2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.4两个三角形相似的判定同步训练（word版、含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.4两个三角形相似的判定》同步训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP AD＝CQ CB．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE＝∠BAD．有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2BD；③AD BC＝AE AB；④2CD2＝EH2．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④＝，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF BH，FG＝，则S四边形EFKC＝　 　．
5．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD＝2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．
（1）PQ＝EQ；
（2）FP：PC＝EC：AE；
（3）FQ：BD＝PQ：PD；
（4）S△FPQ：S△DCP＝SPEF：S△PBC．
上述结论中，正确的有　 　．
6．如图，在△ABC内有一点D，连接DB、DC，∠DBC＝∠ACB，CD＝AB，∠BDC＝120°，E为BC中点，点F在AC延长线上，连接AE、EF，AE＝EF，CF＝3，则AB的长为　 　．
7．如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC＝8，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP＝y，PE＝x．当CQ＝CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式为（不用写自变量的取值范围）　 　．
8．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC＝2S△DEO；②AC＝2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD2＝CE AB．其中正确结论的序号是　 　．
9．如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝20，现把另一个Rt△EDF顶点放在BC边上一点（与B、C不重合），再将△EDF绕点E旋转，旋转过程中，EF与线段AC始终有交点Q，ED与线段AB始终有交点P，若已知，则＝　 　．
10．已知：正方形ABCD中，AB＝4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH．
（1）求证：BG＝2DG；
（2）求AH：HG：GE的值；
（3）求的值．
11．如图，已知BC是圆P的直径，AD是圆P的弦，BC⊥AD于点O，OP＝1，AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）请在图中画出线段MB、MC，并求出MB的长度；
（2）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM的交点为E，过点E作EG⊥BC于G，连接MG．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
12．如图，以AB边为直径的⊙O分别交△ABC的边BC、AC于点D、E，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足为F，CM与⊙O相切，切点为M．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，求证：△DEF∽△ABD；
（3）若∠MCA＝∠BAC，AB＝10，则的长为　 　（结果保留π）．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC2＝GD BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．
14．如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD，∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若BD＝DC，求的值．
15．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证：
（1）∠CBE＝∠CAD；
（2）AC2＝BC CD+AB2．
16．如图，AB是⊙O的直径，＝，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求BD的长．
17．如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作KD∥AB，交BC于点K，过点C作CE∥AM，交KD的延长线于点E，连接AE、BD．
（1）求证：△ABM∽△EKC；
（2）求证：AB CK＝EK CM；
（3）判断线段BD、AE的关系，并说明理由．
18．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC＝2．
（1）求AD的长．
（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF＝∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．
19．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，＝　 　；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）若＝，求的值．
21．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE＝2CE，求OF的长．
22．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；
（2）若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．
（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．
参考答案
1．解：①错误，假设∠BAD＝∠ABC，则＝，
∵＝，
∴＝＝，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD．
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵∠APF+∠OAD＝90°，∠GPD＝∠APF，
∴∠GPD＝∠GDP，
∴GD＝GP，故②正确．
③正确．∵AB⊥CE，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴PC＝PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠ACP+∠QCP＝90°，∠CAP+∠CQP＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ＝PA，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外心．故③正确．
④正确．连接BD．
∵∠AFP＝∠ADB＝90°，∠PAF＝∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴＝，
∴AP AD＝AF AB，
∵∠CAF＝∠BAC，∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2＝AF AB，
∵∠ACQ＝∠ACB，∠CAQ＝∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2＝CQ CB，
∴AP AD＝CQ CB．故④正确，
故选：B．
2．解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB＝∠AEB＝∠CEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD＝AB，
∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE＝AB，
∴FD＝FE，①正确；
∵∠CBE＝∠BAD，∠CBE+∠C＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BC＝2CD，∠BAD＝∠CAD＝∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH＝BC＝2CD，②正确；
∵ BC AD＝ AC BE，
∵AC＝AB，BE＝AE，
∴BC AD＝AE AB，故③正确，
首先证明sin22.5°＝，如图所示：
AB＝BE＝a，AE＝EC＝a，AC＝a
∴sin22.5°＝＝
∵△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵EH＝EC，
∴2CD2＝（2+）EH2．故④正确，
故选：D．
3．解：如图，作CM⊥DF于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°，
∴∠ADF＝∠DCM，
∵DF⊥AE，CM⊥DF，
∴∠AFD＝∠CMD＝90°，
∴△DAF≌△CDM，
∴CM＝DF，DM＝AF，
∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∵BE＝CE，
∴AB＝2BE，
∴tan∠BAE＝tan∠ADF＝＝，
∴＝，
∴DM＝MF，∵CM⊥DF，
∴CD＝CF，故①正确，
∴∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDG＝∠CFG＝90°，
∴∠GFD＝∠GDF，
∴GF＝GD，
∵∠GDF+∠DAF＝90°，∠GFD+∠AFG＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴GF＝GA，
∴GD＝GA，
∴G是AD中点，故②正确，
∵∠AFD＝∠GFC，
∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF，
∴△DCF∽△AGF，故③正确，
设AF＝a，则DF＝2a，AB＝a，BE＝a，
∴AE＝a，EF＝a，
∴＝，故④正确，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵CG＝3DG，
∴可以假设DG＝3a，CG＝9a，
则AB＝AD＝BC＝CD＝12a，
∴DG∥AB，
∴＝＝＝，
∴DH＝4a，GH＝5a，BH＝20a，
∵AE2＝BF BH，AE＝AB，
∴AB2＝BF BH，
∴＝，∵∠ABF＝∠ABH，
∴△ABF∽HBA，
∴∠AFB＝∠BAH＝90°，
∴AF＝＝a，BF＝a，
∴FG＝BH﹣BF﹣GH＝a，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠GDK＝90°，∠KEF+∠EKF＝90°，∠EKF＝∠GKD，
∴∠GDK＝∠GKD，
∴GD＝GK＝3a，
作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，
∵＝，
∴KM＝a，
∵△AFB≌△ANE，
∴EN＝BF＝a，
∴S四边形EFKC＝S△EFK+S△ECK
＝s△EFK+（S△CDE﹣S△CDK）
＝×a×a+（×12a×a﹣×12a×a）
＝a2，
∵FG＝a＝，
∴a＝，
∴S四边形EFKC＝，
故答案为．
5．解：延长PD到M，使DM＝PD，连接BM、CM，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴四边形BPCM是平行四边形，
∴BP∥MC，CP∥BM，
即PE∥MC，PF∥BM，
∴AE：AC＝AP：AM，AF：AB＝AP：AM，
∴AF：AB＝AE：AC，
∴EF∥BC；
∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，
∴FQ：BD＝EQ：CD，
∴FQ＝EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；
∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，
∴PF：PC＝EF：BC，EF：BC＝AE：AC，
∴PF：PC＝AE：AC，故（2）错误；
∵△PFQ∽△PCD，
∴FQ：CD＝PQ：PD，
∴FQ：BD＝PQ：PD；故（3）正确；
∵EF∥BC，
∴S△FPQ：S△DCP＝（）2，S△PEF：S△PBC＝（）2，
∴S△FPQ：S△DCP＝SPEF：S△PBC．故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．
6．解：如图，延长AE到G，使得EG＝AE，连接BG、GC、FG，作CM⊥BD于M，CN⊥BG于N．
∵AE＝EG，BE＝EC，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∴AB＝GC＝CD，AC∥BG，
∴∠MBC＝∠ACB＝∠CBG，
∵CM⊥BM，CN⊥BG，
∴CM＝CN，
∴Rt△CDM≌Rt△CGN（HL），
∴∠CGN＝∠CDM＝60°，
∴∠GCF＝∠CGN＝60°，
∵EF＝AE＝EG，
∴∠AFG＝90°，
∴∠CGF＝30°，
∴CG＝2CF＝6．
故答案为6．
7．解：如图，延长BQ交EF于K，
∵EK∥BC，
∴∠EKB＝∠KBC，
又∵BQ为∠CBP的平分线，
∴∠PBK＝∠KBC，
∴∠EKB＝∠PBK，
∴PB＝PK＝y．
∵CQ＝CE，
∴EQ＝（1﹣）CE，
∵E，F为AB、AC的中点，
∴∠KEQ＝∠BCQ，∠EKQ＝∠CBQ，
∴△EQK∽△CQB，
∴＝，即＝，
解得y＝8（n﹣1）﹣x．
故答案为：y＝8（n﹣1）﹣x．
8．解：①∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴△AEC∽△DEO，
过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO＝CO，AO⊥CO，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴CM＝ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME＝EO，
∴CM＝ME＝EO，
∴CE＝CM＝EO，
∴CE：OE＝：1，
∴S△AEC＝2S△DEO；故正确；
②过点O作OG⊥AC，
∴＝，
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴＝＝，
∴AG＝CG＝CD，
∴2CD＞AC，
故错误；
③∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAB＝∠CAD＝∠CAB＝22.5°，
∴∠COD＝45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD＝∠ADO＝22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO＝22.5°，∠EOD＝45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴线段OD不是DE与DA的比例中项，
故错误；
④∵AB是半圆直径，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，
∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ADO＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC＝CE：CD，
∴CD2＝OC CE＝AB CE，
∴2CD2＝CE AB．
故正确．
故答案为：①④．
9．解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，则∠MEN＝90°
∵∠PEQ＝90°
∴∠PEN＝∠QEM
∵∠PNE＝∠QME＝90°
∴△PNE∽△QME
∴＝
∵EM∥AB
∴＝＝
∴EM＝8
∵EN∥AC
∴＝＝
∴EN＝12
∴＝＝
10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝CE，
∴＝＝，
∴BG＝2DG．
（2）解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝CE，
∴＝＝＝，
在Rt△ADE中，∵AD＝4，DE＝2，
∴AE＝2，
∴EG＝，
同法可得BF＝2，
∵AB＝AD，∠BAF＝∠ADE，AF＝DE，
∴△BAF≌△ADE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAH＝90°，
∴∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BF，
∴AH＝＝＝，
∴HG＝2﹣﹣＝，
∴AH：HG：GE＝：：＝6：4：5．
（3）作DM⊥AE于M．
由（2）可知：DM＝AH＝，
∴EM＝＝，
∴HM＝EH﹣EM＝，
∴DH＝，
∵BH＝＝，
∴＝＝．
11．解：（1）如图1中，线段MB、MC即为所求．
∵BC⊥AD，
∴OA＝OD＝，∵OP＝1，
∴AO垂直平分线段PC，
∴AC＝AP＝PC＝2，
∵△MCB是由△ABC绕点P旋转所得，
∴四边形ACMB是平行四边形，
∴BM＝AC＝2．
（2）在旋转过程中的值不变．
理由：∵BC是直径，
∴∠BMC＝90°，
∵EG⊥BO，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BMC＝∠BGE＝90°，
取BE的中点Q，连接QM，QG，作QF⊥GM于F．则QM＝QB＝QE＝QG，
∴E、M、B、G在以Q为圆心，QB为半径的圆上，
∴∠MQG＝2∠MBG，设⊙Q的半径为r，则BE＝2r，
在Rt△COA中，OC＝1，OA＝，
∴tan∠OCA＝＝，
∴∠OCA＝60°，
∴∠MBG＝∠BCA＝60°，
∴∠MQG＝120°，
∵QM＝QG，
∴∠FQG＝∠MQG＝60°，
∴GF＝r，
∴MG＝2FG＝r，
∴＝．
12．（1）证明：如图1中，连接OD．
∵OA＝OB，CD＝DB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）证明：连接DE．
∵AB是直径，DF⊥AC，
∴∠ADB＝∠DFE＝90°，
∵∠DEF+∠AED＝180°，∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠DEF＝∠ABD，
∴△DEF∽△ABD．
（3）解：如图2中，连接OM、OD，延长MD交AB的延长线于N．
∵CM是切线，
∴OM⊥MC，
∵CM∥AN，
∴OM⊥AB，∠CMD＝∠N，
∵∠MDC＝∠NDB，DC＝DB，
∴△CMD≌△BND，
∴DM＝DN，
∵∠MON＝90°，
∴OD＝DM＝DN＝OM，
∴△OMD是等边三角形，
∴∠MOD＝60°，∠DON＝30°，∠AOD＝150°，
∴的长＝＝π．
故答案为π．
13．证明：（1）∵AD∥BE，
∴＝，
∵＝
∴＝，
∴AB∥CD．
（2）∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵BC2＝GD BD，
∴AD2＝GD BD，
即＝，
又∵∠ADG＝∠BDA，
∴△ADG∽△BDA，
∴∠DAG＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠E，
∵BG＝GE，
∴∠DBC＝∠E，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
14．（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴∠AFD＝∠AEC，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠AEC，
∴CF＝CE；
（2）由（1）可知∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，
∴△ADF∽△ACE，
∴＝＝，
∵CF＝CE，
∴＝，
∵BD＝DC，∠BDC＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，∠ACD+∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
＝，
∴＝＝．
15．证明：（1）连接BD交AC于F，
∵A为弧BD中点，
∴，
∴∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACB+∠CBE，
∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBE，
∵∠CAD＝∠CBD＝2∠CBE，
∴∠CBE＝∠CAD，
（2）∵∠DBC＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴BC CD＝AC CF①，
∵∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAB，
∴△ABF∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC AF②，
①+②得：AB2+BC CD＝AC CF+AC AF＝AC（CF+AF），
∴AC2＝BC CD+AB2．
16．（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，＝，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，
∵，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OC＝2，
由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF＝OC＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴S△ABF＝，
4×2＝2 BD，
∴BD＝．
17．（1）证明：∵KD∥AB，
∴∠ABC＝∠EKC，
∵CE∥AM，
∴∠AMB＝∠ECK，
∴△ABM∽△EKC；
（2）证明：∵△ABM∽△EKC，
∴＝，
∴AB CK＝EK BM，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM＝CM，
∴AB CK＝EK CM；
（3）解：BD∥AE，BD＝AE，
∵CE∥AM，
∴＝，
∵＝，
∴DE＝AB，
∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE．
18．解：（1）如图1，连接OD，∵OA＝OD＝3，BC＝2，
∴AC＝8，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝AC＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝1，
在Rt△ODE中，DE＝＝2；
在Rt△ADE中，AD＝＝2；
（2）当DP＝DF时，如图2，
点P与A重合，F与C重合，则AP＝0；
当DP＝PF时，如图4，∴∠CDP＝∠PFD，
∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF＝∠DAC，
∴∠DPF＝∠C，
∵∠PDF＝∠CDP，
∴△PDF∽△CDP，
∴∠DFP＝∠DPC，
∴∠CDP＝∠CPD，
∴CP＝CD，
∴AP＝AC﹣CP＝AC﹣CD＝AC﹣AD＝8﹣2；
当PF＝DF时，如图3，
∴∠FDP＝∠FPD，
∵∠DPF＝∠DAC＝∠C，
∴△DAC∽△PDC，
∴，
∴，
∴AP＝5，
即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．
19．解：问题1：
（1）∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝4﹣3＝1，
∵DE∥BC，
∴，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，即，
故答案为：；
（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，
∴BD＝4﹣m，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝＝，
即＝；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴＝，
∴＝＝＝，
即＝；
问题2：如图2，
解法一：如图2，分别延长BA、CD交于点O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴，
∴OA＝AB＝4，
∴OB＝8，
∵AE＝n，
∴OE＝4+n，
∵EF∥BC，
由问题1的解法可知：＝＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝＝，即＝；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴＝，
∴S△ADC＝，
∴S△ADC＝S，S△ABC＝，
由问题1的结论可知：＝，
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴S△CFM＝×S，
∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝，
∴＝．
20．（1）证明：连接OC，
∵DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
∵BD⊥DE，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，即BC平分∠DBA；
（2）解：∵OC∥BD，
∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，
∴＝，＝，
∴＝，
∵＝，
设EA＝2k，AO＝3k，
∴OC＝OA＝OB＝3k．
∴＝＝＝．
21．【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
而∠CAD＝∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，
即＝，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）方法一：∵BC＝CD＝6，
而DE＝2CE，
∴DE＝4，CE＝2，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，
在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴＝，即＝，
∴OF＝．
方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，
由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，
∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，
∵OG＝OF，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴∠OGF＝45°，
∴G点在BE上，
∵BG＝CF＝，
∴GF＝，
∴OF＝GF＝．
22．解：（1）△DAE∽△EBC，
理由是：∵∠A＝∠DEC＝50°，
∴∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝130°，∠DEA+∠CEB＝180°﹣∠DEC＝130°，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝∠B，
∴△DAE∽△EBC；
（2）设AE＝x，则BE＝5﹣x，
∵∠ADE＜90°，∠ECB＜90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DAE∽△EBC，
∴＝，
即＝，
解得：x＝1或4，
即AE＝1或4；
（3）AE＝BE或BE＝2AE，
理由是：①
当∠A＝∠B＝∠DEC＝90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE＝∠BCE，
所以△DEC∽△DAE∽△EBC，
∴＝，＝＝，
∴＝，即BE＝AE；
②当∠DEC≠90°时，
∵△ADE∽△BCE，∠DEA＝∠CEB，
∴＝＝＜1，
∴DE＜CE，则∠CDE＞∠ECD，∠CDE＝90°，
∵∠DCE≠∠CEB，
∴∠DEA＝∠DEC＝∠CEB＝60°，
∴＝＝＝，
∴BE＝2AE．