3.3垂径定理 同步练习 2020-2021学年浙教版数学九年级上册（word版含解析）

垂径定理
一、单选题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
2．如图，半圆的直径，为圆心，为的中点，，交于点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．2
4．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，则AD＝（　　）
A．3 B． C． D．
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为（ ）
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
9．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．
A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm
10．如图，的直径为10，弦的长为6，为弦上的动点，则线段长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
13．已知的半径为5cm，弦AB的长为6cm，弦AB在上滑动一周，则弦AB扫过的图形的面积为___________．
14．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要_____cm．
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．
16．图1是某游乐园的海盗船，，两位同学坐在海盗船上的示意图如图2，开始状态下，且，离地高度相等，水平距离为5米，当同学摆动到最低位置时，他的高度下降了0.5米，同学也随之旋转至的位置，此时，同学离顶端的距离为______米，同学的高度上升了______米．
17．如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截图如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为_____cm．
三、解答题
18．如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径．
19．往直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽，求油的最大深度．
20．如图，和分别是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是和．如果和的大小有什么关系？为什么？
21．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
22．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
参考答案
1．D
解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
2．A
解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故选A．
3．C
解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
4．D
解：过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
5．B
解：∵的直径于点，
∴，故A选项结论成立；
在和中，
，
∴，故D选项结论正确；
∴，故C选项结论正确；
而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；
故选：B．
6．B
解：连接OA，如图：
∵AB＝16，OC⊥AB，
∴ACAB＝8，
在Rt△OAC中，OC6．
故选：B
7．D
解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝，
∵，
∴，
解得，
∴OG＝，
∵OG⊥AD，
∴AG＝，
∴AD＝2AG＝，
故选：D．
8．D
解：连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ ．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，
∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
9．D
解：过O作OH′⊥AB，连接OB，
∵AB=8cm，
∴BH′=4cm，
∵EF=10cm，
∴BO=5cm，
∴OH′=cm，
∵EH⊥HG，FG⊥HG， OH′⊥AB，
∴EH//FG//O H′
∵O是EF中点，
∴H′是HG中点，
∴H′O是梯形FGHF的中位线，
∴EH+FG=2OH′=6cm，
∴E、F两点到直线AB的距离之和等于6cm，
故选：D．
10．C
解：如图，连接OA，作OP⊥AB于P，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OP⊥AB于P，
∴AP=BP，
∵AB=6，
∴AP=3，
在Rt△AOP中，OP=；
此时OP最短，
所以OP长的取值范围是4≤OP≤5．
故选：C．
11．C
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
12．C
解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝AB，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝，
∴AB＝2AM＝，
则≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
13．cm2
解：如图，连接OB、OA，作OC于点
， OC
为中点，
cm
中，
cm
弦AB在上滑动一周，点的运动轨迹是以点O为圆心，OC为半径的圆，
弦AB扫过的图形是一个圆环，其面积为cm2
故答案为：cm2．
14．8
解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．
在Rt△OAQ′中，AQ′＝＝＝4（cm），
∵OA⊥P′Q′，
∴AQ′＝AP′，
∴P′Q′＝2AQ′＝8（cm），
故答案为：8．
15．2
解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故答案为：2．
16．6.5
解：如图，设AB交于点C，作交于点D ．
∵A、B离地面高度相等，
∴AB平行于地面．
∵为最低位置，且为弧所在的圆的半径．
∴垂直平分AB，米，
∴米，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴米．
设A同学高度上升了y米，即米．
根据题意可知，，
在中，，即，
在中，，即，
∴．
解得：．
即A同学高度上升了米．
故答案为：，．
17．12.5
解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=16cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=16-x，MF=12cm，
在Rt△MOF中，OM2+MF2=OF2，
即：(16-x)2+122=x2，
解得：x=12.5 (cm)，
故答案为：12.5．
18．10
解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
19．200mm
解：过点O作OD⊥AB于点D，交于点F，连接OA，
∵AB＝600mm，
∴AD＝=300mm，
∵直径为650mm，
∴OA＝×650＝325mm，
∴OD＝＝＝125mm，
∴DF＝OF OD＝×650 125＝200mm．
答：油的最大深度为200mm．
20．OM＜ON，理由见解析
解：OM＜ON．理由如下：
如图所示，连接OC，OA，
∴OA＝OC，
∵ON⊥CD，OM⊥AB，
∴CN＝CD，AM＝AB，
又∵CD＜AB，
∴CN＜AM，
∴CN2＜AM2，
在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2－AM2，ON2＝OC2－CN2，
∴OM2＜ON2，
∴OM＜ON．
21．
解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：r＝．
22．（1）5；（2）
解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4，
在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2＋42＝r2
∴r＝5．
（2）∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，
∴BC＝＝4（cm）
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝BC OF＝OC BE
∴4×OF＝5×4，
∴OF＝．