1.3二次函数的性质 同步练习题 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（　　）
A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5
2．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（　　）
A．8 B．15 C．16 D．64
3．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
5．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
6．当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（　　）
A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4
7．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
8．已知两个整数a，b，有2a+3b＝31，则ab的最大值是（　　）
A．35 B．40 C．41 D．42
9．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
10．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　）
A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3
二．填空题
11．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为　 　．
12．如果抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，那么常数k为　 　．
13．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为　 　．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为　 　．
15．二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝　 　．
16．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是 　 　．
17．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为　 　．
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　 　秒四边形APQC的面积最小．
三．解答题
19．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 多少个．
20．已知：二次函数为y＝x2﹣x+m，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）m为何值时，顶点在x轴上方；
（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB＝4时，求此二次函数的解析式．
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为5，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1﹣1）2+5＝1，
综上所述，二次函数y＝﹣x2+2x+4，求当﹣1≤x≤2时，1≤y≤5，
故选：D．
2．解：∵矩形周长为16，
∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8﹣x，
∴y＝（8﹣x）x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，y有最大值是16．
故选：C．
3．解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
4．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1） 2﹣1，
故选：D．
6．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
故选：B．
7．解：∵y＝（x+3）2﹣5，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
8．解：∵（2a﹣3b）2≥0，
∴（2a+3b）2﹣4（2a 3b）≥0，
∴（2a+3b）2≥4（2a 3b），
若ab取的最大值，则a、b都是正整数，
∴ab≤（2a+3b）2，
∴ab≤，
∵a，b是整数，
∴ab的最大值为40，
故选：B．
9．解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
10．解：∵抛物线的顶点为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
∵经过点（3，1），
∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，
解得：a＝﹣2，
即y＝﹣2（x﹣2）2+3．
故选：B．
11．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，
∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），
故答案为（﹣1，8）．
12．解：∵抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，
∴k﹣2＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
13．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故答案为：0或3．
14．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
15．解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故答案是：1．
16．解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线经过点（0，3），
由对称性可得抛物线经过点（﹣2，3），
∴y≥3时x的取值范围是﹣2≤x≤0．
故答案为：﹣2≤x≤0．
17．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，
∴y＝﹣x2+3x+5，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴y﹣x的最大值为6，
故答案为6．
18．解：设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝PB BQ＝（12﹣2t） 4t＝24t﹣4t2，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝AB BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为3．
19．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
20．解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上；
对称轴为直线x＝﹣＝；
＝，
顶点坐标为（，）；
（2）顶点在x轴上方时，＞0，
解得m＞；
（3）令x＝0，则y＝m，
所以，点A（0，m），
∵AB∥x轴，
∴点A、B关于对称轴直线x＝对称，
∴AB＝×2＝1，
∴S△AOB＝|m|×1＝4，
解得m＝±8，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．
21．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．