1.5.2“边角边”与线段的垂直平分线的性质
一、三角形全等的判定(SAS)
1．如图1中全等的三角形是( )
① ② ③ ④
图1
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③
2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
C．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC
图2 图3
3．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.
图4
二、利用“SAS”判定三角形全等证明线段或角相等
5．如图5，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD.
图5
6．如图6，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
图6
三、利用“SAS”判定三角形全等来解决实际问题
7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上____块，其理由是 ．
图7
四、线段的垂直平分线的性质
8．如图8，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长是( )
A．13 B．16 C．18 D．20
图8 图9
9．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为 35 cm，则BC的长为( )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
一、选择题
1．下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有个角是45°的两个等腰三角形
C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形
2．两边和一角对应相等的两个三角形（ ）
A．全等 B．不全等 C．不一定全等 D．以上判断都不对
3．如图1，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）
A．不能确定 B．8cm C．16cm D．4cm
(1) (2) (3)
4．如图2，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，则图中全等的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．3对 D．4对
5．如图3，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ABCD的周长是( )
A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm
二、填空题
6．根据已知条件，再补充一个条件，使图3中的△ABC≌△A′B′C′．
（1）AB=A′B′，AC=A′C′，_______________；（要求用SSS）
（2）AB=A′B′，AC=A′C′，_______________；（要求用SAS）
（3）AB=A′B′，BC=B′C′，_______________；（要求用SAS）
（4）AB=A′B′，∠A=∠A′，_______________．（要求用SAS）
(3) (4)
7．如图4，要使△ABC≌△ABD，若利用SSS应补_________，_________；若利用SAS应补上___________，___________．
8．如图5，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____．
(5) (6)
9、如图6，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个 测 量 工件内槽宽的工具(卡钳).这时测得AC的长度为160mm，那么 工件内槽宽BD=_______________mm.10.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长 ．
三．简答题
11．如图，AE=CF，∠A=∠C，AD=CB，试说明△ADF≌△CBE．
12．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，CE=DF，AB=EF．试说明：AC∥BD．
13．如图，△ABC≌△A′B′C′．AD、A′D′为△ABC与△A′B′C′的中线，试说明AD=A′D′．
1．如图，已知CD＝CE，AE＝BD，∠ADC＝∠BEC＝60°，∠ACE＝22°，则∠BCD的度数为( )
A. 20° B. 22°
C. 41° D. 68°
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC的长为8 cm，则△ADE的周长为( )
A. 8 cm B. 16 cm
C. 4 cm D. 不能确定
3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
,(第3题)) ,(第4题))
4．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件
是 (只需写一个，不添加辅助线)．
5．如图，AB，CD，EF交于点O，且它们都被点O平分，则图中共有____对全等三角形．
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝ ．
7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
(第7题)1.5.2“边角边”与线段的垂直平分线的性质
一、三角形全等的判定(SAS)
1．如图1中全等的三角形是( D )
① ② ③ ④
图1
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③
2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是( C )
A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
C．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC
图2 图3
3．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( C )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.
图4
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC.
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC(SAS)．
二、利用“SAS”判定三角形全等证明线段或角相等
5．如图5，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD.
图5
证明：在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA(SAS)，∴AC＝BD.
6．如图6，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
图6
证明：∵AM＝2MB，∴AM＝AB，同理，AN＝AC，
又∵AB＝AC，∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
∴△AMD≌△AND，∴DM＝DN.
三、利用“SAS”判定三角形全等来解决实际问题
7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．
图7
四、线段的垂直平分线的性质
8．如图8，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长是( C )
A．13 B．16 C．18 D．20
【解析】 ∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC＋BE＋EC＝BC＋BE＋EA＝BC＋BA＝18.
图8 图9
9．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为 35 cm，则BC的长为( C )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
【解析】 ∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，
∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.
一、选择题
1．下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有个角是45°的两个等腰三角形
C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形
2．两边和一角对应相等的两个三角形（ ）
A．全等 B．不全等 C．不一定全等 D．以上判断都不对
3．如图1，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）
A．不能确定 B．8cm C．16cm D．4cm
(1) (2) (3)
4．如图2，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，则图中全等的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．3对 D．4对
5．如图3，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ABCD的周长是( )
A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm
二、填空题
6．根据已知条件，再补充一个条件，使图3中的△ABC≌△A′B′C′．
（1）AB=A′B′，AC=A′C′，_______________；（要求用SSS）
（2）AB=A′B′，AC=A′C′，_______________；（要求用SAS）
（3）AB=A′B′，BC=B′C′，_______________；（要求用SAS）
（4）AB=A′B′，∠A=∠A′，_______________．（要求用SAS）
(3) (4)
7．如图4，要使△ABC≌△ABD，若利用SSS应补_________，_________；若利用SAS应补上___________，___________．
8．如图5，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____．
(5) (6)
9、如图6，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个 测 量 工件内槽宽的工具(卡钳).这时测得AC的长度为160mm，那么 工件内槽宽BD=_______________mm.10.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长 ．
三．简答题
11．如图，AE=CF，∠A=∠C，AD=CB，试说明△ADF≌△CBE．
12．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，CE=DF，AB=EF．试说明：AC∥BD．
13．如图，△ABC≌△A′B′C′．AD、A′D′为△ABC与△A′B′C′的中线，试说明AD=A′D′．
答案：答案:1.5（2）
1．C 2．C 3．B 4．C 5.B
6．（1）BC=B′C′ （2）∠A=∠A′ （3）∠B=∠B′ （4）AC=A′C′
7．AC=AD BC=BD AC=AD ∠1=∠2
8．50度
9．160
10. 18
11．∵AE=CF ∴AF=CE
又∵∠A=∠C AD=CB
∴△ADF≌△CBE（SAS）
12．∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠CEA=∠DFB=90°
由AB=EF得AE=BF，在△ACE和△BDF中，AE=BF ∠CEA=∠DFB CE=DF
∴△ACE≌△BDF ∴∠A=∠DBF ∴AC∥BD
13．△ABC≌△A′B′C′ ∴AB=A′B′ ∠B=∠B′ BC=B′C′
又∵AD为△ABC的中线，A′D′为△A′B′C′的中线
∴BD=BC B′D′=B′C′
∴BD=B′D′
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）
∴AD=A′D′
1．如图，已知CD＝CE，AE＝BD，∠ADC＝∠BEC＝60°，∠ACE＝22°，则∠BCD的度数为(B)
A. 20° B. 22°
C. 41° D. 68°
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC的长为8 cm，则△ADE的周长为(A)
A. 8 cm B. 16 cm
C. 4 cm D. 不能确定
3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有(C)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
,(第3题)) ,(第4题))
4．(娄底中考)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD＝∠CBD或AD＝CD(只需写一个，不添加辅助线)．
5．如图，AB，CD，EF交于点O，且它们都被点O平分，则图中共有__3__对全等三角形．
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝48°．
7．(杭州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
(第7题)
【解】 ∵AM＝2MB，AN＝2NC，
∴AM＝AB，AN＝AC.
又∵AB＝AC，∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
又∵AD＝AD，
∴△AMD≌△AND(SAS)．∴DM＝DN.
