2021-2022学年浙教版九年级数学上册3.3垂径定理同步能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
3．如图，在半径为5的⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC、EB．若CD＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．8 C．2 D．2
4．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
5．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
6．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
7．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．
10．半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 　 　．
11．如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为 　 　．
12．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
13．如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 　 　．
14．如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12cm，截面圆心O到污水面的距离OC＝6cm，则截面上有污水部分的面积为　 　．
15．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为　 　cm．
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为　 　cm．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．
19．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
20．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．
2．解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
3．解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴OC＝OD﹣CD＝3，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝＝＝4，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∴EC＝＝＝2，
故选：D．
4．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．
5．解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．
6．解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
7．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），
∴OC＝＝＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
8．解：连接OD，
∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10），
∴这段弯路所在圆的半径为（20+10）m，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CE＝CD＝5，∠OEC＝90°，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x＝，
即OC＝，
故答案为：．
10．解：如图所示：设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，
由题意可得：OA＝OC＝12cm，CO⊥AB，OD＝DC＝6cm，
∵CO⊥AB，
∴AD＝DB，
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD＝＝＝6（cm），
∴AB＝2AD＝12（cm），
故答案为：12cm．
11．解：连接OC，如图所示：
∵直径AB＝26，
∴OC＝OB＝13，
∵OE：BE＝5：8，
∴OE＝5，BE＝8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∴CE＝＝＝12，
∴CD＝2CE＝24，
故答案为：24．
12．解：∵C点是的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
13．解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BD＝AB＝30cm，
∴OD＝＝＝40（cm），
∴PD＝PB+BD＝70+30＝100（cm），
∴OP＝＝20（cm）；
故答案为20cm．
方法二：
解：延长PO交圆于E；
∵AB＝60cm，PB＝70cm，
∴PA＝130cm；
由割线定理，得：PB PA＝PC PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣50）（x+50）＝70×130，
解得x＝20cm．
故OP长为20cm．
故答案为20cm．
14．解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OBC中，OB＝12cm，OC＝6cm，
根据勾股定理得：BC＝＝＝6（cm），
则AB＝2BC＝12cm，
∴∠COB＝60°，
∴截面上有污水部分的面积为：﹣×12×6＝（48π﹣36）cm2．
故答案为：（48π﹣36）cm2．
15．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
16．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
18．解：连接OD，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝3，
设⊙O的半径为r，
则OE＝r﹣1，OD＝r，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OE＝4，AE＝5+4＝9，
∴S△AED＝AE DE＝×9×3＝，S△OED＝OE DE＝×4×3＝6，
∴S△AOD＝S△AED﹣S△OED＝﹣6＝，
∵OF⊥AD，OA＝OD，
∴AF＝DF，
∴S△AOF＝S△AOD＝×＝．
19．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝＝16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
20．解：如图所示：过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，
则AD＝BD＝×24＝12（m），
设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为8m．
21．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．