2-2等腰三角形的性质

(共24张PPT)
什么叫等腰三角形？等腰三角形是什么对称
图形？它的对称轴是什么？
复习提问：
两边相等的三角形
叫做等腰三角形；
等腰三角形是轴对称图形；
对称轴是等腰三角形的
顶角平分线所在的直线。
A
C
B
腰
腰
底边
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在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么
D
A
B
C
(2)找出图中的全等三角形以及所有相等
的线段和相等的角.你的依据是什么
所得的像是△ACD
△ABD≌△ACD
相等的线段:
AB=AC,BD=CD,AD=AD
相等的角:
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
依据:
轴对称变换的性质—轴对称变换不改变图形的形状和大小.
(3) 你有什么发现 能得出等腰三角形的哪些性质
等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等.也就是说,在同一个三角形中,等边对等角.
在⊿ABC中,如图
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称等腰三角形三线合一
几何语言：
(等腰三角形的两个底角相等)
例1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°
求：∠B、∠C的度数。
A
B
C
解： 在△ABC中
∵ AB=AC
∴∠B=∠C （等腰三角形
的两个底角相等）
∵ ∠A+∠B+ ∠C= 180°， ∠A= 50°
∴∠B=∠C=
180°- ∠A
2
180°- 50°
2
=
= 65°
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例：已知：在等腰△ABC中，∠B=800,
求：∠ C 和 ∠A的度数？
A
B
C
800
（图一）
B
A
C
800
（图二）
讨论：
∠B的位置有几种可能？
（可能是底角或顶角）
分析：
①当∠B为底角时， ∠C为800，∠A为200；
②当∠B为顶角时， ∠C为500， ∠A为500。
1. 如图,在△ ABC中,AB=AC,外角
∠ ACD=100度,则∠ B=___ 度。
　 ∠A=____ 度。
练习变式
在等腰△ ABC中，一个内角的外角为100度，则顶角=_____
一角
顶角
底角
这样的三角形是否存在。
A
B
C
D
100 °
80
20
80
20
或
画草图
重点提示
等腰三角形中的内角，若没指出是底
角还是顶角应分两种情况讨论，注意
运用三角形内角之和等于180 °
一角
顶角
底角
这样的三角形是否存在。
等腰三角形的性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
已知： AB=AC
∠1=∠2 (AD是顶角平分线).
结论：
1. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
2. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
A
B
C
D
1
2
A
D
C
B
如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).那么有什么结论
如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边上的中线).那么有什么结论
BD=CD(AD是底边上的中线),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
AD⊥BC(AD是底边上的高),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)
∵AB=AC，∠1=∠2
∴________________
AD⊥BC或BD=CD
∵AB=AC，AD⊥BC
∴________________
∠1=∠2 或BD=CD
∵AB=AC，
∴∠1=∠2 或 AD⊥BC
等腰三角形“三线合一”的性质
几何语言：
__________
BD=CD
例2 已知线段a, h(如图),用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。求顶架上∠B、∠BAD、 ∠CAD的度数。
解：在ABC中，
∵ AB=AC(已知）
∴ ∠B=∠C(等边对等角）
∴ ∠B= ∠C= (180 °－∠BAC)=40 °（三角形内角和定理）
又∵AD⊥BC(已知）
∴ ∠BAD= ∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
∴ ∠BAD= ∠CAD=50°
A
B
C
D
2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,
　D为BC的中点,则点D到AB,AC的
　距离相等.请说明理由.　
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
等腰三角形
概念
性质
等边对等角
三线合一
有两边相等的三角形
腰、底、顶角、底角
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.
那么：
两条底角平分线、
两条腰上的中线
两条腰上的高又有什么关系呢？
等腰三角形的
1.如图，BD,CE是等腰三角形ABC两腰上的中线。BD与CE相等吗？请说明理由。
2.如图，BD,CE是等腰三角形ABC两腰上的高。BD与CE相等吗？请说明理由。
3.如图，BD,CE是等腰三角形ABC两个底角的角平分线。BD与CE相等吗？请说明理由。
两条底角平分线、
两条腰上的中线 ，
两条腰上的高分别相等。
等腰三角形的
4.判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
×
×
作业
等腰钝角三角形
按角来分
等腰三角形
等腰锐角三角形
等腰直角三角形
2.如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？
A
C
B
D
讨论：
2、∠A与哪些角相等？
1、∠C与哪些角相等？
（∠3、 ∠ABC ）
1
2
3
（ ∠1、 ∠2 ）
3、 ∠C与∠A是什么关系？
（ ∠C=2 ∠A ）
解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A
∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A
∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A
∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800,
∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
40 °
35 °，35 °
70°,40° 或 55°,55°