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2.1 直线与圆的位置关系（3）
课题 2.1 直线与圆的位置关系（3） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.掌握切线的性质并能运用；2．切线的性质在实际生活中的应用．
重点 切线的性质及其应用．
难点 例5需要添加较多的辅助线，还要综合运用列方程等代数知识，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点．∠OAP等于多少度？在⊙O上再任意取一些点，过各点作⊙O的切线（根据圆的切线的定义，画出大致图形），连结圆心与切点．半径与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？你的发现与你的同伴的发现相同吗？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．【例6】如图，直线AB与⊙O相切于点C．AO交⊙O于点D，连结CD．求证：∠ACD＝∠COD．
课堂练习 巩固训练1.已知：如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l．求证：＝．2.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．已知∠B＝30°，AT＝．求直径AB和弦BC的长．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=16，DE=10，求BC的长. 4.在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长．答案引入思考解：∠OAP＝90°．半径与切线所成的角是90°．经过切点的半径垂直于圆的切线．一般地，圆的切线有如下的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直）几何语言∵⊙O与AT相切于点A，∴OA⊥AT．经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径）几何语言∵⊙O与AT相切于点A，PA⊥AT，∴OA是圆的半径．提炼概念典例精讲 例5 解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．设⊙O的半径为r．∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）．∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC－CD＝OC－AB．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝(r－8)2＋162，解得r＝20．∴⊙O的半径为20cm．例6 解：如图，作OE⊥CD于点E，则∠COE＋∠OCE＝Rt∠．∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠．∴∠ACD＝∠COE．∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD，∴∠COE＝∠COD，∴∠ACD＝∠COD．巩固训练1.解：连结OP．∵直线l切⊙O于点P，∴OP⊥l．∵AB∥l，∴OP⊥AB，∴＝．2.解：连结AC．∵AT切⊙O于点A，AB⊥AT，∴AB过圆心O．∴AB为⊙O的直径．∵∠B＝30°，AT＝，∴AB＝＝3．∴BC＝ABcosB＝．3.（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A.（2）解：连结CD， ∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，
∴AE=EC.
又∵DE=10，∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，可得DC=12. .
设BD=x，
在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,
∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，
∴BC=15. .
4.解：如图，在Rt△AOC中，OA＝＝5，∴AD＝5－3＝2（cm）．过D作AB的垂线，垂足为F．由Rt△ADF∽Rt△AOC，得＝，解得DF＝．在Rt△ADF中，AF＝＝，FC＝AC－AF＝4－＝．在Rt△DFC中，DC＝＝＝∴CE＝＝．
课堂小结 小１．切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线.经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.２．切线性质的应用：常用的辅助线是连接半径．综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
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2.1 直线与圆的位置关系（3）
课题 2.1 直线与圆的位置关系（3） 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.掌握切线的性质并能运用；2．切线的性质在实际生活中的应用．
重点 切线的性质及其应用．
难点 例5需要添加较多的辅助线，还要综合运用列方程等代数知识，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
1.切线的判定定理:
2.切线的判定方法有：
2.创设情景：问题1.直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度 在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度 问题2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么 你的发现与你同伴发现相同吗 解：∠OAP＝90°．半径与切线所成的角是90°．经过切点的半径垂直于圆的切线．一般地，圆的切线有如下的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直）几何语言∵⊙O与AT相切于点A，∴OA⊥AT．经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径）几何语言∵⊙O与AT相切于点A，PA⊥AT，∴OA是圆的半径．教学中不要求学生理解推理过程，只需通过作图观察、测量、相互交流得出，值得注意的是，这里的切线作法只能根据切线的定义，凭直观来做，不能用前面的判定定理，否则逻辑就颠倒了． 思考自议掌握与切线有关的辅助线是作过切点的半径． 经历切线的性质定理的探究过程，养成自主探索、合作探究的习惯；
讲授新课 提炼概念三、典例精讲【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．设⊙O的半径为r．∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）．∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC－CD＝OC－AB．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝(r－8)2＋162，解得r＝20．∴⊙O的半径为20cm．此题是切线的性质的简单应用，教学中可作如下启发：（1）由已知条件较长，边BC与圆O相切于点C，根据切线的性质能得到什么结论？从而添加辅助线？（2）在圆中求半径经常用构造直角三角形的方法，将有关数据集中到一个三角形中．（3）如果设所求的半径为r，利用勾股定理，可以列出怎样的方程？【例6】如图，直线AB与⊙O相切于点C．AO交⊙O于点D，连结CD．求证：∠ACD＝∠COD．解：如图，作OE⊥CD于点E，则∠COE＋∠OCE＝Rt∠．∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠．∴∠ACD＝∠COE．∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD，∴∠COE＝∠COD，∴∠ACD＝∠COD．讲解此例可设置下列问题，引发学生思考．（1）从求证的结论出发考虑问题，应先在图中作出∠COD，那么应添怎样的辅助线？（2）要证明∠ACD与∠COE两个锐角相等，你有哪些经验？（3）圆O于AB相切于点C，OC与AB有怎样的关系？再根据OE⊥CD，你会选择哪一种方法来证明∠ACD＝∠COE？ 对于切线的性质定理的掌握可归纳为三条：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线．事实上只要知道其中两个性质，就可以推出第三个． 圆的切线、三角函数等在实际生活中的综合应用， 关键是正确地画出图形，把实际问题转化为数学问 题．
课堂检测 四、巩固训练1.已知：如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l．求证：＝．解：连结OP．∵直线l切⊙O于点P，∴OP⊥l．∵AB∥l，∴OP⊥AB，∴＝．2.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．已知∠B＝30°，AT＝．求直径AB和弦BC的长．解：连结AC．∵AT切⊙O于点A，AB⊥AT，∴AB过圆心O．∴AB为⊙O的直径．∵∠B＝30°，AT＝，∴AB＝＝3．∴BC＝ABcosB＝．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=16，DE=10，求BC的长. （1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A.（2）解：连结CD， ∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，
∴AE=EC.
又∵DE=10，∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，可得DC=12. .
设BD=x，
在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,
∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，
∴BC=15. .
4.在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长．解：如图，在Rt△AOC中，OA＝＝5，∴AD＝5－3＝2（cm）．过D作AB的垂线，垂足为F．由Rt△ADF∽Rt△AOC，得＝，解得DF＝．在Rt△ADF中，AF＝＝，FC＝AC－AF＝4－＝．在Rt△DFC中，DC＝＝＝∴CE＝＝．
课堂小结 １．切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线.经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.２．切线性质的应用：常用的辅助线是连接半径．综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
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浙教版 九年级上
2.1 直线与圆的位置关系（3）
新知导入
情境引入
O
l
A
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
这个定理不仅可以用来判定圆的切线，还可以依据它来画切线．
新知导入
合作学习
切线的判定方法有：
①直线与圆有唯一个公共点．
②直线到圆心的距离等于圆的半径．
③切线的判定定理．
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
探索发现：
请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
能
点P在圆周上时，只能作一条切线
点P在圆外时，可作两条切线，它们相等
不能
1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA,P是AT上一点.
∠OAP等于多少度 在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点.半径与切线所成的角为多少度 由此你发现了什么
2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线.过切点作切线的垂线,你发现了什么 呢发现与你的同伴的发现相同吗
A
T
O
P
切线垂直过切点的半径
经过切点且垂直切线的直线必经过圆心
提炼概念
归纳所得：
一般地，圆的切线有如下的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直）
几何语言
∵⊙O与AT相切于点A，
∴OA⊥AT．
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径）
几何语言
∵⊙O与AT相切于点A，PA⊥AT，
∴OA是圆的半径．
典例精讲
新知讲解
【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．
设⊙O的半径为r．
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）．
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC－CD＝OC－AB．
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝(r－8)2＋162，解得r＝20．
∴⊙O的半径为20cm．
例6 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D,连结CD，OC.求证:∠ACD= ∠COD.
归纳概念
探索切线性质:
1.定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
2.推论1：过切点且垂直于切线的直线必过圆心
3.推论2：经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
一般地,圆的切线有如下的性质:
一条直线满足：
（1）过圆心
（2）垂直于切线 切线性质
（3）过切点
切线的判定定理与性质定理有什么不同呢？
切线的判定定理：
①过半径的外端；
②垂直于这条半径.
①圆的切线；
②过切点的半径.
切线的性质定理：
切线
切线垂直于半径
课堂练习
1.已知：如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l．求证： ．
解：连结OP．
∵直线l切⊙O于点P，
∴OP⊥l．
∵AB∥l，
∴OP⊥AB，
．
2.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．已知∠B＝30°，AT＝ ．求直径AB和弦BC的长．
解：连结AC．
∵AT切⊙O于点A，AB⊥AT，
∴AB过圆心O．
∴AB为⊙O的直径．
∵∠B＝30°，AT＝ ，
∴AB＝3．
∴BC＝ABcosB＝ ．
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. (1)求证：∠A=∠ADE；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长.
（1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， 又∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∴∠ADE=∠A.
（2）解：连结CD，
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE， ∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°. ∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC， ∴AE=EC. 又∵DE=10，∴AC=2DE=20， 在Rt△ADC中，DC= . 设BD=x， 在Rt△BDC中，BC2=x2+122,
在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202, ∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9， ∴BC= .
F
4.在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长．
课堂总结
１．切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线.
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
２．切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径．
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
课堂小结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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