4.5相似三角形的性质及其应用 达标测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022年浙教版九年级数学上册《4.5相似三角形的性质及其应用》达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（　　）
A．6.4米 B．8米 C．9.6米 D．11.2米
2．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米，此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是（　　）
A．80米 B．85米 C．120米 D．125米
3．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1，a2，…，an．若使裁得的矩形纸条的长不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
4．为测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：（1）AC，∠ACB（2）CD，∠ACB，∠ADB（3）EF，DE，AD，其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（　　）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
5．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为（　　）
A．20m B．m C．10m D．30m
6．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
7．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为（　　）
A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米
二．填空题（共8小题，满分32分）
8．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为　 　米．
9．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝30cm，BC＝40cm．
问题1：将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是　 　cm2．
问题2：若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是　 　cm2．
10．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　 　米．
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为　 　步．
12．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为　 　m．
13．如图，跷跷板AB长为5米，O为支点，当AO＝3米时，坐在A端的人可以将B端的人跷高1米．那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高　 　米．
14．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是　 　米．
15．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为　 　米．
三．解答题（共9小题，满分60分）
16．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
17．如图是一个10×10格点正方形组成的网格，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）．请在网格中画出两个与△ABC相似的格点三角形，但相似比都不为1．
18．已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6
（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．
19．如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似，并填空：
（1）在图甲中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的周长是△ABC的周长的2倍，则＝　 　；
（2）在图乙中画△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍，则＝　 　．
20．正方形网格中，小格的顶点叫做格点．三个顶点都在网格上的三角形叫做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点△ABC．请你在右边的两个正方形网格中各画出一个不同的格点三角形，使得三个网格中的格点三角形都相似（不包括全等）．
21．如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF＝BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
（1）所需的测量工具是：　 　；
（2）请在图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
24．如图，为了测量一栋大楼的高度，李青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果李青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝0.30m，MS＝25m，问这栋大楼有多高？
参考答案
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．解：根据题意，设路灯高度为x米，则＝，
解得x＝9.6
故选：C．
2．解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：，
解得：x＝125米．
故选：D．
3．解：设所求的矩形有x张，其中最小的矩形的长为ycm，
则
∴y＝40﹣，
又∵y≥5，
∴40﹣≥5，
∴x≤26，
∴最多能裁26张．
故选：C．
4．解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中因为△ABD∽△EFD可利用＝，求出AB．
故选：D．
5．解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得AD＝20．
故选：A．
6．解：设树在第一级台阶上面的部分高x米，
则，
解得x＝11.5，
∴树高是11.5+0.3＝11.8米．
故选：C．
7．解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，
∴＝，
即＝，
解得BE＝6，
即树的高度为6米．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
8．解：∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
＝，
解得h＝，
故答案为．
9．解：问题1：∵△ABC是直角三角形，AC＝30cm，BC＝40cm．
∴AB＝＝50，
∴AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，
∴30×40＝50 CD，
∴CD＝24cm．
于是知纸条宽度为＝4.8cm．
∵＝，
又∵AB＝50cm，
∴EF＝10cm，
同理，GH＝20cm，
IJ＝30cm，
KL＝40cm．
于是4张纸条的面积和为（10+20+30+40）×4.8＝480cm2．
问题2：由（1）中规律，（n﹣1）张纸条的面积和为：
cm2．
10．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
11．解：设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴＝，即＝，
∴x＝300，
即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
12．解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
13．解：如图，DF表示A端下降的高度，GE表示B端上升的高度，
依题意知道，△DOF∽△EOG，
∴DF：EG＝OD：OE，
∵OA＝OD＝3，OB＝OE＝2，EG＝1，
∴DF：1＝3：2，
∴DF＝1.5，
当O在AB中点的时候，
OA＝OD＝OB＝OE，
∴△DOF≌△EOG，
∴DF＝EG＝1.5．
故答案为：1.5．
14．解：根据题意画出图形，易得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形的性质，
得＝，
即＝，解得h＝6.4m．
15．解：方法1、如图，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，解得x＝3．
∴树高是3+1.2＝4.2（米），
故答案为4.2．
方法2、将落在墙上的影子看作物体，此时它的影子设为a米，
根据题意得，，
∴a＝0.96，
所以大树的影子全部落在地面上的影子长为2.4+0.96＝3.36米，
设树的高度为y米，根据题意得，，
∴y＝4.2米
故答案为：4.2．
三．解答题（共9小题，满分60分）
16．解：（1）不存在．
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，（3分）
由①得：y＝﹣x③，
把③代入②得：x2﹣x+1＝0，
b2﹣4ac＝﹣4＜0，
所以不存在；
（2）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
17．解：
18．解：（1）①∵△AMN∽△ABC，
∴＝
∵M为AB中点，AB＝2，
∴AM＝，
∵BC＝6，
∴MN＝3；
②∵△AMN∽△ACB，
∴＝，
∵BC＝6，AC＝4，AM＝，
∴MN＝1.5；
（2）①如图所示：
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．
19．解：（1）2；
（2）（每个填空题正确得（1分），每个图形画正确得2分）
20．解：根据题意画出图形，如图所示：
21．解：画图
△DEF就是所求三角形（5分），结论（1分）．
22．解：∵∠MAC＝∠MOP＝90°，
∠AMC＝∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴，
即，
解得，MA＝5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5＝3.5米．
23．解：（1）皮尺，标杆；
（2）测量示意图如图所示；
（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c，
∵△DEF∽△BAC，
∴，
∴，
∴．
24．解：根据题意，
∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS（反射角等于入射角），
∴△KLM∽△TSM，
∴，即（4分）
∴TS＝125（m）（3分）
所以这栋大楼高为125m．（1分）