《3.7正多边形》同步练习 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.7正多边形》同步练习题（附答案）
1．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（　　）
A．4π B．3π C．2π D．π
2．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）
A．2：3 B．：1 C．： D．1：
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
5．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（　　）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B的对应点B′恰好落在边AF的中点上，点C、D的对应点为C′、D′，延长B′C′交EF于点M，则C′M的长为（　　）
A．1 B．
C． D．
7．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．如图，用n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．2： B．： C．： D．：2
11．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD
12．如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．3 D．
13．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则等于（　　）
A．3 B． C．2 D．
14．如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，正六边形的边长为4，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是 　 　．
16．如图，在正五边形ABCDE中，AB＝2，分别以顶点A、B、C、D、E为圆心，AB的长为半径在正五边形ABCDE内作圆弧，则图中阴影部分图形的面积为　．（结果保留π）
17．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是　 　．
18．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝　 　，边长＝　 　，边心距＝　 　．
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P是上的一点，则∠CPD的度数是　 　度．
20．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长　 　．
21．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B重合），点F是上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°．有下列结论：①＝；②四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；③△GBH周长的最小值为2+；④若BG＝1﹣，则BG，GE，围成的面积是，其中正确的是　 　（把所有正确结论的序号都填上）
22．如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画弧BF，弧CE，若AB＝1，则阴影部分的面积为　 　．
23．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转　 　°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为　 　．
24．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　 　度．
25．如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　 　°．
26．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　 　度．
27．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为　 　．
28．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为　 　．
29．如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝　 　．
30．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．
31．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
参考答案
1．解：如图，O为正六边形六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB
则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
即OH＝，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OH⊥AB，
∴sin∠OAH＝，
∴OA＝2，
∴它的外接圆的面积＝π 22＝4π，
故选：A．
2．解：连接OA、OB．OE，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，
∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，
故选：A．
3．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
4．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
5．解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝OA＝×4＝2，
故选：A．
6．解：如图，过点H作FA的延长线的垂线HQ，
∵∠BAF＝120°，
∴∠HAQ＝60°，∠HQA＝90°，
∴∠AHQ＝30°，
设AH＝x，∴AQ＝x，QH＝x，
∴BH＝B′H＝AB﹣AH＝6﹣x，
∵AB′＝AB＝3，
∴B′Q＝B′A+AQ＝3+x，
在Rt△B′HQ中，根据勾股定理，得
B′H2＝B′Q2+QH2，
∴（6﹣x）2＝（3+x）2+x2，
解得x＝，
∴B′H＝6﹣x＝＝，
∵∠HAB′＝∠F＝∠HB′M＝120°，
∴∠AHB′+∠AB′H＝60°，∠FB′M+∠AB′H＝60°，
∴∠AHB′＝∠FB′M，
∴B′M＝7，
∴C′M＝B′M﹣B′C′＝7﹣6＝1．
故选：A．
7．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1，
∴OG＝，
∴S△AOB＝AB OG
＝2×
＝．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．
故选：C．
8．解：∵五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
9．解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正n边形，
则＝120°，
解得：n＝6，
故选：B．
10．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH＝AB，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，
∴AD＝OA，AH＝OA，
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，
∴＝＝，
故选：B．
11．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
12．解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：
则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，
∵DM⊥OE，
∴△ODM是等腰直角三角形，
∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，
设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，
解得：x2＝2+，
∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，
∴ON＝＝＝＝+1，
即⊙O的半径为：1+；
故选：B．
13．解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∴BH＝DB+DH＝（+1）a．
在Rt△ABH中，＝+1．
故选：B．
14．解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，
∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，
∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝1，∠ABO＝60°，
∴OH＝＝，
∴“三叶轮”图案的面积＝（﹣×1×）×6＝π﹣，
故选：B．
15．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6 （S半圆﹣S弓形AmB）＝6 （ π 22﹣π+4）＝24﹣4π．
故答案为：24﹣4π．
16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，
∵AB＝2，
∴AB＝1，
∴图中阴影部分图形的面积为＝π，
故答案为：．
17．解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝1，
∴PH＝＝＝，
∴P的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
18．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝2，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝2，
故答案为：60°，4，2．
19．解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，
又∵∠CPD＝∠CAD，
∴∠CPD＝45°．
故答案是：45．
20．解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
21．解：如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴，
∵，
∴；故①正确，
在△BOG与△COH中，，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，BG＝CH，
∵∠HOG＝90°
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S四边形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值，故②错误；
∵AB＝BC，BG＝CH，
∴AG＝BH，
∴△BGH的周长＝BG+BH+GH＝BG+AG+OG＝AB+OG＝2+OG，
当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝1，
∴△GBH周长的最小值为2+，故③正确；
作OM⊥AB于M，则OM＝BM＝AB＝1，OB＝OM＝，
∴GM＝，
∴∠GOM＝30°，
∵∠BOM＝45°，
∴∠BOG＝45°﹣30°＝15°，
∴扇形BOE的面积＝＝，
∵BG＝1﹣，
∴AG＝1+，
过G作GP⊥BO于P，
∴PG＝PB＝﹣，
∴△OBG的面积＝××（ ﹣）＝﹣，
∴BG，GE，围成的面积＝扇形BOE的面积﹣△BOG的面积＝﹣+，故④错误；
故答案为：①③．
22．解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠D＝＝120°，∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝AB＝1，
∴阴影部分的面积＝×1××6﹣×2
＝﹣π，
故答案为：﹣π．
23．解：如图2所示：
将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．
在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，
则MN＝PM＝AM，
∵AM+MN+BN＝AB＝4，
∴AM+AM+AM＝4，
解得：AM＝4﹣2，
则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；
故答案为：（），32﹣32．
24．解：根据正多边形性质得，中心角为：
∠AOB＝360°÷9＝40°，
∴∠MON＝2∠AOB＝80°．
故答案为：80．
25．解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4＝＝108°，
∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，
∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，
故答案为：48．
26．解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
27．解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝×2＝．
故答案为：．
28．解：连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图所示：
则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，AM＝AB＝1，
∴OM＝＝，
即正六边形外接圆的半径＝2，
它的内切圆的半径＝，
所以圆环的面积＝π[22﹣（）2]＝π；
故答案为：π．
29．解：根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，
∴四边形JHBG是平行四边形，
∴JH＝BG，
同理可证：四边形CDFB是平行四边形，
∴CD＝FB，
∴FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，
设FG＝x，
∵∠AFG＝∠AFB，∠FAG＝∠ABF＝36°，
∵AF＝AG＝BG＝1，
∴x（x+1）＝1，
∴x＝（负根已经舍弃），
∴BF＝+1＝，
∴FG+JH+CD＝+1．
故答案为+1．
30．解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°．
31．（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，
∴∠AFM＝∠BMH．
（2）解：猜想：FM＝MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．
②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG＝BH，连接MG．
∵∠BAF＝120°，AF＝AB，
∴∠ABF＝30°，
∴∠ABG＝180°﹣30°＝150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ＝×60°＝30°，
∴∠MBH＝∠ABC+∠CBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠MBH＝∠MBG＝150°．
∵，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB＝∠MGB，MH＝MG，
∵∠AFM＝∠BMH，∠HMB+∠MHB＝30°，
∴∠AFM+∠MGB＝30°，
∵∠AFM+∠MFB＝30°，
∴∠MFB＝∠MGB．
∴FM＝MG＝MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP＝MB，连接PM．
∵AF＝AB，FP＝MB，
∴PA＝AM
∵∠A＝120°，
∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°，
有∠FPM＝150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠FPM＝∠MBH，
由（1）知∠PFM＝∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM＝MH．