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专题3.7 弧长与扇形的面积-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 弧长与扇形的面积】
圆的周长 圆的弧长 圆的面积 扇形面积
为圆的半径;为弧所对的圆心角的度数;为扇形的弧长
【题型1 弧长的计算】
【例1】(2021 庐阳区校级模拟)如图, ABCD中,∠C=110°,AB=2,以AB为直径的⊙O交BC于点E,则的长为( )21世纪教育网版权所有
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A. B. C. D.
【分析】根据平行线的性质,可以 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )得到∠B的度数,然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系,可以得到∠AOB的度数,再根据弧长公式l,即可计算出的长.21·cn·jy·com
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
∵∠C=110°,
∴∠B=70°,
∵OB=OE,
∴∠B=∠OEB,
∴∠OEB=70°,
∴∠AOE=∠B+∠OEB=70°+70°=140°,
∵AB=2,AB为⊙O的直径,
∴OA=OB=OE=1,
∴的长为:,
故选:C.
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【变式1-1】(2021 毕节市) ( http: / / www.21cnjy.com )某小区内的消防车道有一段弯道,如图,弯道的内外边缘均为圆弧,,所在圆的圆心为O,点C,D分别在OA,OB上.已知消防车道半径OC=12m,消防车道宽AC=4m,∠AOB=120°,则弯道外边缘的长为( )21*cnjy*com
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A.8πm B.4πm C.πm D.πm
【分析】根据线段的和差得到OA=OC+AC,然后根据弧长公式即可得到结论.
【解答】解:∵OC=12m,AC=4m,
∴OA=OC+AC=12+4=16(m),
∵∠AOB=120°,
∴弯道外边缘的长为:(m),
故选:C.
【变式1-2】(2021 余姚 ( http: / / www.21cnjy.com )市一模)如图,四边形ABCD的顶点B,C,D都在⊙A上,AD∥BC,∠BAD=140°,AC=3,则的弧长为( )
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A.π B.π C.π D.π
【分析】求出∠BAC,利用弧长公式计算即可.
【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠BAD=140°,
∴∠ABC=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠BAC=180°﹣80°=100°,
∴的长π,
故选:A.
【变式1-3】(2020秋 西湖区期末)如图 ( http: / / www.21cnjy.com ),将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG,点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上,若AD=3,则的长为( )www.21-cn-jy.com
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A. B. C. D.
【分析】连接AC,AF,根据正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得出∠DAC=45°,AD=DC=3,∠ADC=90°,求出A、D、F三点共线,A、E、C三点共线,求出∠FAC=45°,再根据弧长公式求出答案即可.21·世纪*教育网
【解答】解:连接AC,AF,
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∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAC=45°,AD=DC=3,∠ADC=90°,
由勾股定理得:AC3,
∵将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG,点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上,www-2-1-cnjy-com
∴A、D、F三点共线,A、E、C三点共线,
∴∠FAC=45°,
∴的长是,
故选:B.
【题型2 弧长计算中的最值问题)】
【例2】(2021 安阳二模)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,半圆O的直径AB=2cm,2,点E是上一个动点,弦DE∥AB,OF⊥AB交DE于点F,OH=EF,则图中阴影部分周长的最大值为 (2) cm.【出处:21教育名师】
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【分析】连接OE,可证四边形HO ( http: / / www.21cnjy.com )EF是平行四边形,则DF+AH+HF=2cm,所以当E与C点重合时,AD弧的长最大,可求∠BOC=60°,即可求AD弧的长cm,进而求阴影部分周长的最大值.21教育名师原创作品
【解答】解:连接OE,
∵DE∥AB,OH=EF,
∴四边形HOEF是平行四边形,
∴HF=OE,
∵HO=EF,
∴DF+AH=AO,
∴DF+AH+HF=AO+OE=AB,
∵AB=2cm,
∴DF+AH+HF=2cm,
∵点E是上一个动点,
∴当E与C点重合时,AD弧的长最大,
此时阴影部分周长最大,
∵2,
∴∠BOC=60°,
∴AD弧的长cm,
∴阴影部分周长的最大值为(2)cm,
故答案为:2.
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【变式2-1】(2021 辽宁模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交弧BC于点D.点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 2 .21*cnjy*com
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【分析】利用轴对称的性质,得出当点E移动到点E′时,阴影部分的周长最小,此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和,分别进行计算即可.
【解答】解:如图,作点D关于OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′,
此时E′C+E′D最小,即:E′C+E′D=CD′,
由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°,
∴∠COD′=90°,
∴CD′2,
∴的长l,
∴阴影部分周长的最小值为2.
故答案为:2.
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【变式2-2】(2021 邓州市 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一模)如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,过点O作OC⊥AB交⊙O于点C,∠CAD=30°,点P是直径AB上的动点,求PC,PD,所围成的图形周长最小值为 5 .
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【分析】PC,PD,所围成的图形周长是PC+PD.由于∠CAD=30°,连接OD,根据圆周角定理可得∠COD=60°,那么弧CD的长为定值,所以PC+PD取最小值时PC,PD,所围成的图形周长最小.作点C关于AB的对应点C′,连接DC′交AB于P,此时PC+PD的值最小,最小值为DC′的长,解直角△DCC′即可.
【解答】解:如图,连接OD.
∵∠CAD=30°,连接OD,根据圆周角定理可
∴∠COD=60°,
又AB是⊙O的直径,且AB=10,
∴.
作点C关于AB的对应点C′,连接DC′交AB于P,
此时PC+PD的值最小,最小值为DC′的长.
连接CD,则∠CDC′=90°,
∵∠C′=∠CAD=30°,
∴CDCC′=5,DC′CD=5,
∴PC,PD,所围成的图形周长最小值为5.
故答案为:5.
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【变式2-3】(2021 诸城市二模)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,以BC为直径作圆O,A,D为圆周上的点,AD∥BC,AB=CD=AD=1.若点P为BC垂直平分线MN上的一动点,则阴影部分图形的周长最小值为 1 .
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【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD,求出AC的长即可.
【解答】解:连接AC,根据对称的意义可知,PD+PC的最小值为AC,
∵AD∥BC,AB=CD=AD=1,
∴,
∴∠ABC=2∠ACB,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠ACB=30°,∠ABC=60°,
∴AC AB,
所以阴影部分周长的最小值为AC+CD1,
故答案为:1.
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【题型3 扇形面积的计算】
【例3】(2021 东营)如 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图,在 ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 .【版权所有:21教育】
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【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB,根据三角形的外角的性质求出∠BEF,根据扇形面积公式计算.
【解答】解:∵∠BAC=60°,∠ABC=100°,
∴∠ACB=20°,
又∵E为BC的中点,
∴BE=ECBC=2,
∵BE=EF,
∴EF=EC=2,
∴∠EFC=∠ACB=20°,
∴∠BEF=40°,
∴扇形BEF的面积,
故答案为:.
【变式3-1】(2021 宜昌) ( http: / / www.21cnjy.com )“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图,以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”,该“莱洛三角形”的面积为 (2π﹣2) 平方厘米.(圆周率用π表示)2-1-c-n-j-y
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【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成,其面积等于三块扇形的面积相加,再减去两个等边三角形的面积,分别求出即可.
【解答】解:过A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC=BC=2厘米,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD⊥BC,
∴BD=CD=1厘米,ADBD厘米,
∴△ABC的面积为BC AD(厘米2),
S扇形BACπ(厘米2),
∴莱洛三角形的面积S=3π﹣2(2π﹣2)厘米2,
故答案为:(2π﹣2).
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【变式3-2】(2021 邵阳县模拟 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,半圆的直径AB长为6cm,O是圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠ADC=108°,则扇形OAC的面积为 π .(结果保留π.)21cnjy.com
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【分析】根据圆内接四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得出∠ABC=72°,由OB=OC得出∠OCB=∠OBC=72°,从而求得∠AOC=144°,然后根据扇形面积公式即可求得.
【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∠ADC=108°,
∴∠ABC=180°﹣108°=72°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=72°,
∴∠AOC=144°,
∴扇形OAC的面积为:π,
故答案为π.
【变式3-3】(2021 霍邱县一模) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图,从一块半径是cm的圆形铁皮(⊙O面)上剪出一个圆心角(∠BAC)为60°的扇形BAC,点B和点C在⊙O的圆周上,若OA=2cm,则所剪出扇形的面积等于 π cm2.21教育网
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【分析】】连接OB,过点O作OH⊥AB于H,解直角三角形求得AB的长,然后利用扇形的公式计算即可.
【解答】解:连接OB,过点O作OH⊥AB于H.
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由对称性可知,∠OAH=30°,
∵∠AHO=90°,AO=2cm,
∴OHOA=1(cm),AHOH(cm),
∴BH2(cm),
∴AB=3(cm),
∴所剪出扇形的面积为:π(cm2),
故答案为π.
【题型4 求不规则图形阴影部分的面积】
【例4】(2021 南关区校级二 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )模)扇子在我国已经有三、四千年的历史,中国扇文化有丰富的文化底蕴.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC夹角为150°.AB的长为30cm,扇面BD的长为20cm,则扇面的面积为 π cm2.
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【分析】根据扇形的面积公式,利用扇面的面积=S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算.
【解答】解:∵AB=30cm,BD=20cm,
∴AD=10cm,
∵∠BAC=150°,
∴扇面的面积=S扇形BAC﹣S扇形DAE
π(cm2).
故答案为π.
【变式4-1】(2021 洛阳一模)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,以OB为直径作半圆,圆心为点C,过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E,则阴影部分的面积为 π .2·1·c·n·j·y
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【分析】根据题意和图形,作出合适的辅助线,即可求得阴影部分的面积.
【解答】解:连接OE,
∵∠BOA=90°,点C为BD的中点,CE∥OA,OA=2,
∴∠ECO+∠COA=180°,OB=OE=2,OC=1,
∴∠OCE=90°,OE=2OC,
∴∠EOC=60°,CE,
∴阴影部分的面积为:π,
故答案为π.
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【变式4-2】(2021 河南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图1,是一枚残缺的古代钱币,如图2,经测量发现,钱币完好部分的弧长为3π,其内部正方形ABCD的边长为1.已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合,且点E,F分别是边BC,CD的延长线与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积为 π .【来源:21·世纪·教育·网】
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【分析】如图,延长DA交⊙O于M,延长AB交⊙O于N.首先利用弧长公式求出r,再利用分割法求解即可.【来源:21cnj*y.co*m】
【解答】解:如图,延长DA交⊙O于M,延长AB交⊙O于N.
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设⊙O的半径为r.
由题意,钱币完好部分的弧长为3π,
∴2πr=3π,
∴r=2,
∴S阴(πr2﹣1)=π.
【变式4-3】(2021 卫辉市二模)已知, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图,扇形AOB中,∠AOB=120°,OA=4,若以点A为圆心,AO长为半径画弧交弧AB于点C,过点C作CD⊥OA,垂足为点D,则图中阴影部分的面积为 π+2 .
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【分析】如图,连接OC,AC.证得△AOC是等边三角形,即可根据S阴影=S扇形BOC+S△ACD求得即可.
【解答】解:如图,连接OC,AC.
由题意OA=OC=AC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOC=60°,
∵CD⊥OA,
∴OD=AD=2,
∴CD=2,
∴S阴影=S扇形BOC+S△ACDπ+2,
故答案为:π+2.
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【知识点1 弧长与扇形的面积】
圆的周长 圆的弧长 圆的面积 扇形面积
为圆的半径;为弧所对的圆心角的度数;为扇形的弧长
【题型1 弧长的计算】
【例1】(2021 庐阳区校级模拟)如图, ABCD中,∠C=110°,AB=2,以AB为直径的⊙O交BC于点E,则的长为( )21cnjy.com21教育网
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A. B. C. D.
【变式1-1】(2021 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 毕节市)某小区内的消防车道有一段弯道,如图,弯道的内外边缘均为圆弧,,所在圆的圆心为O,点C,D分别在OA,OB上.已知消防车道半径OC=12m,消防车道宽AC=4m,∠AOB=120°,则弯道外边缘的长为( )21世纪教育网21-cn-jy.com21cnjy.com
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A.8πm B.4πm C.πm D.πm
【变式1-2】(2021 余姚市一模)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD的顶点B,C,D都在⊙A上,AD∥BC,∠BAD=140°,AC=3,则的弧长为( )
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A.π B.π C.π D.π
【变式1-3】(2020秋 西 ( http: / / www.21cnjy.com )湖区期末)如图,将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG,点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上,若AD=3,则的长为( )21世纪21世纪教育网有21·cn·jy·com
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A. B. C. D.
【题型2 弧长计算中的最值问题】
【例2】(2021 安阳 ( http: / / www.21cnjy.com )二模)如图,半圆O的直径AB=2cm,2,点E是上一个动点,弦DE∥AB,OF⊥AB交DE于点F,OH=EF,则图中阴影部分周长的最大值为 cm.2·1·c·n·j·ywww.21-cn-jy.com
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【变式2-1】(2021 辽 ( http: / / www.21cnjy.com )宁模拟)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交弧BC于点D.点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 .21·世纪*教育网【来源:21·世纪·教育·网】
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【变式2-2】(2021 ( http: / / www.21cnjy.com )邓州市一模)如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,过点O作OC⊥AB交⊙O于点C,∠CAD=30°,点P是直径AB上的动点,求PC,PD,所围成的图形周长最小值为 .www-2-1-cnjy-com21·世纪*教育网
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【题型3 扇形面积的计算】
【例3】(2021 东营) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,在 ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 .21*cnjy*com21世纪教育网版权所有
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【变式3-1】(2021 宜昌)“莱洛三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图,以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”,该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米.(圆周率用π表示)21·cn·jy·com【来源:21cnj*y.co*m】
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【变式3-2】(2021 ( http: / / www.21cnjy.com )邵阳县模拟)如图,半圆的直径AB长为6cm,O是圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠ADC=108°,则扇形OAC的面积为 .(结果保留π.)【来源:21cnj*y.co*m】2·1·c·n·j·y
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【变式3-3】(2021 霍邱县 ( http: / / www.21cnjy.com )一模)如图,从一块半径是cm的圆形铁皮(⊙O面)上剪出一个圆心角(∠BAC)为60°的扇形BAC,点B和点C在⊙O的圆周上,若OA=2cm,则所剪出扇形的面积等于 cm2.【出处:21教育名师】
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【例4】(2021 南关区校级二模) ( http: / / www.21cnjy.com )扇子在我国已经有三、四千年的历史,中国扇文化有丰富的文化底蕴.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC夹角为150°.AB的长为30cm,扇面BD的长为20cm,则扇面的面积为 cm2.
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【变式4-1】(2021 洛阳一 ( http: / / www.21cnjy.com )模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,以OB为直径作半圆,圆心为点C,过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E,则阴影部分的面积为 .21教育网www-2-1-cnjy-com
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【变式4-2】(2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 河南模拟)如图1,是一枚残缺的古代钱币,如图2,经测量发现,钱币完好部分的弧长为3π,其内部正方形ABCD的边长为1.已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合,且点E,F分别是边BC,CD的延长线与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积为 .【版权所有:21教育】2-1-c-n-j-y
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【变式4-3】(2021 ( http: / / www.21cnjy.com )卫辉市二模)已知,如图,扇形AOB中,∠AOB=120°,OA=4,若以点A为圆心,AO长为半径画弧交弧AB于点C,过点C作CD⊥OA,垂足为点D,则图中阴影部分的面积为 .【来源:21·世纪·教育·网】
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