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2.3三角形的内切圆
课题 2.3三角形的内切圆 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1. 掌握三角形的内切圆及内心的概念，能进行与内切 圆有关的计算； 2．会作三角形的内切圆； 3．三角形的内切圆在实际生活中的应用．
重点 三角形的内切圆的概念．
难点 例2是内切圆的概念、切线的性质和全等三角形等知识的综合应用，辅助线较多，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？建议按下列步骤探索：（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？（3）如何确定这个圆的圆心和半径？
新知讲解 提炼概念 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角．典例精讲 【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径．【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l．如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，则S＝lr．请说明理由．
课堂练习 巩固训练 1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （B）110° （C）120° （D）130° 2.某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )A．△ABC的三条内角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处3.小兵手拿一张等腰三角形纸片△ABC，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，如图所示，他要同学小红求出这张纸片上裁剪出一个最大的圆的半径．小红说：“可以，但你要取一张最小的圆形纸片将△ABC完全覆盖．”小兵说：“行，咱俩比一比！”聪明的同学，请你也来求一求这裁剪出的最大圆的半径与最小覆盖圆的半径．4. 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．答案引入思考解：（1）圆与三角形的各边都相切．（2）圆心在这个角的角平分线上．（3）两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径．提炼概念典例精讲 例1 解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5（cm）．
∴OD＝AD×tan30°＝1.5×＝（cm）．
答：△ABC的内切圆的半径为cm．例2 证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF（切线长定理）．
同理，BD＝BF，CD＝CE．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD＝(AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE)＝l．如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，则S＝lr．请说明理由．解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OE＝OF＝OD＝r．∵S＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA，∴S＝AB×OF＋BC×OD＋CA×OE＝r(AB＋BC＋CA)＝lr．巩固训练 1.B2.A3.解： 剪出的最大圆为△ABC的内切圆，设圆心为I，最小覆盖圆是△ABC的外接圆，设圆心为O.(1)连结IB，过点A作AD⊥BC于D，IE⊥AB于E，∵AB＝AC＝10 cm，∴I，O均在AD上，BD＝BC＝×12＝6(cm)，∴AD＝＝＝8(cm)．设内切圆半径为r，∵I为内心，∴IE＝ID＝r，AI＝8－r，又∵∠BEI＝∠BDI＝90°，BI＝BI，EI＝DI，∴Rt△BEI≌Rt△BDI，∴BE＝BD＝6 cm，∴AE＝AB－BE＝4 cm.4.解：过O分别作AC，BC的垂线．OE，OF，E，F为垂足，易证四边形OECF为正方形，设边长为x，即为⊙O的半径．∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，∴△AEO∽△ACD，∴＝，解得x＝1.5．
课堂小结 小1.内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
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2.3三角形的内切圆
课题 2.3三角形的内切圆 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1. 掌握三角形的内切圆及内心的概念，能进行与内切 圆有关的计算； 2．会作三角形的内切圆； 3．三角形的内切圆在实际生活中的应用．
重点 三角形的内切圆的概念．
难点 例2是内切圆的概念、切线的性质和全等三角形等知识的综合应用，辅助线较多，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？建议按下列步骤探索：（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？（3）如何确定这个圆的圆心和半径？解：（1）圆与三角形的各边都相切．（2）圆心在这个角的角平分线上．（3）两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径．课本用怎样从一块三角形玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆做桌面这个实际问题引入本课内容，加强学生对所学内容的必要性的认识，有利于创设良好的学习情境．三角形的内切圆的作法分析应突出以下几点：（1）在分析作图题时，常假设图形已经作出，这样有直观图形借鉴，给分析思考带来方便．（2）作图的关键是找出圆心，并确定圆的半径．确定点的位置，交轨法是常用的方法．这种方法学生以前虽有所接触，但教学中仍需要强化．在圆心确定之后，可以由圆心引三角形一边的垂线段来确定内切圆的半径． 思考自议三角形的内心一定在三角形的内部，它不仅是三角形的内切圆的圆心，它还是三角形三条角平分线的 交点，它到三边的距离相等． 思想方法：常见辅助线是连结过切点的半径。设置问题情景，引导学生进入学习状态，充分调动学生学习的新知的兴趣.
三、典例精讲【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径．解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5（cm）．
∴OD＝AD×tan30°＝1.5×＝（cm）．
答：△ABC的内切圆的半径为cm．讲解例1，教学中可作如下启发：（1）图中的⊙O与△ABC有何关系？那么怎样作出⊙O的半径？（2）要计算半径OD的长，需要构造怎样的直角三角形？为此，怎样添加辅助线？（3）AO与∠BAC有什么关系？AD与BD相等吗？根据什么？由此可见Rt△AOD可解吗？【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l．证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF（切线长定理）．
同理，BD＝BF，CD＝CE．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD＝(AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE)＝l．本例证明的关键是引导学生得到AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，教学中可作如下启发：（1）三角形的周长l可怎样计算？（AB＋BC＋CA＝AF＋BF＋BD＋DC＋CE＋AE）．（2）AE与AF，BF与BD，CD与CE分别有什么关系？根据什么？（3）由（2），你认为l可以用哪些线段和表示？如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，则S＝lr．请说明理由．解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OE＝OF＝OD＝r．∵S＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA，∴S＝AB×OF＋BC×OD＋CA×OE＝r(AB＋BC＋CA)＝lr． 积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结每种题型的解题思路. 概括三角形的内切圆和内心的概念时，有必要引导学生与三角形的外接圆和外心作比较，以免互相混淆．还要注意“内”“外”称呼的相对性．
课堂检测 四、巩固训练 1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （B）110° （C）120° （D）130° 1.B
2.某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )A．△ABC的三条内角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处2.A3.小兵手拿一张等腰三角形纸片△ABC，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，如图所示，他要同学小红求出这张纸片上裁剪出一个最大的圆的半径．小红说：“可以，但你要取一张最小的圆形纸片将△ABC完全覆盖．”小兵说：“行，咱俩比一比！”聪明的同学，请你也来求一求这裁剪出的最大圆的半径与最小覆盖圆的半径．解： 剪出的最大圆为△ABC的内切圆，设圆心为I，最小覆盖圆是△ABC的外接圆，设圆心为O.(1)连结IB，过点A作AD⊥BC于D，IE⊥AB于E，∵AB＝AC＝10 cm，∴I，O均在AD上，BD＝BC＝×12＝6(cm)，∴AD＝＝＝8(cm)．设内切圆半径为r，∵I为内心，∴IE＝ID＝r，AI＝8－r，又∵∠BEI＝∠BDI＝90°，BI＝BI，EI＝DI，∴Rt△BEI≌Rt△BDI，∴BE＝BD＝6 cm，∴AE＝AB－BE＝4 cm. 4. 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．解：过O分别作AC，BC的垂线．OE，OF，E，F为垂足，易证四边形OECF为正方形，设边长为x，即为⊙O的半径．∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，∴△AEO∽△ACD，∴＝，解得x＝1.5．
课堂小结 1.内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
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浙教版 九年级上
2.3 三角形的内切圆
新知导入
情境引入
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
我们很容易发现：当圆与三边都相切时的圆是最大的圆。
探索发现：
新知导入
合作学习
1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心0在∠ABC的平分线上。
A
B
C
O
M
N
2．如图，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
O
A
B
C
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。
3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线段的长是符合条件的半径。
A
B
C
D
E
F
4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？
O
M
N
只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。
提炼概念
1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形.
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内心的性质：
（1）. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
D
M
I
N
A
B
C
名称 确定方法 图形 性质
外心：
三角形的外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部.
内心：
三角形内切圆的圆心 三角形三边角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形的内部
三角形内切圆和外接圆的比较
典例精讲
新知讲解
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的
内切圆⊙O的半径．
解 如图 ， 设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠OAB＝∠OBA＝30°
∵OD⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴OD＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆， E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
归纳概念
注意
1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．
2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形.
课堂练习
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
B
2.某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
A
3.小兵手拿一张等腰三角形纸片△ABC，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，如图所示，他要同学小红求出这张纸片上裁剪出一个最大的圆的半径．小红说：“可以，但你要取一张最小的圆形纸片将△ABC完全覆盖．”小兵说：“行，咱俩比一比！”聪明的同学，请你也来求一求这裁剪出的最大圆的半径与最小覆盖圆的半径．
解： 剪出的最大圆为△ABC的内切圆，设圆心为I，最小覆盖圆是△ABC的外接圆，设圆心为O.
(1)连结IB，过点A作AD⊥BC于D，IE⊥AB于E，
∵AB＝AC＝10 cm，∴I，O均在AD上，
设内切圆半径为r，
∵I为内心，∴IE＝ID＝r，AI＝8－r，
又∵∠BEI＝∠BDI＝90°，BI＝BI，EI＝DI，
∴Rt△BEI≌Rt△BDI，∴BE＝BD＝6 cm，
∴AE＝AB－BE＝4 cm.
在Rt△AEI中，∵AE2＋EI2＝AI2，
∴42＋r2＝(8－r)2，∴r＝3(cm)．
(2)连结OB，设外接圆半径为R，
∵O是△ABC的外心，
∴OB＝R，OD＝8－R.
在Rt△BOD中，
∵BD2＋OD2＝OB2，
4.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是多少？
解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OE 丄 BC，OF 丄 AC，
∴∠OFC=∠OEC=90°
∵∠ACB=90°,
∴四边形CFOE是矩形，
∵OE=OF,
∴矩形CFOE是正方形，
∴OF=EC，
设⊙O的半径为 r，则 DE=CD-CE=2-r，OE=r，
∵OE//AC,
∴△OED∽△ACD,
∴r=1.5.
课堂总结
课堂小结
1.内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形．
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 2.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 3三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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