2021-2022学年浙教版九年级数学上册3.5圆周角同步练习题（Word版，附答案解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.5圆周角》同步练习题（附答案）
1．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　）
A． B． C．5 D．
2．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（　　）
A． B．5 C．+1 D．
3．已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝2，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．1
4．如图，已知O为⊙O′上一点，⊙O和⊙O′相交于A，B，CD是⊙O的直径，交AB于F，DC的延长线交⊙O′于E，且CF＝4，OF＝2，则CE的长为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．如图，点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝6，PB＝3，则PC的长为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
6．△ABC内接于圆O，AD⊥BC于D交⊙O于E，若BD＝8cm，CD＝4cm，DE＝2cm，则△ABC的面积等于（　　）
A．48cm2 B．96cm2 C．108cm2 D．32cm2
7．如图，⊙O的直径AB＝10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE＝2，DE＝2，则弦心距OF为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC的乘积（　　）
A．不变 B．先变大，后变小
C．变大 D．先变小，后变大
9．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　．
10．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为　 　．
11．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为　 　．
12．已知⊙O中，两弦AB与CD相交于点E，若E为AB的中点，CE：ED＝1：4，AB＝4，则CD的长等于　 　．
13．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB＝8cm，PD＝2cm，则CP＝　 　cm．
14．已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2＝GC GD．
15．请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA PB＝PC PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
16．如图，点P是⊙O直径AB上的一点，过P作直线CD⊥AB，分别交⊙O于C、D两点，连接AC，并将线段AC绕点A进时针旋转90°得到AE，连接ED，分别交⊙O和AB于F、G，连接FC．
（1）求证：∠ACF＝∠AED；
（2）若点P在直径AB上运动（不与点A、B重合），其它条件不变，请问是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
17．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为　 　；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
18．如图，已知A、B、C、D是⊙O上四点，点E在弧AD上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E，求证：AQ＝BC．
19．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
20．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC＝4，BC＝3，P为直径AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）当点P在直径AB上运动的过程中，试探究线段EF长度的最小值．
21．如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC内接于半圆，其中OA为直径，弦AB＝OC＝3cm，∠OAB＝60°，P点从O点出发，以2cm/s的速度向A运动；同时，Q从A点出发，沿边AB向B以1cm/s的速度运动．
（1）求运动x秒后Q点的坐标（用含x的式子表示）．
（2）是否存在x，使得PQ∥OB？若存在，则求出x的值；若不存在，说明理由．
（3）求BC的长．
（4）当P、Q运动时，写出五边形OPQBC的面积y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围（不包括点P在O、A两点时的情况）．求出五边形OPQBC的面积的最小值及此时x的值？
22．如图，设△ABC为等腰三角形，AC＝BC，P为△ABC外接圆上任意一点，且P与C在弦AB的异侧．求证：．
参考答案
1．解：EC＝AC﹣AE＝，
由相交弦定理得，AE EC＝DE BE，
则DE＝＝，
∴BD＝DE+BE＝，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AE＝＝＝，
∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，
由相交弦定理得：AE EF＝BE CE，
∴EF＝＝，
∴AF＝AE+EF＝；
故选：A．
3．解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，即DG＝AB＝1；
易知△CGD是等边三角形，而CM⊥DG，则DM＝MG；
由于OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，故DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD DC＝DE DF，即DE×（DE+1）＝1；
解得DE＝（负值舍去）．
故选：B．
4．解：⊙O中，OF＝2，CF＝4
∴OC＝OD＝6
∴AF FB＝CF FD＝4×（2+6）＝32
⊙O′中，EF OF＝AF FB＝32
∴EF＝32÷OF＝16
即EF＝EC+CF＝EC+4＝16
∴EC＝12．
故选：A．
5．解：延长CP交⊙O于点D，
∵PC⊥OP，
∴DP＝PC，
由相交弦定理得，PD PC＝PA PB，
∴PC2＝6×3，
解得，PC＝3，
故选：D．
6．解：由相交弦定理知：AD DE＝BD DC，
∵BD＝8cm，CD＝4cm，DE＝2cm，
∴AD＝16cm，
又BC＝BD+DC＝8+4＝12cm，
∴S△ABC＝BC AD＝＝96cm2．
故选：B．
7．解：∵AB＝10，
∴⊙O的半径为5，
又∵BE AE＝CE ED，
即BE （OA+OE）＝CE ED，
即2×（5+5﹣2）＝2CE，
∴CE＝4，
∴CD＝CE+ED＝4+2＝6，EF＝CD﹣ED＝3﹣2＝，
又∵OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，
在Rt△OEF中，EF＝，OE＝3，
∴OF＝＝＝．
故选：C．
8．解：∵点A，B，C，D都在圆上，
∴MB MD＝AM MC，
∵MB＝MD，当点B，D，M保持不变，
∴MB MD为定值，
∴AM MC为定值．
故选：A．
9．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
10．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，
∴AE＝1，EB＝3，
由相交弦定理得，AE EB＝CE ED，
∴1×3＝CE×（CE+2），
解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），
则CE＝1，DE＝2，
∴CD＝1+3＝4，
故答案为：4．
11．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．
∵PD∥CH，
∴＝＝＝，
∴CH＝3a，
∵BD：AD＝2：3，
∴BD：AD＝BD：BH，
∴AD＝BH，
∴BD＝AH，
∴AH：AD＝2：3，
∴CH∥DE，
∴＝＝，
∴DE＝a，
∴PE＝a﹣2a＝a，
∵BC＝10，BP：PC＝2：1，
∴PB＝，PC＝，
∵PB PC＝PD PE，
∴5a2＝，
∴a＝（负根已经舍弃），
∴PD＝2a＝．
故答案为．
12．解：设CE＝x，ED＝4x．
根据相交弦定理，得
AE BE＝CE ED，
4x2＝4，
x＝1．
则CD＝5x＝5．
13．解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB＝8cm，
∴AP＝4，根据相交弦定理可知AP2＝CP×PD，
∴16＝2×CP，
∴CP＝8cm．
14．证明：延长GP至F，使PF＝PG，连接AD，BF，CF，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GP，BP＝PC，
∵PF＝PG，
∴四边形GBFC是平行四边形，
∴GF＝2GP，
∴AG＝GF，
∵BG∥CF，
∴∠1＝∠2
∵过A、G的圆与BG切于G，
∴∠3＝∠D，
又∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠D，
∴A、D、F、C四点共圆，
∴GA GF＝GC GD，
即GA2＝GC GD．
15．解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP＝1，AC＝4，
∴PQ＝1，PR＝3，
∴+＝1+＝．
（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，
∴∠OAP＝30°．
∴AP＝．
∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA＝90°．
∴∠APQ＝∠OAP＝30°．
在Rt△AQP中，PQ＝，同理，PR＝，
∴．
（3）猜想．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA＝90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．
∴∠EAC＝∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴①
同理可得：②
①+②，得：
+＝+
∴＝（）
＝ ＝．
过P作直径交⊙O于M，N，
根据阅读材料可知：AP PC＝PM PN＝3，
∴＝．
16．解：（1）如图1，连接AD，
∵＝，
∴∠ACF＝∠ADF，
又∵AE是由线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，
∴AC＝AE，
∵CD⊥直径AB，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADF，
∴∠ACF＝∠AED；
（2）是定值，理由如下：
如图2，过点E作EN∥CD，过点D作DN⊥CD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N，
∵∠EAC＝∠CPA＝90°，
∴∠EAM+∠CAB＝∠CAB+∠ACP＝90°，
∴∠EAM＝∠ACP，
同理∠MEA＝∠CAB，
又AC＝AE，
∴△EAM≌△ACP（ASA），
∴EM＝AP，AM＝CP，
∵DN⊥CD，CD⊥AB，
∴DN∥AB，
又EN∥CD，
∴四边形MNDP是矩形，
∴MN＝PD，MP＝ND，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴MN＝PD＝CP＝AM，
又∵EM＝AP，
∴EM+MN＝AP+AM，
即EN＝MP＝ND，
∴△END是等腰直角三角形，
∴∠EDN＝45°，
∵DN∥AB，
∴∠EGM＝∠EDN＝45°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴＝cos45°＝，
∴＝＝．
17．解：（1）如图1，连接OD，OC，BD，
∵OD＝OC＝CD＝2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°
∴∠DBC＝30°
∴∠EBD＝30°
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠E的度数为60°；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC．
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
（3）如图3，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝60°．
18．证明：如图：
，
根据圆周角定理，可得∠A＝∠E，
∵∠CQD＝∠E，
∴∠CQD＝∠A，
∴AB∥CQ，
∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠AQB+∠AQE＝180°，
∴∠EBC+∠EDC＝∠AQB+∠AQE，
∵∠AQE＝∠EDC，
∴∠EBC＝∠AQB，
∴BC∥AQ，
又∵AB∥CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ＝BC．
19．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，
∴∠ABD＝∠FBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，
∴∠CBF＝＝50°；
（2）令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°﹣2α，
又∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF．
20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
（2）作CH⊥AB于H，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴EF＝CP，
在直角△ABC中，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵×AC×BC＝×AB×CH，
∴CH＝，
∴CP的最小值为：，
即EF长度的最小值为．
21．解：（1）如图，连接OB，
∵OA为直径，
∴∠OBA＝90°，
又∵AB＝3cm，∠OAB＝60°，
∴OA＝6，
作QE⊥OA于点E，
则AQ＝x，QE＝x，AE＝x，
∴运动x秒后Q点的坐标为（6﹣，x）；
（2）要使PQ∥OB，只需，
即，
∴x＝1.5秒，
答：存在x＝1.5，使得PQ∥OB．
（3）先证明四边形OABC为梯形，
∵OC＝AB，
∴＝，
∴∠CBO＝∠BOA（等弧所对的圆周角相等），
∴BC∥OA，
又∵BC＜OA，
∴四边形OABC为梯形．
又∵AB＝OC，
∴四边形OABC为等腰梯形．
作BF⊥OA于F，则AF＝1.5，
∴BC＝6﹣2×1.5＝3（cm）；
（4）由（3）问可知，BF＝cm，
∴y＝SOABC﹣S△APQ，
＝，
＝（0＜x＜3），（14分）
∴y＝，
∴当x＝时，y有最小值cm2．（16分）
22．解：延长AP至D，使PB＝PD，连接BD，则AP+PD＝AD，
∵AC＝BC，
∴∠APC＝∠BPC，
∵PB＝PD，
∴∠BPC＝∠BPA＝∠D，
又∵∠PAB＝∠PCB，
∴△CPB∽△ADB，
∴＝，
∴＝＝．