2020-2021学年浙教版九年级数学上册3.6 圆内接四边形 同步练习 （word版、含答案）

圆内接四边形
一、单选题
1．如图，四边形为的内接四边形，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，四边形的四个顶点都在上，称这样的四边形为圆内接四边形，则图中（ ）
A． B． C． D．
3．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知下列四个命题：①圆内接梯形是等腰梯形；②圆内接平行四边形是矩形；③圆内接矩形是正方形；④圆内接菱形是正方形．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（　　）
A．64° B．128° C．120° D．116°
6．如图，四边形内接于，如果，则的度数是（ ）
A．115° B．130° C．65° D．50°
7．如图，内接于⊙O，，，为的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．弦AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝48°，则∠DBC的度数为（　　）
A．84° B．72° C．66° D．48°
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若∠BDC＝50°，，则∠ADC的度数是（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
10．如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C＝7∶4∶2，则∠D ＝_____．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，，∠BDC＝40°，则∠ADC的度数是_____．
15．如图所示，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，过点A，B的圆交边AC，BC于点E，D，则∠EDC＝___________°．
16．如图，已知是半圆的直径，，是上任意一点，则的度数是________．
17．如图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________．
三、解答题
18．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
20．如图，是的直径，圆内接四边形的边与直径交于点F，点G在延长线上，平分．
（1）求证：．
（2）若，求的面积．
21．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B=40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD=DE；
（3）若AD=4，求CE的长度．
参考答案
1．C
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°=120°．
故选C．
2．B
解：由圆内接四边形对角互补得．
证明:
连接AC、BD
∵∠DAC=∠DBC，∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等)
∴∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°(三角形内角和180°)
∴∠ABC+∠ADC=180°
故选B
3．C
解：如图，连接、、，
∵，而为的中点，
∴，平分，即，
∵，
∴点和点都在以为直径的圆上，
∴．
4．C
解：①正确，因为等腰梯形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；②正确，因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；③错误，圆内接矩形是正方形或长方形；④正确，因为在菱形中只有正方形有外接圆．
故选：
5．B
解：∵∠DCE=64°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=116°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠BCD=64°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=128°，
故选：B．
6．A
解：由同弧所对的圆周角等于圆心交的一半可知：
，
由圆内接四边形对角互补可知：
，
故选：A．
7．D
解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．A
解：连接AC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝∠GBC＝48°，
∵AO⊥CD，
∴DE＝CE，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADC﹣∠AED＝42°，
∴∠CAD＝2∠DAE＝84°，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠CAD＝84°，
故选：A．
9．B
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
10．D
解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，只有D满足题意．
故选：D．
11．D
解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
12．A
解：连接、、、、，过点作于点，
，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：A．
13．
解： 四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C＝7∶4∶2，
故答案为：
14．140°
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC=40°，
∴∠BOC=2∠BDC=80°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=80°，
∴∠ABC=∠AOC=40°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=140°．
故答案为：140°．
15．70
解：∠A＝180°-∠C-∠B＝180°-25-85°=70°，
∵∠A＋∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝110°，
又∠BDE＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝70°．
故答案为：70．
16．110°
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
又四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
则∠D=180-∠B=110°．
故答案为110°．
17．4
解：如图，连接，，根据，
所以，，，四点共圆，且为直径，
的中点为圆心，则为的一条弦，
当为的直径时最大，
所以时最大，
即的最大值为4．
故答案为4
18．（1）见解析；（2）见解析．
解：（1）∵AD//BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵DE＝DF，
∴ ，
∴，
∴，
∴∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB//CD；
（2）连接AF，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵四边形AFCD是圆内接四边形，
∴∠AFC+∠D＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠D＝∠B，
∴AB＝AF．
19．（1）见解析（2）37.5°．
解：（1）连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
20．（1）见解析；（2）27
解：（1）∵四边形ACDE是⊙内接四边形，
∴，
∵EA平分，
∴，
∴，
∴，
∵AB为直径，
∴．
（2）连接AD，OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在与中，
，
∴≌，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）；（2）见解析
解：（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∵四边形是圆内接四边形
∴
∴．
22．（1）；（2）见解析；（3）
解：（1）∵OD∥BC
∴∠AOD=∠B=40°
∵OA=OD，
∴∠ADO= ∠A
∴∠A=．
（2）∵四边形ABED内接于⊙O
∴∠CDE =∠B，∠DEC= ∠A
∴∠CDE = ∠AOD
∵∠C =180°– ∠CDE – ∠DEC
∠ADO =180°– ∠A – ∠AOD
∴∠C = ∠ADO =∠A
∴∠C = ∠DEC
∴CD = DE．
（3）连接OE，AE，
由（2）得AB=BC=12
∴∠AOE = 2∠B，∠B= ∠AOD
∴∠AOE = 2∠AOD
∴∠AOD =∠DOE
∴AD = DE
∴AC=2AD=8
∵AB是直径：∠AEB=90°
在与中，
设CE=x，则BE=12-x
AC2-CE2=AB2-BE2
即．
解得：．