4.3相似三角形达标测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.3相似三角形》达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，已知△ABC∽△ACD，则下列哪条线段与AD的比等于相似比（　　）
A．BD B．BC C．AC D．AB
2．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（　　）
A．35° B．45° C．65° D．80°
3．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（　　）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
4．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
5．若△ABC的每条边长增加各自的20%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了20% B．减少了20%
C．增加了（1+20%） D．没有改变
6．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（　　）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC
C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
7．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．AC2＝AD AB D．＝
8．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（　　）
A．150° B．147° C．135° D．120°
9．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 　 　．
12．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是　 　．
13．如图，△ABC∽△ACD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝　 　．
14．已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝　 　度．
15．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若△BPQ与△BAC相似，则CQ的长为 　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
18．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．
19．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．
（1）求DE的长；
（2）求 ABCD的面积．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案与
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，
∴AC与AD的比等于相似比，
故选：C．
2．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故选：C．
3．解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠α＝40°，x＝，
故选：A．
4．解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
5．解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B．
故选：D．
6．解：∵△ABE∽△CBA，
∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE BC，所以A选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，
∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AD：AB，
即CD AB＝AD AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，
即AD AE＝CD BE，
∵AD＝AE，
∴AE2＝CD BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，
∴AC：AE＝CB：AB，
∴AB AC＝AE CB，
∵AE2＝CD BE，AE≠CB，
∴AB AC≠BE CD，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
7．解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，＝，，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意，
故选：D．
8．解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，
∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，
故选：B．
9．解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝＝．
故选：C．
10．解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③如图，若S1＝S2，
过点P作PH⊥BC于H，HP的延长线交AD于G，
则PG⊥AD．
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB，
∴S2+S4＝AD PG+BC PH＝BC （PH+PG）＝BC GH＝BC AB，
过点P作PM⊥AB于M，MP的延长线交CD于N，
同理S1+S3＝BC AB，
∴S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB∽△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，PA是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故答案为：4．
12．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，
∴相似比是：＝，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，
故答案为：36．
13．解：∵∠ACB＝∠D＝90°，且△ABC∽△ACD，
∴，
即AC2＝AB DC，
故答案为：AB DC．
14．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，
∴∠B＝∠B′＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
15．解：设△DEF的第三边长为x，
∵△ABC∽△DEF，
且△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，
∴，
∴x＝，
即：△DEF的第三边长为．
16．解：∵AB＝8，BC＝10，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得BQ＝5．
∴CQ＝BC﹣BQ＝5；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得BQ＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝．
综上所述：当CQ＝5或时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：5或．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴∠ACD＝∠B，＝，即＝，
解得，AC＝，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝BD＝3．
18．证明：∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝＝，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AD：A′D′＝AB：A′B′．
19．解：（1）∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝6；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，
∴AE＝3（cm），
∴S ABCD＝BC AE＝．
20．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．