2020-2021学年浙教版数学九年级上册3.7正多边形同步练习（word版、含答案）

正多边形
一、单选题
1．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
2．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转度能与自身重合，则为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
3．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
4．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
6．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
7．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．变化，不变 B．不变，变化
C．变化，变化 D．与均不变
8．如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
12．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．国旗上的五角星绕其中心至少旋转____°可与自身重合．
14．如图，在的内接正六边形中，______°．
15．如图，已知正方形的顶点，在上，顶点，在内，将正方形绕点逆时针旋转，使点落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为________．
16．如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心，，且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的外接圆的面积是__________．
17．如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 __________________．
三、解答题
18．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，求这个正六边形的面积．
19．⊙O半径为r，其内接正三角彩、正四边形、正六边形的边长分别为a，b，c．
（1）求a，b，c；
（2）以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的是什么三角形？如果不能，请说明理由．
20．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
21．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
22．如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
参考答案
1．A
解：如图，∵这个多边形为正六边形，
∴这个多边形的一个内角的度数为，
∴∠OAB=60°，
∴∠AOG=30°，
在中，，
∴，
∴
故选A．
2．B
解：如图所示，O为正六边形的中心，
由旋转的性质可得，将A绕点O旋转到B，∠OAB的度数即为所求，
∵这是一个正六边形，
∴∠ABO=∠BAO=×（6-2）×180°÷6=60°，
∴∠AOB=60°，
∴α=60
故选B.
3．A
解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．
4．C
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
5．B
解：连接OC，如图：
根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，
∴∠BOC=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOB=90°60°=30°；
∵∠AOB是某正n边形的一个外角，
∴；
故选：B．
6．B
解：如图，连接交于点,连接，，，
△ABC是圆O的内接正三角形，
,，
，
，
是BC的中点，
，
，
，
是BC的中点，AB＝4，
，
设，则（），
，
即，
解得，
，
，
，
在中
，
．
故选B．
7．D
解：如图所示，连接OA，OC，
由正六边形的性质可知，
OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，
∴∠AOG=∠COH，
在△AOG与△COH中，
∴△AOG≌△COH(ASA)，
∴，AG=CH，
∴，
，
∵正六边形ABCDEF的边长为定值，
∴l不改变，四边形OABC的面积不改变，即S不改变，
故选：D．
8．D
解：连接OB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=3，
∴，
故选D．
9．B
解：如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．
点，，，，，，，为的八等分点，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，设，
，
，
，
，
，
在中，，
，（负根舍去）
．
故选：B．
10．C
解：由图可知：该齿轮是正八边形，
360°÷8=45°．
故选C．
11．B
解：、、、、是上的5等分点，
，
，故①正确；
、、、、是上的5等分点，
的度数，
，
，
；
连接
、、、、是上的5等分点，
，
，
，
，故②正确；
连接，，
则，
，
，
，
，
，③错误．
故选：B．
12．B
解：∵正五边形的内角和为，
∴每一个内角为：，
图中阴影部分的圆心角为：，
∴；
故答案选B．
13．72
解：五角星的相邻的两个顶点与中心点构成的角的度数是：，所以五角星绕其中心至少旋转，可与自身重合，
故答案是：72．
14．
解：∵多边形是正六边形，
∴正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角度数为．
∴．
故答案为：．
15．
解：如图，设圆心为，连接，，，，，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，同理，是等边三角形，，
∴旋转角，
∵，
∴点运动的路径长为：．
故答案是．
16．
解：如图所示，连接AO，FO．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB=OF，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵多边形AMONF的面积为，
∴菱形ABOF的面积为，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴和都是等边三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
解得：．
∴正六边形ABCDEF的外接圆的面积=．
故答案为：．
17．（，-）
解：连接OC．
∵∠COD==60°，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=1．
设BC交y轴于G，则∠GOC=30°．
在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=1，
∴GC=，OG=．
∴C（，-）．
故答案为：（，-）．
18．
解：∵六边形DFHKGE是正六边形，
∴∠EDF＝∠DFH＝∠FHK＝∠KGE＝∠GED＝120°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
同理：BH＝BF＝FH，
∴AD＝DF＝BF＝2，
∴＝6＝6×＝．
19．（1），，r；（2）能构成三角形，是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理进行判定
解：（1）如图1所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC＝30°，BD＝OB cos30°＝r，
故a＝BC＝2BD＝r；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2＝OB2，即BE＝r，
故b＝BC＝r；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，
故AG＝OA cos60°＝r，
c＝AB＝2AG＝r；
（2）能构成三角形，构成直角三角形；理由如下：
∵a＝r，b＝r，c＝r，
∴c2＋b2＝a2，
∴能构成直角三角形．
20．正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴．
∵ ，
∴为等边三角形．
∴，
∵六边形是正六边形，
∴ ，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
21．A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
22．见解析．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
又∵H，I，J，K，L分别是各边的中点，
∴AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．
∴△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK（SAS），
∴HL＝LK＝KJ＝JI＝IH，∠AHL=∠BIH=∠CJI=∠DKJ=∠ELK,∠ALH=∠BHI=∠CIJ=∠DJK=∠EKL，
∵180°-∠AHL-∠ALH=180°-∠BIH-∠BHI=180°-∠CJI-∠CIJ=180°-∠DKJ-∠DJK=180°-∠ELK-∠EKL，
∴∠LHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLH，
∴五边形HIJKL是正五边形．