4.4两个三角形相似的判定 达标测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.4两个三角形相似的判定》达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
2．如图， ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝6，则CD的长为（　　）
A．15 B．10 C．8 D．16
3．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP AB D．AB CP＝AP CB
4．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．有两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似
B．各有一个角是50°的两个等腰三角形相似
C．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与如图中的△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠BAC，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
10．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，在△ABC中，P是AC上一点，且与点A、C都不重合，联结BP，要使△ABP与△ABC相似，还需要补充一个条件，这个条件可以是 　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE⊥DE，BE＝2，BC＝6，那么AB的长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，AD∥BC，OA：OC＝1：3，AP＝3，则PB的值是 　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则的值为 　 　．
15．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝　 　．
16．如图AB∥EF∥CD，点E在BC上，AC与BD交于点F，若AB＝2，CD＝3，则EF＝　 　．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：．
18．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠B，BD＝4，DC＝5，DE∥AC，交AB于点E，求DE的长．
19．如图，A、E、B三点共线，且∠A＝∠CED＝∠B．
（1）若AC＝5，BD＝2，AB＝2，则E是AB的中点；
（2）若CE平分∠ACD，求证：DE是CD、BD的比例中项．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC、OC，过点B作BG⊥OC交OC于点E，交AC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：∠CAB＝∠CBG；
（2）求证：BC2＝AB CE．
21．如图，在 ABCD中，点E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠AFB＝∠D．求证：AE BF＝BC BA．
22．如图，AB为半圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点P是弧AC的中点，连接PB交AC于D．
（1）求证：AB BC＝BD PB；
（2）若BC＝6，AB＝10，求PB的长．
23．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求CG的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝2，求EF的长．
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
（1）求证：AD2＝BF DE．
（2）若＝，求证EF∥MN．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠E，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；
C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，
∴＝，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；
故选：C．
2．解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴EF：AB＝DE：DA＝2：5，
∴6：AB＝2：5，
∴AB＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝15，
故选：A．
3．解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AC2＝AP AB时，即，
且A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AB CP＝AP CB时，即，
而A＝∠A，
所以不能判定△APC和△ACB相似，
故选：D．
4．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，
解得：AD1＝，AD2＝（负数不合题意），
则AC＝AD+CD＝+1＝，
故选：D．
5．解：A、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故A选项不符合题意；
B、各有一个角是50°的两个等腰三角形不一定相似，故B选项不符合题意；
C、有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C选项符合题意；
D、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，故C选项不符合题意．
故选：C．
6．解：由勾股定理得：AC＝＝，BC＝2，AB＝＝，
∴AB：BC：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
则AC2＝AD AB，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AC2＝2×（2+6）＝16，
∴AC＝4，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ECF∽△DAF，
∵BE＝EC，
∴EF：FD＝EC：AD＝1：2，
故选：D．
9．解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，
∴∠BAE＝∠CAD＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD．
故选：D．
10．解：过点D作DE∥BC，如图所示：
∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需在有一对应角相等即可，即∠ABP＝∠C．
故答案为：∠ABP＝∠C．
12．解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
又∵BE＝2，BC＝6，
∴CE＝4，
∴设AB＝x，
∴，
∴x＝2，
∴AB＝2．
故答案为2．
13．解：∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△BPC，
∴＝＝，
∵AP＝3，
∴PB＝9，
故答案为：9．
14．解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．
15．解：取CD中点G，连接OG，
∵O为BD中点，
即OG为△BDC的中位线，
∴OG∥BC，且OG＝＝2，
又∵CE＝CD，CF∥OG，
∴△ECF∽△EGO，
∴，
又OG＝2，
∴CF＝1，
故答案为：1．
16．解：∵AB∥EF，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，
同理可得：＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
解得：EF＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠C＝∠D，
∴△ABC∽△AED，
∴．
18．解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△BAC∽△ADC，
∴，即，
∴AC＝3，
∵DE∥AC，
∴△ABC∽△EBD，
∴，即，
∴ED＝．
19．（1）解：∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝∠CED+∠BED．∠A＝∠CED．
∴∠ACE＝∠BED，
∴△ACE∽△BED，
∴＝，
AC＝5，BD＝2，BE＝AB﹣AE＝2﹣AE，
∴＝，
解得AE＝（负值舍去），
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣AE＝，
∴E是AB的中点；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠BED，
∴∠ECD＝∠BED，
∵∠CED＝∠B，
∴△ECD∽△BED，
∴＝，
∴DE2＝CD DB，
∴DE是CD、BD的比例中项．
20．（1）证明：如图，连接CG，
∵OC⊥BG，
∴C为BG中点，，
∴∠CGB＝∠CBG，
∵所対圆周角为∠CAB和∠CGB，
∴∠CAB＝∠CGB，
∴∠CAB＝∠CBG；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBE，
∴△CEB∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB CE．
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAF，
又∵∠AFB＝∠D，
∴△ADE∽△BFA，
∴，
∴AE BF＝AB AD＝BC BA．
22．（1）证明：如图，连接AP，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠APB＝∠ACB＝90°，
∵点P是弧AC的中点，
∴∠CBD＝∠ABP，
∴△ABP∽△DBC，
∴AB BC＝BD PB；
（2）解：连接OP，OP交AC于E点，
在直角△ABC中，BC＝6，AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵点P是弧AC的中点，
∴OP⊥AC，AE＝4，
由三角形中位线定理得OE＝BC＝3，
∴PE＝5﹣3＝2，
在直角△APE中，AP＝＝2，
在直角△ABP中，PB＝＝4．
23．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90o，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，AD∥BG，
∵CF＝3FD，
∴DF＝1，
设DE＝x，
∵△ABE∽△DEF，
∴，
即，
解得：x＝2，
∴DE＝2，
∵AD∥BG，
∴∠DEF＝∠G，
∵∠DFE＝∠CFG
∴△CGF∽△DEF，
∴，
∵CF＝3FD，
∴
∴CG＝6．
24．解：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
即CE2＝EF PE；
（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠AEB＝∠CEP，
∴△BEA∽△PEC，
∴，
∵点D是CP的中点，
∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，
∴，
解得：PE＝4，
∴PF＝BP
＝（BE+PE）
＝3，
∴EF＝PE﹣PF＝．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，
∴∠AED＝∠BAF，
∴△AED∽△FAB，
∴，即AD AB＝BF DE，
∴AB2＝BF DE，
∵AB＝AD，
∴AD2＝BF DE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△BME∽△DAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴MN∥BD，
∴EF∥MN．