边形ABCD,AD=CD,AB=BC, 若∠ADC=600，∠ABC=300． 求证：2AB2=BD2，
解：（1）平行四边形、等腰梯形等。
(2)如图8，筝边四边形为四边形BOAM1,
四边形BOAM2, 四边形BOAM3, 四边形BOAM4
（3）证明：如图9，延长DC，过B点作BE⊥DC于点E。
∵AD=CD, AB=BC, BD=BD
∴⊿ADB≌⊿CDB
∴ ∠BDC=∠ADB =300, ∠DBC=∠ADB=150
∴ ∠BCE=∠BDC+∠DBC =450
设BE=k,则在Rt⊿BCE中，BC=
在Rt⊿BDE中，BD=2k
∴ 2AB2=2BC2=4k2= BD2
评析：本题的筝边四边形，是把平行四边形的判断中“两组对边分别相等”这个条件改为“两组相邻两边分别相等”这个条件。体现了数学的对称美。
四．姊妹花之四：等对角线四边形
例四．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
解：（1）矩形、正方形。
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
已知：如图10，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD,且∠AOD=600，
求证：BC+AD≥AC
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC。
连结CE、BE
故∠EDO=600，四边形ACED是平行四边形。
所以⊿BDE是等边三角形，CE=AD
所以DE=BE=AC
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图10）
在⊿BCE中，有BC+CE>BE
所以BC+AD>AC
②当BC与CE在同一条直线上时（如图11）
则BC+CE=BE
因此BC+AD=AC
综合①、②得：BC+AD≥AC
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
评析：本题是一道削弱矩形定义中“平行四边形”这个条件的等对角线四边形。渗透了分类讨论思想，考查了学生思维的严密性以及灵活运用所学知识分析、处理问题的能力。
图（2）
D
图(3)
图（4）
图（5）
图（6）
图（7）
图（8）
图（9）
图（10）
图（11）