2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.6相似多边形同步达标训练（word版、含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.6相似多边形》同步达标训练（附答案）
1．下列说法正确的是（　　）
A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似
2．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸．则标准纸的宽和长的比值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC（EF＞DF）与矩形ABCD相似，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．1
4．矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（　　）
A． B． C． D．2.5
5．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，AD＝2，则DF的值为（　　）
A． B． C． D．3
7．如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（　　）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
9．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（　　）
A．4 B．6 C．12 D．24
10．将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似，若原矩形纸片的边AB＝1，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．2
11．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是　 　．
12．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为　 　．
13．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝　 　．
14．如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　 　时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为　 　．
16．北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 　 　丈．
17．如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB＝60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为　 　．
18．如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
20．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
21．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
参考答案
1．解：∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴所有正方形都是相似多边形，
故选：C．
2．解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得y：x＝．
故选：A．
3．解：∵AB＝1，
设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
解得：x1＝，x2＝（不合题意舍去），
经检验x1＝是原方程的解．
∴FD＝﹣1＝．
故选：C．
4．解：∵原矩形的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为＝2，
∵小矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得：x＝2，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝xcm，
∵四边形ABEF是正方形，
∴EF＝AB＝ycm，
∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，
∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，
∴DF：AB＝CD：AD，
即：
∴＝，
故选：B．
6．解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴，设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，
则，
∴x2﹣yx﹣y2＝0，
∴x＝，
∵x＞0，y＞0，
∴x＝y，
∴DF：AD＝，
∵AD＝2，
∴DF＝3﹣，
故选：D．
7．解：∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
∴AB：DE＝2：1，
∴设AE＝x，DE＝a，
∴DC＝AB＝2a，
则＝，
整理，得：x＝3a，
则＝3，即AE：ED＝3：1，
故选：B．
8．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
9．解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，
∴＝，
∴＝，
解得a＝12，
故选：C．
10．解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴，
设AD＝BC＝x，AB＝1，则AE＝x．则，即：x2＝1．
∴x＝或﹣（舍去）．
故选：C．
11．解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
故答案为：：1．
12．解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，
∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，
∴△HAE≌△EBF（AAS），
∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，
∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，
解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，
∴＝，
故答案为．
13．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，
∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，
AD＝，
由题意得，AD＝，
故答案为：．
14．解：当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
16．解：设三大殿宫院的宽为x丈，
由题意得，x：40＝9：5，
解得，x＝72丈，
故答案为：72．
17．解：如图连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，BD⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴OD＝AD＝，AO＝OD＝，
∵四边形DEBF与菱形ABCD相似，
∴∠EDF＝∠DAB＝60°，
∴∠EDO＝∠EDF＝30°，
∴OE＝OD＝，
∴AE＝OA﹣OE＝﹣＝，
故答案为．
18．解：当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
解得x＝1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠FAE＝∠AEB，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE＝AB＝6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴，即，
解得：BC＝3±3（负值舍去），
∴BC＝3+3．
20．证明；∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA＝90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE＝GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
21．解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，
∴DM BC＝AB MN，即BC2＝4，
∴BC＝2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∵AB＝CD＝2，BC＝4，
∴DF＝＝1，
∴矩形EFDC的面积＝CD DF＝2×1＝2．