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3.1 投影（2）
课题 3.1投影（2） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1. 了解中心投影等概念，并能运用中心投影知识解释日常生活的一些问题；2．运用投影的知识进行几何作图或计算．
重点 中心投影的概念及其投影的画法．
难点 例3需要较强的空间想象能力，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
新知讲解 提炼概念 定义：由_______________光线形成的投影叫做中心投影．性质：(1)投影线从点光源射出；(2)当被投影物体是平面型，且投影面平行于物体所在平面时，中心投影与物体的平面形状相似．典例精讲 【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由．图（1）图（2）【例3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC．若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m．求路灯的高度OP．
课堂练习 巩固训练 1.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的投影的形状是一个圆，当把白炽灯向远处移时，圆形投影的大小的变化情况是( )A．越来越小 B．越来越大C．大小不变 D．不能确定 2．幻灯机的投影是 ( )A．平行投影B．中心投影C．平行投影或中心投影D．以上均不是3．两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为 ( )A．平行投影B．中心投影C．既不是平行投影也不是中心投影D．可能是平行投影也可能是中心投影4.如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度．5.高高地路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即4米)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即2米)，此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来路灯有10米高呀！”同学们，你觉得小明的判断对吗？答案引入思考解：如图，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A B 把线段AB放大了，且AB∥A B ，△OAB∽△OA B ．又如右图，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A B C 也把△ABC放大了，从△ABC到△A B C 是我们熟悉的位似变换．小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子长，那么甲的身高一定比乙高．你认为小明的结论正确吗？请说明理由．解：不正确，因为中心投影中的物高与影长不成定比．解答此题后，可以引导学生探究平行投影与中心投影的另一个不同点，即平行投影形成的影子同一时刻，物高与影长成正比例，而中心投影形成的影子，同一时刻，物高与影长不成正比例．提炼概念典例精讲 例2 解：分别连结标杆的顶端与其投影上的对应点（图1）．很明显，图（1）的投射线互相平行，是平行投影．图（2）的投射线将相交于一点，是中心投影．图（1）图（2）例3 解：由题意易得△ABC∽△POC，则＝，即＝，解得PO＝5．答：路灯的高度OP是5m．巩固训练 A2.B3.D4.解：设吊灯距地面的高度为xm，由题意得＝，则＝，解得x＝2.25．答：吊灯距地面的高度为2.25m．5.解： 小明的判断对．AE，BF是竹竿两次的位置，CA和BD是两次影子的长．由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，所以，DP＝OP＝灯高，△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，∴△CEA∽△COP，即＝，设AP＝x，OP＝h，则：＝， 又DP＝OP表达为2＋4＋x＝h， ②联立①②两式得：x＝4，h＝10，∴路灯有10米高，小明的判断是对的．
课堂小结 小 中心投影定义：由_______________光线形成的投影叫做中心投影．性质：(1)投影线从点光源射出；(2)当被投影物体是平面型，且投影面平行于物体所在平面时，中心投影与物体的平面形状相似．
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3.1 投影（2）
课题 3.1 投影（2） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1. 了解中心投影等概念，并能运用中心投影知识解释日常生活的一些问题；2．运用投影的知识进行几何作图或计算．
重点 中心投影的概念及其投影的画法．
难点 例3需要较强的空间想象能力，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？ 解：如图，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A B 把线段AB放大了，且AB∥A B ，△OAB∽△OA B ．又如右图，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A B C 也把△ABC放大了，从△ABC到△A B C 是我们熟悉的位似变换．利用皮影和手影的等事例引入本节课题，这样即吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣，要弘扬中华民族的传统文化．教学中要从以下几个方面帮助学生搞清平行投影与中心投影的区别：（1）平行投影与中心投影的主要区别：平行投影的投射线是平行的，而中心投影的投射线相交于一点．（2）在介绍中心投影的物与影的关系时，可以引导学生与平行投影作比较，概括出两种投影的不同点．如当物体与投影面平行时，平行投影形成的影子与原图像全等，而中心投影形成的影子与原图像位似．小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子长，那么甲的身高一定比乙高．你认为小明的结论正确吗？请说明理由．解：不正确，因为中心投影中的物高与影长不成定比．解答此题后，可以引导学生探究平行投影与中心投影的另一个不同点，即平行投影形成的影子同一时刻，物高与影长成正比例，而中心投影形成的影子，同一时刻，物高与影长不成正比例． 思考自议等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长； 理解投影要结合三角形相似的知识，中心投影的实质是位似变换．
讲授新课 提炼概念定义：由_______________光线形成的投影叫做中心投影．性质：(1)投影线从点光源射出；(2)当被投影物体是平面型，且投影面平行于物体所在平面时，中心投影与物体的平面形状相似．三、典例精讲【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由．图（1）图（2）解：分别连结标杆的顶端与其投影上的对应点（图1）．很明显，图（1）的投射线互相平行，是平行投影．图（2）的投射线将相交于一点，是中心投影．图（1）图（2）【例3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC．若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m．求路灯的高度OP．解：由题意易得△ABC∽△POC，则＝，即＝，解得PO＝5．答：路灯的高度OP是5m．讲解例3时应注意以下几点：（1）在解释时，指出课本中的图形是一个空间图形，激发同学从三维空间的角度来观察树影与灯柱的位置关系；（2）求路灯的高度PQ可作一下启发，AB与PO有什么关系？由此可得出△ABC与△POC有什么关系？为求PO，你可写出怎样的比例式？ 等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 引导学生与平行投影作比较，概括出两种投影的不同点．如当物体与投影面平行时，平行投影形成的影子与原图像全等，而中心投影形成的影子与原图像位似．
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的投影的形状是一个圆，当把白炽灯向远处移时，圆形投影的大小的变化情况是( )A．越来越小 B．越来越大C．大小不变 D．不能确定1.A 2．幻灯机的投影是 ( )A．平行投影B．中心投影C．平行投影或中心投影D．以上均不是2.B3．两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为 ( )A．平行投影B．中心投影C．既不是平行投影也不是中心投影D．可能是平行投影也可能是中心投影3.D4. 如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度．解：设吊灯距地面的高度为xm，由题意得＝，则＝，解得x＝2.25．答：吊灯距地面的高度为2.25m．5.高高地路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即4米)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即2米)，此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来路灯有10米高呀！”同学们，你觉得小明的判断对吗？解： 小明的判断对．AE，BF是竹竿两次的位置，CA和BD是两次影子的长．由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，所以，DP＝OP＝灯高，△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，∴△CEA∽△COP，即＝，设AP＝x，OP＝h，则：＝， 又DP＝OP表达为2＋4＋x＝h， ②联立①②两式得：x＝4，h＝10，∴路灯有10米高，小明的判断是对的．
课堂小结 中心投影定义：由_______________光线形成的投影叫做中心投影．性质：(1)投影线从点光源射出；(2)当被投影物体是平面型，且投影面平行于物体所在平面时，中心投影与物体的平面形状相似．
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浙教版 九年级上
3.1 投影（2）
新知导入
情境引入
处处留心皆学问
新知导入
合作学习
如图 当线段AB与投影面平行时，
AB的中心投影A'B'把线段AB放大了，且AB∥A'B'，
△OAB∽ △OA'B'
.O
投影面
A
B
A'
B'
像皮影戏与手影戏这样由同一点出发的投射所形成的投影叫做中心投影。
A'
B'
C'
投影面
.O
A
C
B
如图 ，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A'B'C' 把△ABC放大了，从△ABC到△A'B'C' 是我们熟悉的位似变换.
点O是他们的位似中心.
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，
在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察
平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
解：如图，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A B 把线段AB放大了，且AB∥A B ，△OAB∽△OA B ．
又如图，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A B C 也把△ABC放大了，从△ABC到△A B C 是我们熟悉的位似变换．
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
请观察下面几种投影，它们有什么相同点与不同点？
提炼概念
平行投影与中心投影的区别与联系
平行投影 中心投影
定义 由平行的投射线所形成的投影 由同一点出发的投射线所形成的投影
区别 光源 太阳 点光源(如蜡烛光、电灯光等)
投射线 平行 相交
投影方向 相同 由点光源与物体的相对位置确定
联系 都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子
典例精讲
新知讲解
【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中
画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由．
(1)
(2)
(1)
(2)
图(1)的投射线互相平行，是平行投影.
图(2)的投射线会相交于一点，是中心投影.
如下图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC. 若树高AB=2m,树影AC=3m,树与路灯的水平 距离AP=4.5m，求路灯的高度OP.
解：由图可知△ABC∽△POC，则
解得PO=5.
答：路灯的高度 OP是5m.
例3
归纳概念
由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影.
平行投影和中心投影的区别与联系.
根据中心投影的概念，判断点光源的位置.
课堂练习
1.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地
面上的投影的形状是一个圆，当把白炽灯向远处移时，
圆形投影的大小的变化情况是( )
A．越来越小
B．越来越大
C．大小不变
D．不能确定
A
2．幻灯机的投影是 ( )
A．平行投影
B．中心投影
C．平行投影或中心投影
D．以上均不是
B
3．两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为 ( )
A．平行投影
B．中心投影
C．既不是平行投影也不是中心投影
D．可能是平行投影也可能是中心投影
D
4.如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板
上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆
桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度．
5.高高地路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即4米)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一
根竹竿的长度(即2米)，此时，小明抬头
瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来路
灯有10米高呀！”
同学们，你觉得小明的判断对吗？
解： 小明的判断对．
AE，BF是竹竿两次的位置，CA和BD是两次影子的长．
由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，
所以，DP＝OP＝灯高，
△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP，
又DP＝OP表达为2＋4＋x＝h， ②
联立①②两式得：
x＝4，h＝10，
∴路灯有10米高，小明的判断是对的．
课堂总结
中心投影
定义：由_______________光线形成的投影叫做中心投影．
性质：(1)投影线从点光源射出；
(2)当被投影物体是平面型，且投影面平行于物体所在平面时，中心投影与物体的平面形状相似．
同一点发出的
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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