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2.2切线长定理
课题 2.2切线长定理 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1. 了解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；3. 在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题.
重点 利用圆的对称性探索切线长定理；
难点 应用切线长定理解决问题.
教学过程
导入新课 【引入思考】创设情景：请看这是什么玩具？这是大家非常喜爱的一种玩具。可是，大家在玩时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（空竹的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？ 探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.已知如图，P是⊙O外一点，请你作⊙O的切线．
新知讲解 提炼概念 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长．关于圆的切线，有下面的定理：切线长定理过圆外一点所作的圆的两条切线长相等．典例精讲 【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B．已知∠ACB＝80°，OC＝100cm．求点C到⊙O的切线长（结果精确到1cm）．【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）．
课堂练习 巩固训练1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）A．12cm B．24cm C．6 cm D．12cm 2 如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若PA＝10 cm，求(1)△PEF的周长；(2)若∠P＝35°，求∠AOB与∠EOF的度数．3.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,(1)求证:BC是∠ABE的平分线(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长答案引入思考证明：如图，连结AO，BO，PO．∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴AO⊥PA，BO⊥PB．而AO＝BO，PO＝PO，∴Rt△AOP≌Rt△BOP．∴PA＝PB．提炼概念典例精讲 例1 解：如图，连结OA，OB．
∵AB，BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等），
∴△OAC≌△OBC．
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×80°＝40°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°．
∴＝cos40°，
∴AC＝OC×cos40°＝100×cos40°≈77（cm）．
答：点C到⊙O的切线长约为77cm．例2 解：如图，连结AB，OA，OB，OP．
∵MP，NP分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP．
又∵∠ABP＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
∴AB＝AP＝24cm．
∵OA＝OB，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPA＝30°，
∴OA＝AP×tan×30°＝24×＝8（cm）．
而∠AOB＝360°－2×90°－60°＝120°，
∴＝＝≈29（cm）．
答：两切点间的距离为24cm，AB的长约为29cm．巩固训练1.D.2.解：(1)∵PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，∴PA＝PB＝10 cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝20(cm)；(2)∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－35°＝145°；连结OD，如图，则∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°.3.（1）证明：∵ DE是切线， ∴OCDE, ∵BE∥CO, ∴∠OCB=∠CBE， ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠CBE， ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBE=∠CBO, ∴BC平分∠ABE
课堂小结 小1. 切线长在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长２．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
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2.2切线长定理
课题 2.2切线长定理 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1. 了解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；3. 在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题.
重点 理解切线长定理.
难点 应用切线长定理解决问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习回顾(1)和圆有唯一公共点的直线叫 .(2)圆的切线 过切点的半径.2.创设情景：请看这是什么玩具？这是大家非常喜爱的一种玩具。可是，大家在玩时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（空竹的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么 （一）、切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长.1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。3、辨别：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量,通过测量我们发现PA=PB吗？4.请证明你所发现的结论.（二）、切线长定理：1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？ 探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.概括、叙述切线长定理应当使学生正确理解切线长的含义．切线是直线，没有长度之说，这里说的切线长的定义是为了表述方便予以特别约定的，是指两条切线上圆外交点到两个切点之间的线段长，也可以看作“圆外一点到切点之间的距离”．证明：如图，连结AO，BO，PO．∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴AO⊥PA，BO⊥PB．而AO＝BO，PO＝PO，∴Rt△AOP≌Rt△BOP．∴PA＝PB．讲解切线长定理的证明可以作一下启发：（1）如果我们想尝试通过三角形的全等来证明PA＝PB，那么应当怎样添加辅助线？（2）在△OAP与△OBP中，∠A和∠B是什么角？根据什么？△OAP与△OBP全等吗？根据什么？讲解是有以下几个问题值得注意：（1）关于探索过程中的作切线，凭目测作切线是可行的，如果有学生不会做，教师可以适当示范．（2）目测作图难免有误差，对探究点P到两个切点之间的线段长之间的关系有影响．除度量方法外，还可以启发学生用推理的方法，判断两条切线长的关系，连接OB，OA，OB，判断两个直角三角形是否全等，这也相当于下面定理证明的一个分析过程．（3）对学有余力的学生也可以介绍一下尺规作图． 思考自议利用圆的对称性探索切线长定理； (1)圆的切线垂直于过切点的半径．(2)注意切线长定理、勾股定理以与解直角三角形的综合运用．
讲授新课 提炼概念从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长．关于圆的切线，有下面的定理：切线长定理过圆外一点所作的圆的两条切线长相等．三、典例精讲【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B．已知∠ACB＝80°，OC＝100cm．求点C到⊙O的切线长（结果精确到1cm）．解：如图，连结OA，OB．
∵AB，BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等），
∴△OAC≌△OBC．
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×80°＝40°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°．
∴＝cos40°，
∴AC＝OC×cos40°＝100×cos40°≈77（cm）．
答：点C到⊙O的切线长约为77cm．从切线长定理的证明过程中，我们可以发现另一些有较多应用的相关结果，如∠APO＝∠BPO，OP垂直平分弦AB，∠APB＋∠AOB＝180°等，此例的目的是巩固切线长的概念，并让学生熟悉上述相关结果．讲解时可以按以下步骤进行启发：（1）从切线长定理的证明过程，你还能发现课本中还有哪些与本题求解有关的图形关系，比如OC与∠ACB有什么关系？根据什么？（2）已知OC＝100m，∠ACB＝80°，你会选哪一个直角三角形求解点C到⊙O的切线长AC？cos∠ACO是哪两个线段的比？由此怎样求出AC？【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）．解：如图，连结AB，OA，OB，OP．
∵MP，NP分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP．
又∵∠ABP＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
∴AB＝AP＝24cm．
∵OA＝OB，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPA＝30°，
∴OA＝AP×tan×30°＝24×＝8（cm）．
而∠AOB＝360°－2×90°－60°＝120°，
∴＝＝≈29（cm）．
答：两切点间的距离为24cm，AB的长约为29cm．讲解时可按以下步骤进行启发：（1）根据所求和与之引导学生连接AB，OA，OP，强调圆心与切点的连线是常用的辅助线．（2）从已知PM，PN，分别与⊙O，相切于点A，B，可得到什么？根据什么？（3）由∠APB＝60°，你能得到什么？由此能求出AB的长吗？怎么求？（4）要求弧AB的长，先要求出什么？圆心角∠AOB等于多少度？为什么？求半径OA（或OB），可以通过解怎样的直角三角形得到？还需添怎样的辅助线？ (1)从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；(2)圆的切线垂直于过切点的半径． 构造基本图形：在解决有关的切线长问题时，往往需要构造基本图形．(1)分别连结圆心和切点；(2)连结两切点；(3)连结圆心和两切线的交点.
课堂检测 四、巩固训练 .
1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）A．12cm B．24cm C．6 cm D．12cm 1.D.2 如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若PA＝10 cm，求(1)△PEF的周长；(2)若∠P＝35°，求∠AOB与∠EOF的度数．解：(1)∵PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，∴PA＝PB＝10 cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝20(cm)；(2)∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－35°＝145°；连结OD，如图，则∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°.3.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,(1)求证:BC是∠ABE的平分线(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长（1）证明：∵ DE是切线， ∴OCDE, ∵BE∥CO, ∴∠OCB=∠CBE， ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠CBE， ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBE=∠CBO, ∴BC平分∠ABE
课堂小结 1. 切线长在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长２．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
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浙教版 九年级上
2.2 切线长定理
新知导入
情境引入
这些同学在干什么？
P
C
D
A
B
O
AC、BD分别与⊙O相切于点C、D,AC与BD延长线交于点P,PC与PD有什么大小关系？
新知导入
合作学习
O
B
P
A
思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么
新知讲解
P
B
A
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长.
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.通过测量我们发现PA=PB吗？
提炼概念
请证明你所发现的结论。
A
P
O
B
①PA = PB，②PA平分∠APB
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
证明：如图，连结PO、AO、BO，
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠1＝∠2
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相等.
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号表示:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
典例精讲
新知讲解
例1 如图，点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A,B,已知∠ACB=80°.OC=102m求点C到⊙O的切线长（结果精确到1m）.
如图,连结OA,OB.
∵AC，BC分别与⊙O相切于点A，B，
∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等).
又∵OA = OB，OC=OC，
∴△OAC ≌ △OBC.
∴∠ACO= ∠BCO= ∠ACB= ×80° = 40°.
在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°（为什么？），
∴ =cos 40°，
∴AC=OC× cos 40°= 100× cos 40°≈77(cm).
答:点C到⊙O的切线长约为77 cm.
例2 如图表示皮带传动装置中一个轮子，传动皮带MA，MB分别切⊙O于点A.B延长MA,NB,相交于点P，已知∠ APB=60 °,AP=24，求两切点间的距离和 的长（精确到1）
如图,连结 AB,OA,OB,OP.
∵MP，NP 分别切⊙O 于点 A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP (为什么？）
又∵∠APB=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AB=AP=24cm.
∵OA = OB,
∴OP平分∠APB,
N
M
∴∠OPA = 30°,
∴OA=AP× tan 30°=24× = (cm).
而∠AOB=360°- 2×90°- 60°= 120°，
∴
答：两切点间的距离为24cm, 的长约为29cm.
归纳概念
（2）写出图中所有相等的弧
AO=BO=DO=EO,AP=BP,AC=BC
定理拓展：
若PA、PB是的两条切线，A、B为切点，直线OP交于点D、E，交AB于C.
(1)写出图中所有相等的线段
（3）写出图中所有垂直关系
（4）写出图中所有等腰三角形
（5）写出图中所有全等三角形
OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP
△ABP, △AOB
△AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP
课堂练习
1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A. 12cm
B. 24cm
∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD丄AC，OD丄AC，
则圆形螺母的直径为 cm.
故选D.
解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
又∠CAB=60°，∠OAE=∠OAD=0.5∠DAB=60°,
2 如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若PA＝10 cm，
求(1)△PEF的周长；
(2)若∠P＝35°，求∠AOB与∠EOF的度数．
解：(1)∵PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，
∴PA＝PB＝10 cm，ED＝EA，FD＝FB，
∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝20(cm)；
(2)∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－35°＝145°；
连结OD，如图，则∠ODE＝∠ODF＝90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠3＝∠AOB＝72.5°，
∠EOF＝72.5°.
2.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,
(1)求证:BC是∠ABE的平分线.
(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长.
证明：∵ DE是切线，
∴OCDE,
∵BE∥CO,
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠CBE=∠CBO,
∴BC平分∠ABE
(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8, OC＝OA＝6,
∵BE∥CO,
∴EC=4.8
课堂总结
课堂小结
切线长定理中的基本图形
如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，
则有：
(1)两个等腰三角形
(△PAB，△OAB)．
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)．
(3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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