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专题3.4 圆周角定理-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 圆周角定理及其推论】
圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径
【题型1 圆周角定理】
【例1】（2021 碑林区校级模拟）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )B是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
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A．10° B．30° C．40° D．45°
【分析】先利用邻补角的定义计算出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOC＝160°，再根据垂径定理得到，所以∠AOD＝∠COD＝80°，然后根据圆周角定理得到∠ACD的度数．21cnjy.com
【解答】解：∵∠COB＝20°，
∴∠AOC＝160°，
∵OD⊥AC，
∴，
∴∠AOD＝∠COD∠AOC160°＝80°，
∴∠ACD∠AOD＝40°．
故选：C．
【变式1-1】（2021 朝阳区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（ ）
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A．15° B．25° C．35° D．50°
【分析】利用平角的定义先求∠AOC，再根据圆周角定理求出∠D．
【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°．
∴∠D∠AOC＝25°．
故选：B．
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【变式1-2】（2021 泰兴市二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为 y＝6x ．21·世纪*教育网
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【分析】连接OB，根据圆周角定理、邻补角的定义、角的和差等量代换求解即可．
【解答】解：连接OB，
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∵∠ABC∠AOC，∠AOC＝y，
∴∠ABCy，
∵OB＝OC，OA＝OB，
∴∠C＝∠OBC＝∠ABD﹣∠ABOy﹣x，
∵∠DOC＝180°﹣∠AOC，
∴∠DOC＝180°﹣y，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠C，∠BOC＝∠DOC+∠BOD，
∵OD＝BD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴180°﹣（y﹣x）﹣（y﹣x）＝180°﹣y+（y﹣x），
∴y＝6x，
故答案为：y＝6x．
【变式1-3】（2021 和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．21*cnjy*com
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【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例2】（2021 泗水县一模）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )B为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数是（ ）
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A．40° B．45° C．55° D．100°
【分析】连接CB，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据圆周角定理求出∠ADC＝∠B即可．
【解答】解：连接CB，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°，
故选：C．
【变式2-1】（2021 碑林区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
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A．10° B．30° C．40° D．45°
【分析】先利用邻补角的定义计算出∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )C＝160°，再根据垂径定理得到，所以∠AOD＝∠COD＝80°，然后根据圆周角定理得到∠ACD的度数．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵∠COB＝20°，
∴∠AOC＝160°，
∵OD⊥AC，
∴，
∴∠AOD＝∠COD∠AOC160°＝80°，
∴∠ACD∠AOD＝40°．
故选：C．
【变式2-2】（2021 宿迁）如图，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ 13° ．21*cnjy*com
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【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的直径，由点B是的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
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【变式2-3】（2021 临沂）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
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【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC＝CD，从而证明菱形．21世纪教育网版权所有
【解答】证明：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
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（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【题型3 直径所对的圆周角是90°】
【例3】（2021 庆阳二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【分析】连接AD，根据题意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AB＝2，再根据30°的角的直角三角形的性质即可得解．21·cn·jy·com
【解答】解：如图，连接AD，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB2，
∵∠BCD＝30°，
∴∠BAD＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝2，
∴BDAB．
故选：C．
【变式3-1】（2021 安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（ ）
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A． B． C． D．3
【分析】如图，连接AD，OC．证明△OBC是等边三角形，求出OB＝2，推出AB＝4，再证明△ADB是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接AD，OC．
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∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵D是的中点，
∴，
∴AD＝DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BDAB＝2，
故选：A
【变式3-2】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 下城区校级二模）如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝ 4 ．【版权所有：21教育】
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【分析】根据垂径定理得到A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝CD，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可判断OD为△ABC的中位线，所以ODBC＝1，从而得到直径为6，然后利用勾股定理计算AD的长．
【解答】解：∵OE⊥AC，
∴AD＝CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴ODBC＝1，
∵DE＝2，
∴OE＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，AC4．
故答案为4．
【变式3-3】（2021春 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．2-1-c-n-j-y
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
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【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到 ( http: / / www.21cnjy.com )∠DAB∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【解答】（1）证明：连接AE，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【题型4 圆周角定理（多结论问题）】
【例4】（2021 海淀区校级开学）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得PA＞AB；
②若2，则PB＝2PA；
③∠PAB不是直角；
④∠POB＝2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ③④ ．
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【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【解答】解：①∵PA是圆中的弦，AB时直径，所以，至少存在一点P，使得PA＞AB，结论错误．不存在．
②取的中点C，连接PC，BC，PB，则PC＝BC，
∴则，
∴PA＝PC＝BC，
∵PC+BC＞PB，
∴原结论错误，应该是PB＜2PA．
③连接BP，AP，
∵AB时直径，
∴∠APB＝90°°
∴∠PAB不是直角，结论正确．
④∵OP＝OA，
∴∠APO＝∠PAO，
∵∠POB＝∠PAO+∠APO＝2∠OPA．结论正确．
故答案是：③④．
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【变式4-1】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com ) 平江县模拟）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN＝90°；②；③∠ACM+∠ANM＝∠MOB；④AEMF，其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
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【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴AD＝BD，，∠MAN＝90°，故①②正确，
∵，
∴，
∴∠ACM+∠ANM＝∠MOB，故③正确，
∵∠MAE＝∠AME，
∴AE＝ME，
∵∠EAF+∠MAE＝∠AME+∠AFM＝∠MAN，
∠EAF＝∠AFM，
∴AE＝EF，
∴AEMF，故④正确．
故答案为：①②③④．
【变式4-2】（2020秋 淮南期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列四个结论：①∠EBC＝22.5°②BD＝DC③AE＝DC④2，其中正确结论有 ①②④ （只填序号）
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【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②④．
【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故①②正确，
∵AE＝BE，
∴，
又AD平分∠BAC，所以，2，④正确．
∵∠C＝67.5°，BE⊥CE，
∴BEBC，
∴AE＞DC，故③错误．
故答案为：①②④．
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【变式4-3】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )惠安县模拟）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠BOC是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是 ②③④ ．（填序号即可）
①AB＝2BC
②2
③∠ACB＝2∠CAB
④∠ACB＝∠BOC
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【分析】首先取D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：取的中点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴2，故②正确，
∴，
∴AD＝BD＝BC，
∵AB＜AD+BD，
∴AB＜2BC．故①错误，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，
∴∠AOB＝4∠CAB，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确．
故答案为：②③④
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【题型5 圆周角定理（最值问题）】
【例5】（2021 广饶县二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为 ．
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【分析】过O点作OF⊥CD ( http: / / www.21cnjy.com )于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACD＝∠ADC＝75°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝60°，则∠OCD＝45°，利用等腰直角三角形的性质得到OF，然后根据垂线段最短求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：过O点作OF⊥CD于F，如图，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣∠CAB）（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴△COF为等腰直角三角形，
∴OFOC2，
∴OE的最小值为．
故答案为．
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【变式5-1】（2021 东莞市校级一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为 2 ．
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【分析】以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，根据勾股定理求出CD，再求出答案即可．
【解答】解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，
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∵A（4，0），C（0，3），
∴OC＝3，OA＝4，
∴OD＝DB＝2，
∴CD，
∴BC＝CD﹣BD2，
故答案为：2．
【变式5-2】（2021 建湖县一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 1 ．2·1·c·n·j·y
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【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．
【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
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∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
【变式5-3】（2020秋 金牛区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为，则线段EF长度的最小值为 ．
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【分析】连接OE，OF，过 ( http: / / www.21cnjy.com )O点作OH⊥EF，垂足为H，如图，利用垂线段最短得到AD⊥BC时，线段AD长度取得最小值为，利用△ABD为等腰直角三角形得到BD＝AD，再根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，通过解直角三角形得到EHAD，利用垂径定理得EF＝2EHAD，然后根据AD的最小值为得到线段EF长度最小值．
【解答】解：连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，如图，
由题意可知：当AD⊥BC时，线段AD长度取得最小值为，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，即⊙O直径为，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OH⊥EF，OE＝OFAD，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EH＝FH，
∴OHOE，
∴EHOHAD，
∴EF＝2EHAD，
∵AD的最小值为，
∴线段EF长度最小值为．
故答案为．
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【题型6 圆周角定理（综合证明）】
【例6】（2021 九江模拟）如图，在⊙O中，弦AD与弦BC垂直，垂足为点G，E为AB中点，延长EG交CD于点F，求证：EF⊥CD．【来源：21cnj*y.co*m】
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【分析】根据圆周角定理得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝∠D，则∠A+∠D＝90°，再根据斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证明∠A＝∠DGF，于是得到∠DGF+∠D＝90°，然后根据垂直的定义得到结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠AGB＝∠DGC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝90°，
∵E为AB中点，
∴EA＝EG，
∴∠A＝∠AGE，
而∠AGE＝∠DGF，
∴∠A＝∠DGF，
∴∠DGF+∠D＝90°，
∴∠DFG＝90°，
∴EF⊥CD．
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【变式6-1】（2021 安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
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【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G ( http: / / www.21cnjy.com )，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．www.21-cn-jy.com
【解答】解：（1）连接OD，如图：
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∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DMCD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD，且OM＝3，
∴OD3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
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∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【变式6-2】（2021 无 ( http: / / www.21cnjy.com )为市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．
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【分析】（1）根据垂径定理可得E ( http: / / www.21cnjy.com )F＝DFDE，由弧AD＝弧DE可得出DFAD，根据直角三角形的性质得∠DAF＝30°，∠ADE＝60°，即可得出结论；
（2）连接CD，由直径所对的圆周角是 ( http: / / www.21cnjy.com )直角可得∠CDB＝90°，求出∠DCB＝30°，根据直角三角形的性质得BC＝4，可求出CD＝2，可得OC＝CD＝2，根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴EF＝DFDE，
∵弧AD＝弧DE，
∴AD＝DE，
∴DFAD，
∵DFDE，
∴∠DAF＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：连接CD，
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∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴∠CDB＝90°，
由（1）得△ADE是等边三角形，DE⊥AC，∠DAF＝30°，
∴∠DCA＝60°，CDAC＝OC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴CD2，
∴OC＝CD＝2，
∴OB2．
【变式6-3】（2021 杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
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【分析】（1）利用AC＝BD得到，则，然后根据圆周角定理得到∠ADB＝∠CAD，从而得到结论；
（2）作直径CF，连接DF，如图 ( http: / / www.21cnjy.com )2，先利用垂直定义得到∠ADE+∠CAD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∠CDF＝90°，然后根据等角的余角相等得到结论．21教育名师原创作品
【解答】证明：（1）∵AC＝BD，
∴，
即，
∴，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
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专题3.4 圆周角定理-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 圆周角定理及其推论】
圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对的圆周角，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径
【题型1 圆周角定理】
【例1】（2021 碑林区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
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A．10° B．30° C．40° D．45°
【变式1-1】（2021 朝阳区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（ ）
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A．15° B．25° C．35° D．50°
【变式1-2】（2021 泰兴市二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为 ．21cnjy.com
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【变式1-3】（2021 和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．21·cn·jy·com
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【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例2】（2021 泗水县一模）如图，AB ( http: / / www.21cnjy.com )为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数是（ ）
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A．40° B．45° C．55° D．100°
【变式2-1】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com )碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
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A．10° B．30° C．40° D．45°
【变式2-2】（2021 宿迁）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ ．21世纪教育网版权所有
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【变式2-3】（2021 临沂）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
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【题型3 直径所对的圆周角是90°】
【例3】（2021 庆阳二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
【变式3-1】（2021 安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．3
【变式3-2】（2021 下城 ( http: / / www.21cnjy.com )区校级二模）如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝ ．21教育网
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【变式3-3】（2021春 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．21·世纪*教育网
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
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【题型4 圆周角定理（多结论问题）】
【例4】（2021 海淀区校级开学）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得PA＞AB；
②若2，则PB＝2PA；
③∠PAB不是直角；
④∠POB＝2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
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【变式4-1】（2020 平江县 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN＝90°；②；③∠ACM+∠ANM＝∠MOB；④AEMF，其中正确结论的序号是 ．
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【变式4-2】（2020秋 淮南期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列四个结论：①∠EBC＝22.5°②BD＝DC③AE＝DC④2，其中正确结论有 （只填序号）www-2-1-cnjy-com
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【变式4-3】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )惠安县模拟）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠BOC是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是 ．（填序号即可）
①AB＝2BC
②2
③∠ACB＝2∠CAB
④∠ACB＝∠BOC
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【题型5 圆周角定理（最值问题）】
【例5】（2021 广饶县二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为 ．
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【变式5-1】（2021 东莞市校级一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为 ．www.21-cn-jy.com
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【变式5-2】（2021 建湖县一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．2-1-c-n-j-y
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【变式5-3】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 金牛区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为，则线段EF长度的最小值为 ．21*cnjy*com
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【题型6 圆周角定理（综合证明）】
【例6】（2021 九江模拟）如图，在⊙O中，弦AD与弦BC垂直，垂足为点G，E为AB中点，延长EG交CD于点F，求证：EF⊥CD．【来源：21cnj*y.co*m】
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【变式6-1】（2021 安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
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【变式6-2】（2021 无为市三模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．
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【变式6-3】（2021 杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
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