浙教版数学九上第四章—相似三角形培优卷（必考题）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
2．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（ ）
A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+4
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
5．《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．54
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝2，BC＝4，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
8．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
9．如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在边AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N下列结论：
①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果x：（x+y）＝3：5，那么x：y＝ ．
12．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若△BPQ与△BAC相似，则CQ的长为 ．
13．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ ．
14．如图，有一块直角三角形土地，它两条直角边AB＝300米，AC＝400米，某单位要沿着斜边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，这个矩形DEFG的面积最大值是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 ．（用含n的代数式表示）
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）与y轴，x轴相交于A，B，C三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，则2MD+MC的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，17、18、19、20、21、22每题6分，23、24每题8分）
17．已知，如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长；
（2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长；
（3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB的长．
18．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
20．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
21．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放．每本书的厚度为4cm，高度为20cm．
（1）找出图中的相似三角形，并证明．
（2）当CD＝16cm时，求书架的宽BF．
22．如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：++＝2．
23．已知：如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t（s），问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？
24．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证：
（1）∠CBE＝∠CAD；
（2）AC2＝BC CD+AB2．浙教版数学九上第四章—相似三角形培优卷（必考题）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠E，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；
C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，
∴＝，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（ ）
A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+4
【分析】根据黄金分割的定义解决问题即可．
【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴BP＝AB＝×8＝4﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是记住把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝，＝，＝，
故A，B，D正确；
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．
4．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】由矩形性质可证明△BEF∽△DCF，从而可得，由于△BEF与△BCF等高，故S△BEF：S△BCF＝1：2．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，
∴AB∥CD，BE＝，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵△BEF与△BCF等高，
∴S△BEF：S△BCF＝．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行四边形的性质，证明△BEF∽△DCF，得到EF：CF＝1：2是解题的关键．
5．《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．54
【分析】连接GF，证明△DHE∽△GHF，可得＝（）2，进而可得S4的值．
【解答】解：如图，连接GF，
∵AD＝BE，DG∥AC，EF∥BC，
∴＝＝＝，
∵∠DHE＝∠GHF，
∴△DHE∽△GHF，
∴＝（）2，
∵S2＝18，S3＝6，
∴＝，S△HGF＝S3，
∴S△DHE＝（）2×3＝27，
则S4的值为27．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝2，BC＝4，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，推出△ACD∽△EDF，根据相似三角形的性质得到＝，当OE⊥BC时，EF有最大值，根据勾股定理得到AB＝2，由垂径定理得到BF＝BC＝2，求得EF＝﹣1，即可得到结论．
【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BC于F，
∵∠C＝90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴＝，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C四点共圆，
设AB的中点为O，连接OE，
如图2，当点E是中点时，EF的值最大，此时E，F，O共线．
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴OE＝OB＝，
∵OE⊥BC，
∴BF＝BC＝2，
∴OF＝＝＝1，
∴EF＝OE﹣OF＝﹣1，
∴＝＝＝．
∴的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．
7．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，根据题意得到BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MC＝BC＝1，AB＝AC＝4，从而利用勾股定理求得AM＝，AI＝8，再根据同位角相等推出FG∥AC，从而得到△IQG∽△IAC，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如下图所示，
过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，AB＝4，BC＝2，
∴BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MC＝BC＝1，AB＝AC＝4，
∴AM＝＝＝，
又MI＝BI﹣BM＝7，
∴AI＝＝＝8，
∵∠ACB＝∠FGE，
∴FG∥AC，
∴△IQG∽△IAC，
∴，即，
解得QI＝，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形的判定定理推出△IQG∽△IAC，从而利用相似三角形的性质求解，注意数形结合思想方法的运用．
8．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
【分析】设正方形边长为x，由EF与DT边成的角为θ，PJ与PC边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．
【解答】解：设正方形边长为x，由EF与DT边成的角为θ，PJ与PC边成的角为θ，
在Rt△DET、Rt△POT、Rt△PHA，Rt△ABM中，
可得EF＝ET+OT+AH+AM＝2xsinθ+3xcosθ＝19 ①
JH＝PJ+ph＝3xcosθ＝15 ②
解得xsinθ＝2，xcosθ＝5；
两边平方相加得x2＝29，
所以正方形的边长x＝．
故选：A．
【点评】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．
9．如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在边AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝（ ）
A． B．
C． D．
【分析】延长PO交AC于M，延长QO交AB于N，易证得四边形ANOR、四边形CMOQ为平行四边形，则MC＝OQ＝x，ON＝AR，根据相似三角形的判定易得△ROM∽△ABC，利用相似比可得RM＝x，再判断△NOP∽△ACB，利用相似比可得NO＝x，则AR＝x，所以x+x+x＝b，于是解得x＝．
【解答】解：延长PO交AC于M，延长QO交AB于N，如图，
∵OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，
∴四边形ANOR、四边形CMOQ为平行四边形，
∴MC＝OQ＝x，ON＝AR，
∵OM∥BC，OR∥AB，
∴△ROM∽△ABC，
∴＝即＝，
∴RM＝x，
∵OP∥BC，ON∥AC，
∴△NOP∽△ACB，
∴＝即＝，
∴NO＝x，
∴AR＝x，
∵AR+RM+MC＝AC，
即x+x+x＝b，
∴x＝＝．
即OP的长为．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N下列结论：
①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据题目已知△NBC≌△ECD，可以判断①正确；
②证明△NBH∽△CDH可以判断②正确；
③过点H作AD的平行线，根据线段比例关系，得出面积比可以判断③正确；
④过点B作两条垂线，利用三角形全等可以判断④正确；
⑤链接N，E，结合勾股定理和相似可以求出BG、BF的长，判断⑤正确．
【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，
∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，
∵CG⊥DE，
∴∠CDG+∠GCD＝90°，
∴∠BCN＝∠CDG，
∴△NBC≌△ECD（ASA），
∴DE＝CN，
故①正确；
②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴＝，
∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴NB＝BC＝CD，
∴＝＝，
故②正确；
③如下图所示，过H点作IJ∥AD，
∵△NBH∽△CDH，
∴I③J＝HJ，
∴HI＝IJ＝DC，
∴S△DEC＝EC DC，S△BNH＝BN HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），
∴S△DEC＝3 S△BNH，
故③正确；
④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点E，
∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBP＝∠QBE，
由①得△NBC≌△ECD，
∴EC＝BN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴BE＝BN，
∵∠BPN＝∠BQE＝90°，
∴△BPN≌△BQE（AAS），
∴BP＝BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE＝45°，
故④正确；
⑤如图所示，连接N，E，
设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，
∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，
∴CN＝＝＝，
EN＝＝＝，
由△ECN面积可得CN GE＝EC BN，
∴GE＝，
∴GN＝＝，
∴GN+GE＝+＝，
∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△NGB∽△CGF，
∴，
∴BG＝FG，
∴BG＝BF，FC＝BN＝x，，
∴BG＝×＝，
∴GN+GE＝BG，
故⑤正确；
综上所述，故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生要有较强的综合知识，解决复杂问题的能力．
二．填空题（共6小题）
11．如果x：（x+y）＝3：5，那么x：y＝ ．
【分析】首先根据x：（x+y）＝3：5可得5x＝3x+3y，整理可得2x＝3y，进而得到x：y＝3：2．
【解答】解：∵x：（x+y）＝3：5，
∴5x＝3x+3y，
2x＝3y，
∴x：y＝3：2＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
12．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若△BPQ与△BAC相似，则CQ的长为 5或 ．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得BQ＝5．
∴CQ＝BC﹣BQ＝5；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得BQ＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝．
综上所述：当CQ＝5或时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
13．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ 18 ．
【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵AB∥x轴，
∴△DBE∽△OCE，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝＝＝，
设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，
∴，OD＝5b，
∴BD＝，
∴AB＝AD+DB＝，
∵S△ABC＝＝＝13，
∴ab＝，
∵S矩形ODBF＝BD OD＝＝＝18，
又∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＝18，
故答案为18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，利用相似三角形的性质，通过设参数把矩形面积和三角形ABC的面积互相联系起来是解决本题的关键．
14．如图，有一块直角三角形土地，它两条直角边AB＝300米，AC＝400米，某单位要沿着斜边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，这个矩形DEFG的面积最大值是 30000平方米 ．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边BC的长，再根据三角形的面积列式计算得到AH，设DE为a，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式用x表示出a，再根据矩形的面积列式整理即可；把y、x的函数关系式整理成顶点式解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：∵AB＝300米，AC＝400米，
∴BC＝＝500（米），
∵AH是直角三角形的斜边上的高，
∴AH＝＝240（米），
设DE＝a米，设EF为x米，矩形面积为y米，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
即＝，
∴a＝﹣x+240，
∴y＝x（﹣x+240）
＝﹣x2+240x；
即y＝﹣（x﹣250）2+30000，
∴当x＝250时，y取得最大值为30000，
答：这个矩形DEFG的面积最大值是30000（平方米），
故答案为：30000平方米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，求出矩形的宽DE是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 ．（用含n的代数式表示）
【分析】先作CF⊥AB，交DE于点H，在Rt△ABC中利用勾股定理易求AB，再根据三角形的面积公式可得×3×4＝×5×CF，从而易求CF，再根据DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的退路可得△DEC∽△ABC，于是CH：CF＝DE：AB，进而可求小正方形的边长．
【解答】解：作CF⊥AB，交DE于点H，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝×3×4＝×5×CF，
∴CF＝，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
又∵CH⊥DE，CF⊥AB，
∴CH：CF＝DE：AB，
设小正方形的边长是x，
∴（﹣x）：＝nx：5，
解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理的推论，列代数式，解题的关键是掌握相似三角形的相似比等于对应高的比．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）与y轴，x轴相交于A，B，C三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，则2MD+MC的最小值是 ．
【分析】以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，先根据二次函数求出A、B、C、D的坐标，再证明△EOM∽△MOC，从而有EM＝MC，故2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，再求出ED即可．
【解答】解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，
令二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）＝0，
得：x1＝2，x2＝4，
∴B（2，0），C（4，0），
令x＝0，y＝×（0﹣2）×（0﹣4）＝2，
∴A（0，2），
OA＝OB，即B在⊙O上，
∵y＝（x﹣2）（x﹣4）＝（x2﹣6x+8）＝（x﹣3）2﹣，
∴顶点D（3，﹣），
∵∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝，
∴M在在⊙O上，即OM＝2，
取OB的中点E（1，0），
∵，，
∴，
又∠EOM＝∠MOC，
∴△EOM∽△MOC，
∴，
∴EM＝MC，
∴2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，
∵ED＝＝，
∴2MD+MC的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是取OB的中点E（1，0），证明△EOM∽△MOC，将2MD+MC转化成2（MD+MC）＝2（MD+ME）．
三．解答题（共8小题）
17．已知，如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长；
（2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长；
（3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质求EC；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝，再利用比例性质求出AE，然后计算AC﹣AE即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，即DB＝AD，再利用DB﹣AD＝3cm可求出AD、BD的长．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴EC＝cm；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴AE＝cm，
∴EC＝AC﹣AE＝4﹣＝（cm）；
（3）∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴DB＝AD，
∵DB﹣AD＝3cm，
∴AD﹣AD＝3cm，解得AD＝6cm，
∴DB＝×6＝9cm．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
18．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）①证明∠ABP∽△ACB，推出＝，可得结论．
②当＝时，△APB∽△ABC，由此可得结论．
（2）在CA的下方作∠ACP＝∠ABC，CP交AB的延长线于P．
【解答】解：（1）①∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴∠ABP∽△ACB，
∴＝，
∴AP＝＝1．
②∵∠A＝∠A，
∴当＝时，△APB∽△ABC，
∴＝，
∴AP＝，
故答案为：．
（2）如图2中，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
19．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
【分析】（1）易证△BCD∽△BAC，则有＝，再由BC＝CD＝AD可得＝，由此可得D是AB边上的黄金分割点；
（2）设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝AD h，S△DBC＝DB h，S△ABC＝AB h，即可得到＝，＝．由（1）得＝，即可知＝，由此可得CD是△ABC的黄金分割线．
【解答】解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，
∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝．
∴＝．
∴D是AB边上的黄金分割点；
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC＝AD h，S△DBC＝DB h，S△ABC＝AB h，
∴＝，＝．
∵D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∴＝．
∴CD是△ABC的黄金分割线．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．
20．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【分析】首先根据DO＝OE＝1m，可得∠DEB＝45°，然后证明AB＝BE，再证明△ABF∽△COF，可得＝，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【解答】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB＝BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
21．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放．每本书的厚度为4cm，高度为20cm．
（1）找出图中的相似三角形，并证明．
（2）当CD＝16cm时，求书架的宽BF．
【分析】（1）根据同角的余角相等∠CED＝∠EGF,∠CDE＝∠EFG＝90°可得△CDE∽△EFG；
（2）由题意可知EG＝4cm，CE＝20cm，CD＝16cm，根据勾股定理求出DE的长，根据相似三角形的性质可得EF的长，由BF＝BD+DE+EF即可求解．
【解答】解：（1）△CDE∽△EFG．
证明：∵∠CDE＝∠EFG＝∠CEG＝90°，
∴∠CED+∠GEF＝90°，∠EGF+∠GEF＝90°，
∴∠CED＝∠EGF，
∵∠CDE＝∠EFG＝90°，
∴△CDE∽△EFG；
（2）由题意可知EG＝4cm，CE＝20cm，CD＝16cm，
∵∠CDE＝90°，
∴DE＝＝12（cm），
∵△CDE∽△EFG，
∴,
∴，
∴EF＝，
∵BD＝4×4＝16（cm），
∴BF＝BD+DE+EF＝16+12+＝（cm），
答：书架的宽BF为cm．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意，认真识别图形是解题的关键．
22．如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：++＝2．
【分析】若将所求的等式左边进行通分，解起来会非常麻烦，所以要通过相似三角形得出的对应成比例相等来求证；根据△ADE∽△ABC、△BFG∽△BAC得出的对应成比例线段，用分母为AB的式子替换掉、，然后再通过这些线段和AB的关系来证明所求的结论．
【解答】证明：根据题意，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴＝；
∵△BFG∽△BAC
∴＝；（3分）
∵AFML是平行四边形，
∴LM＝AF；同理，MN＝BD；
则＝，∴++＝＝＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．
23．已知：如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t（s），问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？
【分析】根据题意得出BE＝2t，AD＝t，得出AE＝6﹣2t，分两种情况：①当时，即，解方程即可；②当时，即，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：BE＝2t，AD＝t，
∴AE＝6﹣2t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当时，
即，解得：t＝；
②当时，
即，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论．
24．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证：
（1）∠CBE＝∠CAD；
（2）AC2＝BC CD+AB2．
【分析】（1）连接BD交AC于F，根据圆的性质得：∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质得：∠ABE＝∠AEB，根据外角的性质得：∠CBE＝∠DBE，从而得结论；
（2）先根据两角相等两三角形相似证明：△ACD∽△BCF和△ABF∽△ACB，列比例式后，化为乘积式后相加可得结论．
【解答】证明：（1）连接BD交AC于F，
∵A为弧BD中点，
∴，
∴∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACB+∠CBE，
∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBE，
∵∠CAD＝∠CBD＝2∠CBE，
∴∠CBE＝∠CAD，
（2）∵∠DBC＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴BC CD＝AC CF①，
∵∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAB，
∴△ABF∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC AF②，
①+②得：AB2+BC CD＝AC CF+AC AF＝AC（CF+AF），
∴AC2＝BC CD+AB2．
【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题．
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