(共18张PPT)
浙教版 九年级上
2.1 直线与圆的位置关系（2）
新知导入
情境引入
下雨天，你快速转动雨伞时，雨水飞出的情景你看见过吗？工人师傅用砂轮打磨工件飞出火星的情景见过吗？
思考下雨点和火星运动的轨迹与转动的“圆” 有怎样的关系？
新知导入
合作学习
直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系量化
直线和圆相切
直线和圆相离
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
直线和圆相交
按照下述步骤作图：
如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA．
思考以下问题（可与你的同伴交流）：
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现什么？
解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长．
（2）直线l与⊙O相切，根据d＝r 直线与⊙O相切．
（3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
特征一：直线l经过半径OA的外端点A;
特征二：直线l垂直于半径OA.
提炼概念
1.直线与圆相切的判定定理：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
问：（1）如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
∵ l⊥OA 且OA为圆O的半径
∴ l是⊙O的切线
几何语言表示:
（2）判定一条直线是圆的切线一共有几种方法？
根据判定定理，先作过该点的半径，再作过该点半径的垂线.
2.切线的判定方法有：
③ 切线的判定定理。
② 直线到圆心的距离等于圆的半径。
① 直线与圆有一个公共点。
l
A
O
l
A
O
仔细观察，认真思考，这些相切吗？怎么判定直线与圆相切？
l
A
O
l
O
A
典例精讲
新知讲解
【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．
求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连结OB．
∵OB＝OC，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°．
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）．
【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
解：如图，在坐标系中画出以点
P（100，200）为圆心，以200为半
径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°
方向的方向线，作垂直于方向线的
⊙P的直径HK，分别过点H，K作
⊙P的切线l1，l2，则l1∥l2．
因为台风圈在两条平行线l1，l2，
之间移动，点A，D落在切线l1，l2，
之间，所以受到这次台风的影响；
而点B，C不在切线l1，l2，之间，
所以不受到这次台风的影响．
归纳概念
2．圆的切线的判定方法：
(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量关系：到圆心的距离 等于半径的直线是圆的
切线；
(3)判定定理：经过半径的 外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线．
课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线
B
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：①__________或②______ _______或③________________________.
OA⊥EF
∠FAC
＝∠B
∠BAC＋∠FAC＝90°
(1)求∠A的度数；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)求MD的长度．
课堂总结
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
（1）定义：直线和圆有唯一公共点。
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径
垂直的直线是圆的切线。
3.辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。
（2）无公共点：作垂直证半径。
课堂小结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 直线与圆的位置关系（2）
课题 2.1 直线与圆的位置关系（2） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1．经历直线与圆相切的判定定理的发现过程．2．掌握直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端，并且垂直这条半径的直线是圆的切线．3．会判定一条直线是否为圆的切线．4．会过圆上一点画圆的切线．
重点 直线与圆相切的判定定理．
难点 例3解法思路不易形成，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】按照下述步骤作图：如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA．思考以下问题（可与你的同伴交流）：（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现什么？
新知讲解 提炼概念 判断下列命题是否正确．（1）经过半径外端的直线是圆的切线．（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线．（ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（ ）（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线．（ ）（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（ ）典例精讲 【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．求证：直线AB是⊙O的切线．【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
课堂练习 巩固训练1.下列说法正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：①__________或②______ _______或③________________________.3．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝2.(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．答案引入思考（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长．（2）直线l与⊙O相切，根据d＝r直线与⊙O相切．（3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．特征①：直线l经过半径OA的外端点A．特征②：直线l垂直于半径OA．几何语言：∵l⊥OA，且OA为圆O的半径，∴l是⊙O的切线．提炼概念切线的判定方法：① 直线与圆有唯一公共点；② 直线到圆心的距离等于圆的半径；③ 切线的判定定理.典例精讲 例3 证明：连结OB．∵OB＝OC，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°．∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）．例4 解：如图，在坐标系中画出以点P（100，200）为圆心，以200为半径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙P的切线l1，l2，则l1∥l2．因为台风圈在两条平行线l1，l2，之间移动，点A，D落在切线l1，l2，之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2，之间，所以不受到这次台风的影响．巩固训练1.B 2.OA⊥EF，∠FAC=∠B，∠BAC＋∠FAC＝90°3.解：(1)∵OA＝OE.∴∠A＝∠OEA.∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°.(2)证明：在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°.又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(3)∵点M是的中点，∴OM⊥AE.在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝BC·tan 60°＝2×＝6，∴OA＝＝3，∴OD＝OA＝，∴MD＝OM－OD＝OA－OD＝.
课堂小结 小1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.2.切线的判定方法：① 直线与圆有唯一公共点；② 直线到圆心的距离等于圆的半径；③ 切线的判定定理.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 直线与圆的位置关系（2）
课题 2.1 直线与圆的位置关系（2） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1．经历直线与圆相切的判定定理的发现过程．2．掌握直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端，并且垂直这条半径的直线是圆的切线．3．会判定一条直线是否为圆的切线．4．会过圆上一点画圆的切线．
重点 直线与圆相切的判定定理．
难点 例3解法思路不易形成，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题创设情景：下雨天，你快速转动雨伞时，雨水飞出的情景你看见过吗？工人师傅用砂轮打磨工件飞出火星的情景见过吗？(动画演示) 照下述步骤作图：如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA．思考以下问题（可与你的同伴交流）：（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现什么？ 解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长．（2）直线l与⊙O相切，根据d＝r直线与⊙O相切．（3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．特征①：直线l经过半径OA的外端点A．特征②：直线l垂直于半径OA．几何语言：∵l⊥OA，且OA为圆O的半径，∴l是⊙O的切线．本节开头是让学生通过作图来发现直线与圆相切的判定定理，教学中可按下列步骤进行．（1）让学生按课本要求作出直线l，并提问，点O到直线l的距离，与圆O的半径有怎样的关系？（2）直线l与圆O的位置关系有什么关系？根据什么？可启发学生回顾上节课关于直线与圆的位置的三个互逆关系．（3）引导学生概括出直线与圆相切的判定定理，帮助学生搞清该定理的条件和结论，尤其是两个条件要同时满足：①直线和半径垂直；②直线要过半径的外端．或者学生在叙述时常会疏漏．（4）应给学生指出，这个判定定理还给出了圆的切线的作法．可以让学生说练课本中的“做一做” 思考自议经历切线的判定定理的探究过程，养成自主探索、合作探究的习惯； 用切线的判定定理证明圆的切线，关键是要知道直线与圆有无公共点，有公共点则证明直线与半径垂直即可，简单说成：“有交点，证垂直”．
讲授新课 提炼概念切线的判定方法：① 直线与圆有唯一公共点；② 直线到圆心的距离等于圆的半径；③ 切线的判定定理.三、典例精讲【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连结OB．∵OB＝OC，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°．∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）．此例是切线的判定方法及时得到巩固，教学时可按照下列步骤分析启发：（1）从要求证的结论出发考虑问题，根据直线与圆相切的判定定理应怎样添加辅助线？（2）连接OB后，要证明AB与圆O相切就要证明AB⊥OB，那么只需要证明∠ABO＝90°．（3）从已知出发考虑问题，由AB＝BC，∠C＝30°，可以推出什么呢？得∠A＝30°后，应再说明什么？∠AOB与∠C有什么关系？完成例3以后，还可以要求学生想一想，说明∠ABO＝90°，还有什么方法？比如，∠ABO＝∠ABC＝∠OBC＝120°－30°＝90°．连接圆心和切点的半径是一条常用的辅助线，小结时应予以强调．【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？解：如图，在坐标系中画出以点P（100，200）为圆心，以200为半径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙P的切线l1，l2，则l1∥l2．因为台风圈在两条平行线l1，l2，之间移动，点A，D落在切线l1，l2，之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2，之间，所以不受到这次台风的影响．解决此题的关键是确定台风圈所扫过的范围，可作如下启发：（1）回顾课本第38页，做一做过直径两端的两条切线有何关系？（2）过于台风圈，⊙P运动方向垂直的直径HK两端的两条切线l1，l2与台风圈运动方向有何关系？（3）⊙P在移动过程中与直线l1，直线l2始终有这样的关系？现在你能确定台风圈扫过的范围了吗？1.有交点，连半径，证垂直变式1 直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.2.无交点，作垂线，证半径变式2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC 的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线. 如果直线与圆有公共点，则连结该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径，即作半径、证垂直． 判定一条直线是否为圆的切线主要有三种方法：(1)利用定义；(2)根据圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
课堂检测 四、巩固训练1.下列说法正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线B2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种)：①__________或②______ _______或③________________________.OA⊥EF，∠FAC=∠B，∠BAC＋∠FAC＝90°3．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝2.(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．解：(1)∵OA＝OE.∴∠A＝∠OEA.∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°.(2)证明：在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°.又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(3)∵点M是的中点，∴OM⊥AE.在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝BC·tan 60°＝2×＝6，∴OA＝＝3，∴OD＝OA＝，∴MD＝OM－OD＝OA－OD＝.
课堂小结 1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.2.切线的判定方法：① 直线与圆有唯一公共点；② 直线到圆心的距离等于圆的半径；③ 切线的判定定理.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
