2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.1比例线段 同步达标训练（word版、含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.1比例线段》同步达标训练（附答案）
1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
2．已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
3．如果＝，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如果＝2，则的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
5．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．﹣
6．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
7．若x：y＝1：3，2y＝3z，则的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
8．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
9．如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（　　）
A．：1 B．1： C．：1 D．1：
10．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（　　）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
11．矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　）
A．a＝4，b＝+2 B．a＝4，b＝﹣2 C．a＝2，b＝+1 D．a＝2，b＝﹣1
12．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
13．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
14．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
15．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）
A． B．BC2＝AB BC C． D．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是（　　）
A．＝ B．点D是线段BC的黄金分割点
C．点E是线段BC的黄金分割点 D．点E是线段CD的黄金分割点
17．已知，则k的值是　 　．
18．若，则＝　 　．
19．已知，则＝　 　．
20．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是　 　km．
21．如图是百度地图的一部分（比例尺1：4000000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西　 　度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为　 　．
22．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1　 　S2．（填“＞”“＝”或“＜”）
23．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝　 　．
24．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则BC＝　 　．
25．阅读下列材料：
如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC＝AC：AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为≈0.618，人们把称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝OE，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
（1）线段OP长为　 　，点P在数轴上表示的数为　 　；
（2）在（1）中计算线段OP长的依据是　 　．
26．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
27．已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
28．已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．
29．若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，．求线段PQ的长．
30．如图，已知＝，AD＝6.4cm，DB＝4.8cm，EC＝4.2cm，求AC的长．
参考答案
1．解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
2．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
3．解：根据比例的基本性质得：
5x＝3（x+y），即2x＝3y，
即得＝．
故选：A．
4．解：∵＝2，
∴a＝2b，
∴＝＝3．
故选：A．
5．解：∵＝，
∴b＝2a，
∴＝＝．
故选：A．
6．解：A、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
7．解：∵x：y＝1：3，
∴设x＝k，y＝3k，
∵2y＝3z，
∴z＝2k，
∴＝＝﹣5．
故选：A．
8．解：设2a＝3b＝4c＝12k（k≠0），
则a＝6k，b＝4k，c＝3k，
所以，＝＝＝﹣2．
故选：B．
9．解：∵b：＝a：b，
∴a2＝2b2，∴a＝b，
则a：b＝：1．
故选：A．
10．解：∵≈2.236，
∴﹣1≈1.236，
故选：B．
11．解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴＝，
∴a＝2，b＝﹣1，
故选：D．
12．解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
13．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈8cm．
故选：C．
14．解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
15．解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC＝AC：BC，故A正确，不符合题意；
AC2＝AB BC，故B错误，
，故C正确，不符合题意；
≈0.618，故D正确，不符合题意．
故选：B．
16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵∠BAC＝108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴＝，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴CD＝CA＝BA，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AB，
则＝，即＝＝，故A错误；
故选：A．
17．解：①a+b+c≠0时，
∵，
∴，
∴k＝2．
②a+b+c＝0时，a+b＝﹣c
∴k＝﹣1
故答案为：2或﹣1．
18．解：根据题意，
设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则＝，
故答案为：．
19．解：设a＝5k，b＝2k，则＝；故填．
20．解：设这条道路的实际长度为x，则：
，
解得x＝280000cm＝2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
21．解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上，
杭州到嘉兴的图上距离约2cm，
2×4000000＝8000000cm＝80km．
故答案为：45，80km．
22．解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2＝PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1＝PA2，S2＝PB AB，
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
23．解：根据题意可知，BC＝AB，
∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，
又∵△BDC也是黄金三角形，
∴∠CBD＝36°，BC＝BD，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，
∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．
故答案为：6﹣2．
24．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝﹣1，
BC＝AB﹣AC＝3﹣．
故本题答案为：3﹣．
25．解：（1）∵OE＝2，
∴EF＝OE＝1，
∵EF⊥OE，
∴OF＝＝＝，
由作法知，FH＝EF＝1，OP＝OH＝OF﹣FH＝﹣1，
∴点P在数轴上表示的数为：﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1；
（2）在（1）中计算线段OP长时，
首先根据勾股定理求得OF，
再由OP＝OH＝OF﹣FH求得OP，
故答案为：勾股定理．
26．解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
27．解：（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴＝，
∵c＝12dm＝120cm，
∴＝，
∴d＝240cm；
（3）是，理由：
∵b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中项．
28．解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，
所以＝＝；
（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，
所以a＝30，b＝24，c＝36．
29．解：∵AB＝10，，
∴PB＝4，BQ＝20，
∴PQ＝PB+BQ＝24，
答：线段PQ的长为24．
30．解：∵＝，
∴＝，
解得：AE＝5.6cm．
则AC＝AE+EC＝5.6+4.2＝9.8cm．