2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.2由平行线截得的比例线段同步训练（word版、含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.2由平行线截得的比例线段》同步训练（附答案）
1．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则＝（　　）
A．3：7 B．4：9 C．5：11 D．6：13
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF：FD＝（　　）
A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2
4．如图，平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BF＝AF，BD与EF交于G，则BG：BD＝（　　）
A．1：5 B．2：3 C．2：5 D．1：4
5．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是（　　）
A．8 B．12 C． D．15
6．在△ABC中，D是AC的中点，E，F分别是BC的三等分点，AE，AF分别交BD于M，N两点，则BM：MN：ND等于（　　）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
7．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1cm，则AB＝（　　）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，且BD：DE：EC＝3：2：1，P是AC边上的点，且AP：PC＝2：1，BP分别交AD、AE于M、N，则BM：MN：NP等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
9．如图，DE∥BC，DF∥AC，下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．过△ABC内一点P，作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，作GF∥AC分别交AB、BC于G、F，作HK∥AB分别交BC、AC于H、K，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．
11．如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于　 　．
12．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为　 　．
13．如图在△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知＝n，则＝　 　．
14．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，那么DB：CD＝　 　．
15．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边的中点，点F为BC边的三等分点，连接AF、DE相交于点G，则的值是　 　．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为　 　．
17．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC交点P离地面的高度为　 　m．
18．如图△ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC的中点，BM与AE、AF分别交于G、H，则BG：GH：HM＝　 　．
19．如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM＝2，MQ＝3，则BC＝　 　．
20．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P、Q两点．则+＝　 　．
21．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝　 　cm．
22．如图在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F，已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是　 　．
23．如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HM＝　 　．
24．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB．F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P．
（1）求EP：PF的值．
（2）求AP：PD的值．
25．如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°+∠C，求CE的长．
26．在△ABC中，已知点D是∠A的内角平分线上的一点，E，F分别为AB，AC延长线上的点．若CD∥BF，且CD与AB交于点G，BD∥CE，且BD与AC交于点H．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若M，N分别为CE，BF的中点，求证：AD⊥MN．
27．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．
28．如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．
29．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E、F分别是AB、AD的中点，直线EF分别交CB、CD的延长线于G、H，且BC：AD＝7：4，AC＝28，试求GH的长．
30．如图，AB∥EF∥CD，已知AC+BD＝240，BC＝100，EC+ED＝192，求CF．
31．已知AD⊥BC，BE＝CE，∠ABC＝2∠C，BF为∠B的平分线．
求证：AB＝2DE．
32．如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F，作EG∥AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH∥AC交AB于点H
求证：HG＝BE．
33．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
参考答案
1．解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．
2．解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF＝AC，
∵D、E分别为BC，AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵DE∥AF，
∴＝＝＝＝，
设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，
∵＝＝，
∴S△AGF＝x，
∵AE＝BE，
∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，
∵BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD＝14x，
∴S四边形CDGF＝14x﹣x＝x，
∴＝＝．
故选：D．
3．解：延长BF交CD的延长线与点G，连接AG，如图，
∵AB∥CD，E是对角线AC的中点，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴GC＝AB，
又AB＝3CD，
∴GD＝2CD，
∴＝＝，
故选：D．
4．解：延长FE，DC相交于H，
∵E是中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥DC，
∴∠FBE＝∠HCE，
∵在△EBF与△ECH中，
，
∴△EBF≌△ECH（ASA），
∴BF＝CH，
∵BF＝AF，
∴BF＝AB＝DC，
∵AB∥CD，
∴△BFG∽△HDG，
∴＝＝，
则BG：BD＝1：5．
故选：A．
5．解：∵正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，
∴AD＝AB＝2，AE＝BF＝，
∴DE＝AF＝＝5，
在△ADE和△BAF中
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
而∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴AM DE＝AE AD，即AM×5＝×2，
∴AM＝2，
∴DM＝＝4，
∵AD∥CB，
∴AN：NF＝AD：BF＝2：1，
∴AN＝AF＝，
∴S△DMN＝S△AND﹣S△AMD＝×4×﹣×4×2＝8．
故选：A．
6．解：如图，作PD∥BC，QE∥AC，
∵D为AC的中点，
∴PD：FC＝1：2，
∵E，F为BC边三等分点，
∴PD：BF＝1：4，
∴DN：NB＝PD：BF＝1：4，
∴ND＝BD，BQ：QD＝QE：CD＝BE：BC＝1：3，
∴BQ＝BD，QM＝QD＝×BD＝BD，
∴BM＝BQ+QM＝BD，
∴BM：MN：ND＝5：3：2．
故选：D．
7．解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，
根据平行线分线段成比例定理，
得：＝，
AG＝3AF＝3×1＝3cm，则FG＝AG﹣AF＝3﹣1＝2cm，
所以AB＝2+3＝5cm．
故选：C．
8．解：作PF∥BC交AE于点F，作DG∥AC交BP于点G．
∵BD：DE：EC＝3：2：1，
∴设EC＝a，则BD＝3a，DE＝2a．
同理，设PC＝b，则AP＝2b．
∵NP∥BC，
∴＝＝＝，＝，
∴PF＝a，则＝＝，
∴＝，即NP＝BP，
∵DG∥AC，BD＝DC＝3a，
∴BG＝BP，DG＝PC＝b．
∵DG∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴GM＝GP＝BP，
∴MN＝BP﹣BG﹣GM﹣NP＝BP﹣BP﹣BP﹣BP＝BP，BM＝BG+DM＝BP+BP＝BP．
∴BM：MN：NP＝：：＝51：24：10．
故选：D．
9．解：∵DE∥BC，
∴＝
故选：D．
10．解：∵GF∥AC，HK∥AB，
∴四边形AGPK是平行四边形，
∴PK＝AG，
同理PH＝BD，
∵DE∥BC，FG∥AC，
∴由平行线分线段成比例定理得：＝，＝，
∴++＝++
＝
＝
＝2．
故选：B．
11．解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，
∵D为BC的中点，
∴PD：BF＝1：2，
∵E，F为AB边三等分点，
∴PD：AF＝1：4，
∴DN：NA＝PD：AF＝1：4，
∴ND＝AD，AQ：AD＝QE：BD＝AE：AB＝1：3，
∴AQ＝AD，QM＝QD＝AD＝AD，
∴AM＝AQ+QM＝AD，
MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD
∴AM：MN：ND＝5：3：2．
故答案为5：3：2．
12．解：过P作PQ⊥MN，
∵PM＝PN，
∴MQ＝NQ＝，
在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，
∴∠OPQ＝30°，
∴OQ＝5，
则OM＝OQ﹣QM＝，
∵CD∥ON，
∴，
∴＝＝，
故答案为；．
13．解：作DH∥CE交AB于H，
∴＝＝1，
∵DH∥CE，
∴＝＝n，
∴＝，
故答案为：．
14．解：过E点作EF∥BC，交AD于F．
∵AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，
∴EF：BD＝3：（3+2）＝3：5，EF：CD＝（6﹣5）：5＝1：5＝3：15，
∴DB：CD＝5：15＝1：3．
故答案为：1：3．
15．解：分别延长CB，DE两射线相交于点R，过点B作BW∥AF，交DR于点W，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BR，
∴∠ADR＝∠R，
∵E为AB的中点，即AE＝BE，
∴在△AED和△BER中，
，
∴△AED≌△BER（AAS），
∴AD＝BR，
∵AG∥BW，
∴∠EAG＝∠EBW，
∴在△AEG和△BWE中，
，
∴△AEG≌△BWE（ASA），
∴AG＝BW，
∵BW∥GF，
∴＝＝，
∵点F为BC边的三等分点，
∴则的值是：＝，
故答案为：．
16．解：∵AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴PQ∥AD，
∴＝＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
17．解：作PQ⊥BD于Q，设BQ＝x米，QD＝y米，PQ＝h米，
∵AB∥PQ∥CD，
∴，，
即＝及＝，
∴两式相加得＝1，
由此得h＝2.4米．
即点P离地面的高度为2.4米．
故答案为：2.4．
（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关．）
18．解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，
∴，
∵E、F是BC的三等分点，
∴BE＝EF＝FC，
∴MN＝2NK，
∵＝，＝1，
∴MH＝BH，MG＝BG，
设MH＝a，BH＝4a，BG＝GM＝，
∴GH＝GM﹣MH＝，
∴BG：GH：HM＝：：a＝5：3：2．
故答案为：5：3：2．
19．解：过E作EF∥BC交AC于F，
设BE＝AE＝x，EP＝y，
∵EF∥BC，E为AB的中点，
∴F为AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵BC∥PQ，
∴EF∥BC∥PQ，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
即+1＝，
解得：BC＝8，
故答案为：8．
20．解：由B，A，D，C分别向PQ作垂线，设长度分别为x，3a，a，y
由BD＝2DC，可以得到＝，化简得3a＝2y+x
而原式＝+＝+＝3+＝4．
故答案填4．
21．解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，根据平行线分线段成比例定理，得：，AG＝3.6cm，则FG＝2.4cm，所以AB＝1.2+4.8＝6cm．
22．解：过点D作DG∥AC交BF于点G
∴＝，＝b﹣1
∴
∴．
23．解：法一：过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，
∴＝，
∵D、E是BC的三等分点，
∴BD＝DE＝EC，
∴MN＝NK，
∵＝，＝1，
∴MH＝BH，MG＝BG，
设MH＝a，BH＝4a，BG＝GM＝，
∴GH＝GM﹣MH＝，
∴BG：GH：HM＝：：a＝5：3：2．
故答案为：5：3：2．
24．解：（1）分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则＝＝，＝＝，
又BD＝CD，
∴＝∴＝＝；
（2）设AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z，
则＝，＝，
解得y＝36x，z＝15x，
∴＝＝＝．
25．解：作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H，
则∠AED＝∠AFB＝∠CHF+∠C．
因为∠AED＝90°+∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB．
又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH．
∴△FCH≌△BCH．
∴CF＝CB＝4，
∴AF＝AC﹣CF＝7﹣4＝3．
∵AD＝DB，BF∥DE，
∴AE＝EF＝1.5，
∴CE＝5.5．
26．（1）证明：过点G作GQ⊥BD于Q，过点H作HP⊥CD于P．
∵D是∠A的内角平分线上的一点，
∴点D到AB，AC的距离相等，
∴＝＝＝＝①，
∵EC∥DB，BF∥CD，
∴＝，＝，
∴＝②，
由①②得到，＝1，
∴BE＝CF．
（2）证明：取BC的中点K，连接KM，KN．
∵CM＝EM，BN＝NC，
∴MK＝BE．MK∥BE，KN＝CF，KN∥BC，
作∠MKN的角平分线KJ，则KJ⊥MN，
∵MK∥AE，KN∥AF，
∴AD∥KJ，
∵KJ⊥MN，
∴AD⊥MN．
27．解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，
∵BM＝MN＝NC，
∴BG＝GH＝AH，
∵HK∥GM，
∴KH＝GM，GM＝NH，
∴HK＝NH，
∴＝，
∴DF∥NH，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝3．
28．证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．
29．解：连接BD，∵AD∥BC，AE＝EB，
∴GB＝AF＝AD，
∵＝，
∴＝＝，
∴，
∵FD∥GB且FD＝GB，
∴FDBG为平行四边形，
∴BD∥GH，
∴，
又∵ABCD为等腰梯形，
∴BD＝AC＝28，
GH＝36．
30．解：∵AB∥EF∥CD，
∴①
②
①+②，得
③
由③中取适合已知条件的比例式，
得
将已知条件代入比例式中，得
∴CF＝80．
31．证明：连接EF．
∵∠ABC＝2∠C，BF为∠B的平分线，
∴∠FBC＝∠C＝∠ABC，
∴BF＝CF（等角对等边）；
又∵BE＝CE（已知），
∴EF⊥BC；
∵AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴AF：FC＝DE：EC（平行线分线段成比例）；
而AB：BC＝AF：FC（角平分线的性质），
∴AB：BC＝DE：EC（等量代换），
∴AB＝2EC ＝2DE，即AB＝2DE．
32．证明：延长AD至A′，使DA′＝AD，连接A′B，A′C，
∵BD＝CD，
∴四边形ABA′C为平行四边形，
∴A′C∥AB，A′C＝AB，
∵EG∥AB，
∴EG∥A′C，
∴＝，
又∵EG∥AB，FH∥AC，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EG∥BH且EG＝BH，
∴四边形BEGH为平行四边形，
∴HG＝BE．
33．（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴
∵CD∥EF
∴
∴＝
∴；
（2）关系式为：
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：
∴＝
即＝
又∵ BD AM＝S△ABD，＝S△BCD
∴BD EN＝S△BED
∴．