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专题3.6 正多边形与圆-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
为边数；为边心距；为半径；为边长
（2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 正多边形与圆（求长度问题）】
【例1】（2021 宁德模拟）已知四个 ( http: / / www.21cnjy.com )正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
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A．3 B． C． D．
【变式1-1】（2021春 皇 ( http: / / www.21cnjy.com )姑区校级月考）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝ ．21教育网
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【变式1-2】（2021 曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 ．2·1·c·n·j·y
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【变式1-3】（2020秋 西城区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
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【题型2 正多边形与圆（求角度问题）】
【例2】（2021 山西 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 ．
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【变式2-1】（2021 韩城市模拟）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则∠α的度数为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
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【变式2-2】（2021 碑林区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ ．21·世纪*教育网
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【变式2-3】（2020秋 垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 度，并说明理由．21cnjy.com
（3）如图3，正五边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ ，且∠EON＝ 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）21*cnjy*com
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【题型3 正多边形与圆（求面积问题）】
【例3】（2021 桥东区二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．3 B．3.1 C．3.14 D．π
【变式3-1】（2020 资中县一模）已知⊙O的面积为4π，则⊙O的内接正六边形的面积是 ．
【变式3-2】（2020秋 崇川区校级月考）如图，正八边形ABCDEFGH的外接圆⊙O的半径为2，则正八边形的面积 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【变式3-3】（2020秋 武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．【出处：21教育名师】
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
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【题型4 正多边形和圆（规律问题）】
【例4】（2021 德阳）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【变式4-1】（2021春 普宁市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝4）的顶点 i的坐标是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．（1，） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【变式4-2】（2020秋 兴国县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）21·cn·jy·com
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A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【变式4-3】（2021 宜春一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
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A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
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专题3.6 正多边形与圆-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
为边数；为边心距；为半径；为边长
（2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 正多边形与圆（求长度问题）】
【例1】（2021 宁德模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
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A．3 B． C． D．
【分析】在边长为2的大正六 ( http: / / www.21cnjy.com )边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．2·1·c·n·j·y
【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，【来源：21·世纪·教育·网】
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
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【变式1-1】（2021春 皇姑区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ 60° ，边长＝ 4 ，边心距＝ 2 ．21·cn·jy·com
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【分析】由正六边形的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠COD60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝4，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．21·世纪*教育网
【解答】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CGBC＝2，
∵∠COG∠COD＝30°，
∴OGCG＝2，
故答案为：60°，4，2．
【变式1-2】（2021 曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 2 ．【出处：21教育名师】
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【分析】连接OB交AC于M，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据圆内接正多边形的性质得到∠AOB＝∠BOC＝45°，AB＝BC，由垂径定理可求得AM，得到OM⊥AC，在等腰Rt△AOC中，根据勾股定理求出OA，在等腰Rt△AOM中，根据勾股定理求出OM，即为点O到AC距离为2．21*cnjy*com
【解答】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC45°，AB＝BC，
∴，∠AOC＝90°，
∴AM＝CMAC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
【变式1-3】（2020秋 西 ( http: / / www.21cnjy.com )城区校级月考）如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
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【分析】连接AC，作AE⊥PB于E， ( http: / / www.21cnjy.com )由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，由圆周角定理得出AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC＝90°，ACAB，由勾股定理得出AC，得出AB，由圆周角定理得出∠APB＝∠ACB＝45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出PE＝AEAP，再由勾股定理得出BE，即可得出PB的长．
【解答】解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，ACAB，
∴AC，
∴AB，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AEAP，
∴BE，
∴PB＝PE+BE2．
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【题型2 正多边形与圆（求角度问题）】
【例2】（2021 山西模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 36 °．
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【分析】如图，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OM，ON．
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∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN∠MON＝36°，
故答案为：36．
【变式2-1】（2021 韩城市模拟）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则∠α的度数为 108° ．www-2-1-cnjy-com
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【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得外角的度数，从而求得答案即可．
【解答】解：正五边形的内角的度数为：108°，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠GBE＝∠BEF＝108°，
∴∠BCE＝∠BEC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠CBE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠α＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°，
故答案为：108°．
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【变式2-2】（2021 碑 ( http: / / www.21cnjy.com )林区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ 126 °．
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【分析】连接BE，BD，求出∠DEC＝36°，∠BFE＝90°可得结论．
【解答】解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
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【变式2-3】（2020秋 垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：21教育网
（1）如图1，等边三角形ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．2-1-c-n-j-y
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 90 度，并说明理由．21*cnjy*com
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ EM ，且∠EON＝ 108 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
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【分析】（1）利用△ABC是 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形，可得∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，又因BM＝AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN＝∠BCM，所以∠NOC＝∠BCM+∠OBC＝∠ABN+∠OBC＝60°；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
【题型3 正多边形与圆（求面积问题）】
【例3】（2021 桥东区二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（ ）
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A．3 B．3.1 C．3.14 D．π
【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB ( http: / / www.21cnjy.com )，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出ADOA，求出△AOB的面积OB AD，即可得出答案．
【解答】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：
∴∠AOB30°，
∵AD⊥OB，
∴ADOA，
∴△AOB的面积OB×AD1，
∴正十二边形的面积＝123，
∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，
故选：A．
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【变式3-1】（2020 资中县一模）已知⊙O的面积为4π，则⊙O的内接正六边形的面积是 6 ．
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，先求出⊙O的半径，又由圆的内接正六边形的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O的面积为4π，
∴⊙O的半径为2，
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AHAB，
∵∠AOB360°＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
∴AHOA＝1，
∴OHAH，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝626，
故答案为：6．
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【变式3-2】（2020秋 崇川区校级月考）如图，正八边形ABCDEFGH的外接圆⊙O的半径为2，则正八边形的面积 8 ．
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【分析】根据正八边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得出AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝45°，进而得出AC的长，即可得出S四边形AOCB的面积，进而得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的外接圆O半径为2，
∴AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC45°，
∴∠AOC＝90°，
∴AC＝2，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCBBO×AC2×22，
∴正八边形面积为：24＝8．
故答案为：8．
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【变式3-3】（2020秋 武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．21cnjy.com
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
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【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明．
（2）连接BD，过点D作DF ( http: / / www.21cnjy.com )⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EFDE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DEDE，
∴DE1，
∴S△DEFDE2．
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【题型4 正多边形和圆（规律问题）】
【例4】（2021 德阳）如图，边长为1的正 ( http: / / www.21cnjy.com )六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）【版权所有：21教育】
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A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】如图，连接AD，BD．首先确 ( http: / / www.21cnjy.com )定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6＝337 3，推出经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，由此即可解决问题．www.21-cn-jy.com
【解答】解：如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
∴OAAF，
∴OB＝OA+AB，
∴D（，），
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2025÷6＝337……3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
∵D与D3关于原点对称，
∴D3（，），
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（，），
故选：A．
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【变式4-1】（2021春 普宁 ( http: / / www.21cnjy.com )市期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝4）的顶点 i的坐标是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．（1，） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来．21教育名师原创作品
【解答】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C4关于原点对称，
∵C的坐标为（﹣1，），
∴C4的坐标为（1，）．
故选：A．
【变式4-2】（2020秋 兴 ( http: / / www.21cnjy.com )国县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
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A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【分析】连接OA，根据正多边形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝2，根据勾股定理求出OH，根据规律解答．
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
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【变式4-3】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com )宜春一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
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A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】连接OB，证△AOB是等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，得AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AGOA，BGAG，得B（，），C（，），E（，），再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（，），第二次相遇地点在点E（，），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．21世纪教育网版权所有
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵A（﹣1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝1，∠AOB60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
过B作BG⊥OA于点G，
则AGOA，BGAG，
∴B（，），
∴C（，），E（，），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（，），
第三次相遇地点在点A（﹣1，0），
…如此下去，
∵2021÷3＝673…2，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，），
故选：C．
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