《3.6圆内接四边形》同步练习 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》解答题专项练习（附答案）
1．已知：四边形ABCD内接于圆，BD平分∠ABC，且AB∥CD．求证：AD＝CB．
2．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．
3．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，⊙O外一点E与B的连线交⊙O于D点，连接CD．
（1）求证：∠EDA＝∠ACB；
（2）若∠ADE＝∠ADC，求证：△ABC是等腰三角形．
4．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．
5．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求BC的长．
6．如图，四边形ABED是圆的内接四边形，延长AD、BE相交于点C，已知∠C＝∠EDC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB是四边形ABED外接圆的直径，求证：＝．
7．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，AC平分∠BCD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD＝6cm，求⊙O的半径．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
9．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．
10．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，，求AB的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长
．
11．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．
（1）求∠A的度数．
（2）求BD的长．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
13．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．
（1）求证：EC＝AC．
（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．
16．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB＝AD+2BE；
（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD＝3，求⊙O的半径．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
21．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
23．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
24．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O直径，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）若DE＝2，AE＝6，DF＝12．求⊙O的直径．
参考答案
1．解：∵AB∥CD，
∴＝，
∴AD＝CB．
2．证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，
即△ADE是等腰三角形．
3．证明：（1）∵∠ADB+∠EDA＝180°，∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠EDA＝∠ACB；
（2）∵∠ADC＝∠ABC，∠ADE＝∠ADC，∠EDA＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴△ABC是等腰三角形．
4．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解：连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝＝．
5．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OB、OC，
∵∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
由圆周角定理得，∠BOC＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝3．
6．证明：（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE＝180°，
又∵∠EDC+∠ADE＝180°
∴∠EDC＝∠B，
又∵∠EDC＝∠C
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵AB＝AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠EAD，
∴＝，
7．（1）证明：∵AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∵∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）解：作直径DE，连接BE，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝30°，
∴DE＝2BE，
设EB＝x，则ED＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝62
∵x＞0，
∴x＝2，
∴即⊙O的半径为2．
8．（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
9．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝．
10．解：（Ⅰ）如图1，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，即BD＝12，
∵，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝6；
（Ⅱ）如图2，作BH⊥AC于H，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，BD＝＝，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝×＝，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴AC＝AH+CH＝+＝4．
11．解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝2∠A，
∴∠A＝60°；
（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H
∵∠A＝60°，∠BOD＝2∠A，
∴∠BOD＝120°；
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∵OH⊥BD于H，
∴，
∵OH⊥BD于H，
∴．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
13．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
14．（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
15．（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠ACB＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠BAD，
∴∠EAC＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，
∴CE＝CA．
（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．
∵∠EAD＝∠CAB，
∴＝，
∴DM＝BC＝10，
∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，
∴∠MDE＝∠CAM，
∵∠E＝∠CAE，
∴∠E＝∠MDE，
∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，
∴EH＝DH，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，
∴EH＝4，
∴DE＝2EH＝8．
16．（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．
∵＝，
∴CD＝CB，∠1＝∠2．
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF＝CE．
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝AE，DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，
∴AB＝AD+2BE．
（2）解：∵S△ADC＝AD×CF＝，
∴CF＝，
由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，
∴∠B＝∠CDF＝60°，
在△CDF中，求得DF＝．
∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．
17．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
18．（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
19．解：（1）∵∠BCD＝120°，CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACD＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
则DH＝BD＝，
∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴∠DOH＝60°，
在Rt△ODH中，OD＝，
∴⊙O的半径为．
20．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，
∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
21．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，
∴∠ABD＝∠FBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，
∴∠CBF＝＝50°；
（2）令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°﹣2α，
又∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴CD＝3．
23．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故＝＝＝π，
答：的长为π．
24．（1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，作OM⊥BD于M，延长MO交AH于N，如图，
∵OM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵AC为直径，
∴∠AHC＝90°，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD，
∴四边形AHFE为矩形，MN∥AE∥FH，
∵ON∥CH，点O为AC的中点，
∴点N为AH的中点，
∴M点为EF的中点，
∴FM＝EM，
∴BM﹣FM＝DM﹣EM，
即BF＝DE；
（2）解：易得四边形ANME为矩形，则MN＝AE＝6，
∵DE＝2，DF＝12，
∴BF＝2，EF＝12﹣2＝10，BE＝12，
∴AH＝EF＝10，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝6，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，
∴AC＝10，
即圆的直径为10．