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专题3.2 弧、弦、角、距的关系-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 弧、弦、角、矩的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 弧、弦、角、矩的概念】21世纪教育网版权所有
【例1】（2021 浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答过程】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【变式1-1】（2020秋 西林县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【解题思路】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【解答过程】解：A．如图，
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弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C．如图，
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∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D．如图，
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弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦www-2-1-cnjy-com
①若AB＝CD，则有 ＝ ， ＝
②若弧AB＝弧CD，则有 ＝ ， ＝
③若∠AOB＝∠COD，则有 ＝ ， ＝ ．
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【解题思路】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．【版权所有：21教育】
再将文字语言在转化成符号语言即可．
【解答过程】解：①若AB＝CD，则有，∠AOB＝∠COD；
②若，则有 AB＝CD，∠AOB＝∠COD；
③若∠AOB＝∠COD，则有，AB＝CD．
【变式1-3】如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，
则：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中结论正确的是 （填序号）【出处：21教育名师】
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【解题思路】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”再细心一点，即可找到全部正确答案．
【解答过程】解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE＝OF，
即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB＝CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，
则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；
易证△PEO≌△PFO，则PE＝PF，根据AB＝CD，
得到BE＝DF，则PB＝PD，故⑤正确．
【题型2 由弧、弦、角、矩的关系求角度】
【例2】（2020秋 新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）21教育名师原创作品
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A．40° B．60° C．80° D．120°
【解题思路】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．
【解答过程】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
【变式2-1】（2020 项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（ ）
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A．25° B．40° C．50° D．60°
【解题思路】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答过程】解：连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A＝75°，∠D＝60°，
∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，【来源：21·世纪·教育·网】
∵150°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
则的度数为60°．
故选：D．
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【变式2-2】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）21*cnjy*com
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A．125° B．120° C．130° D．115°
【解题思路】过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD＝OE＝OF，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答过程】解：过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
由题意得，HG＝PQ＝MN，
∴OD＝OE＝OF，
∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
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【变式2-3】（2021 下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ ．
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【解题思路】首先连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC＝∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA＝∠OBC，再由∠ABC＝40°，OB＝OC，即可得到结果．
【解答过程】解：如图，连接AO，BO，
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∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝BC，
∴∠BOC＝∠AOB，
∴∠OBA（180°﹣∠AOB）（180°﹣∠BOC）＝∠OBC，
∵∠ABC＝40°，OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°．
故答案为：20°．
【题型3 由弧、弦、角、矩的关系求线段】
【例3】（2020秋 思明区校级期中）如图，在⊙O中，若，且AD＝3，求CB的长度．
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【解题思路】根据，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．
【解答过程】解：∵，
∴，即，
∴CB＝AD＝3．
【变式3-1】（2020秋 滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（ ）21·cn·jy·com
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A．1 B． C． D．2
【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答过程】解：连接OB、OB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是的中点，
∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴AB′，
故选：B．
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【变式3-2】（2021 青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为 ．
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【解题思路】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解答过程】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BEAB，CF＝DFCD，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE，
∴OE1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF∠AMC＝60°，
∴OM，
故答案为：．
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【变式3-3】如图，在半径为4的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为 ．
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【解题思路】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE＝AB；利用等腰三角形性质证明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．
【解答过程】解：如图，
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连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．
在△COE与△OAB中，
∵，
∴△COE≌△OAB（SAS），
∴OE＝AB．
∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴DE＝OE，
∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．
故答案为：4．
【题型4 弧、弦、角、矩中的比较问题】
【例4】（2021秋 莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（ ）
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A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定
【解题思路】取的中点E，连接AE、BE，如图，易得，利用圆心角、弧、弦的关系得到CD＝AE＝BE，然后根据三角形三边的关系可得到AB与2CD之间的关系．
【解答过程】解：取的中点E，连接AE、BE，如图，
∵弧AB等于弧CD的2倍，
而，
∴，
∴CD＝AE＝BE，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
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【变式4-1】（2021秋 鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，2，则以下数量关系正确的是（ ）
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A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
【解题思路】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答过程】解：如图．连接BC．
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∵2，
∴，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
【变式4-2】（2021秋 睢宁县校级月考）如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】连接AC，OC，OD，BD，根据CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，得到AC＝OC，BD＝OD，推出△AOC，△BOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝∠BOD＝60°，求得∠COD＝60°，即可得到结论．21教育网
【解答过程】解：连接AC，OC，OD，BD，
∵CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，
∴AC＝OC，BD＝OD，
∵OC＝OD＝OA＝OB，
∴△AOC，△BOD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠COD＝60°，
∴，
故选：A．
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【变式4-3】（2020秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，若，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
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【解题思路】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．www.21-cn-jy.com
【解答过程】解：如图，连接AB、BC，
在⊙O中，若，
∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案是：＜．
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【题型5 弧、弦、角、矩中的证明问题】
【例5】（2021 秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
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【解题思路】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答过程】证明：连接BD．
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∵AB＝CD，
∴
∴，即，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
【变式5-1】（2021 武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．21cnjy.com
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【解题思路】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答过程】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
【变式5-2】（2021 硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
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【解题思路】（1）由AB＝CD得到，则，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论；
∴（2）根据圆周角定理，由得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝BE．21·世纪*教育网
【解答过程】证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
即，
∴，
∴AC＝BD；
（2）∵，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
【变式5-3】（2020秋 江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．21*cnjy*com
求证：AC＝BD．
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【解题思路】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC＝∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC＝BD．
【解答过程】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
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【题型6 弧、弦、角、矩中的综合问题】
【例6】（2021 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
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A．25 B．25 C． D．
【解题思路】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解答过程】解：连OC，如图，
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∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2．
故选：D．
【变式6-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②，③四边形MCDN是正方形，④MNAB，其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】连接OM、ON，如图，利用OC＝ODOMON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断．2·1·c·n·j·y
【解答过程】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝ODOMON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴，所以②正确；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①正确；③错误；
∵MN＝CDOAOBAB，
∴④正确．
故选：C．
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【变式6-2】（2021春 长沙县月考）已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．
（1）证明：∠EAO＝∠BAO；
（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．
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【解题思路】（1）由题意得OB＝OE＝OA，AE＝AB，则∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，再证出∠AOE＝∠AOB，即可得出结论；
（2）连接OE、OF，证OE＝OF＝EF，则∠EOF＝60°，再证，得∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，即可求解．2-1-c-n-j-y
【解答过程】（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，
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由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，
∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，
∴∠AOE＝∠AOB，
∴∠EAO＝∠BAO；
（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠EOF＝60°，
∵AE＝BF＝AB，
∴，
∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，
∴∠POQ∠EOF＝20°．
【变式6-3】（2021秋 海淀区期末）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
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【解题思路】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答过程】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴ODOC＝1，
∴CD，
∴△OCD的面积OD×CD，
同理可得，△OCE的面积OE×CE，
∴四边形DOEC的面积．
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专题3.2 弧、弦、角、距的关系-重难点题型
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【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
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【例1】（2021 浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2020秋 西林县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【变式1-2】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦21·cn·jy·com
①若AB＝CD，则有 ＝ ， ＝
②若弧AB＝弧CD，则有 ＝ ， ＝
③若∠AOB＝∠COD，则有 ＝ ， ＝ ．
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【变式1-3】如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，
则：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中结论正确的是 （填序号）21cnjy.com
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【题型2 由弧、弦、角、距的关系求角度】
【例2】（2020秋 新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．40° B．60° C．80° D．120°
【变式2-1】（2020 项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（ ）
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A．25° B．40° C．50° D．60°
【变式2-2】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．125° B．120° C．130° D．115°
【变式2-3】（2021 下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ ．21教育网
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【题型3 由弧、弦、角、距的关系求线段】
【例3】（2020秋 思明区校级期中）如图，在⊙O中，若，且AD＝3，求CB的长度．
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【变式3-1】（2020秋 滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（ ）21·世纪*教育网
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A．1 B． C． D．2
【变式3-2】（2021 青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为 ．
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【变式3-3】如图，在半径为4的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为 ．www-2-1-cnjy-com
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【题型4 弧、弦、角、距中的比较问题】
【例4】（2021秋 莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定
【变式4-1】（2021秋 鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，2，则以下数量关系正确的是（ ）
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A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
【变式4-2】（2021秋 睢宁县校级月考）如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【变式4-3】（2020秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，若，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
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【题型5 弧、弦、角、距中的证明问题】
【例5】（2021 秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
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【变式5-1】（2021 武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．2-1-c-n-j-y
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【变式5-2】（2021 硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
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【变式5-3】（2020秋 江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．21*cnjy*com
求证：AC＝BD．
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【题型6 弧、弦、角、距中的综合问题】
【例6】（2021 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
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A．25 B．25 C． D．
【变式6-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②，③四边形MCDN是正方形，④MNAB，其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-2】（2021春 长沙县月考）已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．
（1）证明：∠EAO＝∠BAO；
（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．
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【变式6-3】（2021秋 海淀区期末）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
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