第4章相似三角形 同步达标测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第4章相似三角形 同步达标测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 225.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 10:47:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．如果＝，那么的值等于（ ）
A．0 B．3 C． D．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若＝，则的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO＝3，BO＝6，CO＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
5．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
6．下列说法中正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的等腰梯形都相似
7．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
8．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，DE∥BC，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AF交CG于M点，则FM＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是 ．
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（1，0），则点C的坐标为 ．
12．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于 ．
13．在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点是A（2，3），若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中，若BC＝4，△ABC的面积为8，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，则正方形DEFC的边长是 ．
15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连接EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
18．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．
求证：（1）△ADE∽△FDB；
（2）CD2＝DE DF．
19．在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ ；OQ＝ ；S△POQ＝ ．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．解：＝，
∴2a﹣2b＝b，
∴2a＝3b．
∴＝＝0．
故选：A．
2．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
3．解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴＝，
∵AO＝3，BO＝6，CO＝2，
∴DO＝4，
∴BD＝4+6＝10，
故选：B．
5．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
6．解：A、所有的矩形对应角相等但对应边的比不一定相等，故错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；
D、所有的等腰梯形都相似，错误，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
8．解：连接AM，
∵M是DE的中点，
∴S△AMD＝S△AME，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵M是DE的中点，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△DMN＝S△AMN，
∴S△DMN：S四边形ANME＝1：5，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝1、CE＝CG＝GF＝3，∠ADM＝∠G＝90°，
∴DG＝CG﹣CD＝2，AD∥GF，
则△ADM∽△FGM，
∴＝，即＝，
解得：GM＝，
∴FM＝＝＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．解：由题意可知，设草坪的实际面积为x，
又图纸与实际的比例为0.05：15＝1：300，
所以有（1：300）2＝300：x
x＝27000000cm2＝2700m2
所以草坪的实际面积为2700m2．
故答案为：2700m2．
11．解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故答案为：（1，1）．
12．解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故答案为10或6.4
13．解：∵△ABC的一个顶点是A（2，3），以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，
则△A′B′C′与△ABC的相似比为：，
∴A′的坐标为：（3，）或（﹣3，﹣）．
故答案为：（3，）或（﹣3，﹣）．
14．解：如图，过点A作AN⊥BC，交DG于点M；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝MN（设为x），
∵BC＝4，△ABC的面积为8，
∴×4×AN＝8，
∴AN＝4，AM＝4﹣x；
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴
∴，
解得：x＝2．
故答案为：2．
15．解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴＝，
又∵∠ADQ＝∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
18．证明：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠BDF＝90°，
∵∠ACB＝∠ECF＝∠FDB＝90°，
∴∠E+∠CFE＝90°，∠B+∠DFB＝90°，
∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠E＝∠B，
∴△ADE∽△FDB．
（2）∵△ADE∽△FDB，
∴＝，
∴AD DB＝DE DF，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴CD2＝DE DF．
19．解：（1）PO＝2t，OQ＝6﹣t；
S△POQ＝ OQ OP＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t；
故答案为2t，6﹣t，﹣t2+6t．
（2）①若＝，即＝，
∴t＝3．
②若＝，即＝，
∴t＝．
∴当t＝3或t＝s时，△POQ与△AOB相似．
20．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．如果＝，那么的值等于（ ）
A．0 B．3 C． D．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若＝，则的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO＝3，BO＝6，CO＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
5．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
6．下列说法中正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的等腰梯形都相似
7．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
8．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，DE∥BC，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AF交CG于M点，则FM＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是 ．
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（1，0），则点C的坐标为 ．
12．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于 ．
13．在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点是A（2，3），若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中，若BC＝4，△ABC的面积为8，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，则正方形DEFC的边长是 ．
15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连接EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
18．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．
求证：（1）△ADE∽△FDB；
（2）CD2＝DE DF．
19．在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ ；OQ＝ ；S△POQ＝ ．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．解：＝，
∴2a﹣2b＝b，
∴2a＝3b．
∴＝＝0．
故选：A．
2．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
3．解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴＝，
∵AO＝3，BO＝6，CO＝2，
∴DO＝4，
∴BD＝4+6＝10，
故选：B．
5．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
6．解：A、所有的矩形对应角相等但对应边的比不一定相等，故错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；
D、所有的等腰梯形都相似，错误，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
8．解：连接AM，
∵M是DE的中点，
∴S△AMD＝S△AME，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵M是DE的中点，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△DMN＝S△AMN，
∴S△DMN：S四边形ANME＝1：5，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝1、CE＝CG＝GF＝3，∠ADM＝∠G＝90°，
∴DG＝CG﹣CD＝2，AD∥GF，
则△ADM∽△FGM，
∴＝，即＝，
解得：GM＝，
∴FM＝＝＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．解：由题意可知，设草坪的实际面积为x，
又图纸与实际的比例为0.05：15＝1：300，
所以有（1：300）2＝300：x
x＝27000000cm2＝2700m2
所以草坪的实际面积为2700m2．
故答案为：2700m2．
11．解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故答案为：（1，1）．
12．解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故答案为10或6.4
13．解：∵△ABC的一个顶点是A（2，3），以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，
则△A′B′C′与△ABC的相似比为：，
∴A′的坐标为：（3，）或（﹣3，﹣）．
故答案为：（3，）或（﹣3，﹣）．
14．解：如图，过点A作AN⊥BC，交DG于点M；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝MN（设为x），
∵BC＝4，△ABC的面积为8，
∴×4×AN＝8，
∴AN＝4，AM＝4﹣x；
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴
∴，
解得：x＝2．
故答案为：2．
15．解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴＝，
又∵∠ADQ＝∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
18．证明：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠BDF＝90°，
∵∠ACB＝∠ECF＝∠FDB＝90°，
∴∠E+∠CFE＝90°，∠B+∠DFB＝90°，
∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠E＝∠B，
∴△ADE∽△FDB．
（2）∵△ADE∽△FDB，
∴＝，
∴AD DB＝DE DF，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴CD2＝DE DF．
19．解：（1）PO＝2t，OQ＝6﹣t；
S△POQ＝ OQ OP＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t；
故答案为2t，6﹣t，﹣t2+6t．
（2）①若＝，即＝，
∴t＝3．
②若＝，即＝，
∴t＝．
∴当t＝3或t＝s时，△POQ与△AOB相似．
20．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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