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3.4 长方体的表面展开图（1）
课题 3.4 长方体的表面展开图（1） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1．了解几何体的表面展开图的概念．2．会在简单情况下判断一个平面图形是不是直棱柱的表面展开图．3．会画简单直棱柱的表面展开图．4．能根据展开图判断和制作立体模型．
重点 直棱柱的表面展开图，包括认和画展开图．
难点 由于立方体的各个面都是全等的正方形，判断由六个全等的正方形组成的平面图形是否为立方体的表面展开图，比其他直棱柱的表面展开图更难辨认，所以例1是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【合作学习】分别将老师发给你的正方形纸片连接成以下图形，那么，它们能拼成一个立方体纸盒么？请试一试．你还能得到其他不同的设计图吗？都能拼成．像上图那样的平面图形称为立方体的表面展开图．归纳：“一四一”型：“一三二”型：“三个二”型与“二个三”型：“五子连”、“7”字形、“田”字形、“凹”字形时，都不能折叠成正方体．对“表面展开图”很难下一个简洁明了的定义，所以先安排一个“合作学习”，让学生把一个正方形纸片拼成一个图形，能够让它们组成一个立方体纸盒．通过这个活动来体验立方体表面展开图的概念，然后通过例题，练习和作业题迁移到其他直棱柱，形成对直棱柱的表面展开图的认识．应当明确直棱柱的表面展开图具有以下特征：是连在一起的一个平面图形；是沿着棱柱某些棱剪开，铺平后得到的；组成展开图的各个多开形是直棱柱的各个侧面或底面，直棱柱的侧面展开图中的各个多边形必定是矩形，这是由直棱柱的特征所决定的． 思考自议只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 学习正方体的表面展开图要发挥观察、操作和空间想象能力．
讲授新课 提炼概念正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得各种情况。三、典例精讲【例1】如图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示法）．分析：可以先用折叠的方法试一试．看它能否折成一个立方体．解：如图是一个立方体的表面展开图，各对应面上的数字表示如图．立方体的各个面都是正方形，判断由六个全等的正方形组成的平面图形是不是一个立方体的表面展开图，比其他直棱柱的表面展开图的辨认更为困难．因此，讲解时可运用多种手段．首先可以用实验的方法，并出课中的展开图，并把它折叠起来．由于折叠的方法有多种，因此可能需要多次尝试方能成功．折叠成功后，找出展开图中的各个正方形与课本立体图中的各个面的对应数字．然后要求学生不用实验的方法，单凭空间想像把课本图形沿线折叠起来，还原成课本的立体图形．后者的方法更重要，因为它能培养学生的空间想像能力，是数学教学要追求的目标．在本节教学中教师应强化这种凭空间想像把表面展开图还原的训练．【例2】如图，为了生产这种牛奶包装盒，需要先画出展开图纸样．（1）如图给出三种纸样，它们都正确吗？（2）从图正确的纸样中选出一种，标注上尺寸．（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和全面积（侧面积与两个底面积的和）．解：（1）因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，所以图乙不正确．图甲和图丙都正确（请动手试一试，为什么？）．（2）选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如图所示．（3）包装盒的侧面积和全面积为S侧＝(b＋a＋b＋a)h＝2ah＋2bh；S表＝S侧＋2S底＝2ah＋2bh＋2ab．例2第（1）题也是辨认表面展开图的问题，实际上比例1容易，因为相关直棱柱的侧面是长方体，展开图中的侧面和底面有明显区别．学生容易辨认出图乙不正确，因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧．对图甲和图丙，教学中仍需通过想像还原来检验它们的正确性．例2第（2）题是制图中经常用到的尺寸标注问题．尺村标注如果不规范或不合理，容易导致图样不美观，甚至读图错误．教学中应强调规范标注尺寸的重要性．不过课本不严格要求遵守尺寸标注的有关标准，因此在教学中只需要提一些常见的要求，如尺寸线排列要工整，不能干扰图线，尺寸通常写在尺寸线的中间或水平尺寸线的上方、铅垂尺寸线的一侧等．例2第（3）题是利用表面展开图来计算包装盒的表面积，学生对长方体的表面积计算并不感到困难，而利用表面展开图来计算包装盒的表面积，能加深学生对学习表面展开图的意义的认识．杜登尼（Dudeney，1857－1930年）是19世纪英国知名的谜题创作者，下面的问题来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇”问题：在一个长，宽，高为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间，离天花板0.1米处（点A处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（点B处）．试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？解：按展开图，分以下几种情形讨论：AB＝≈5.31（米）∴蜘蛛需要爬行的最短矩距离为5米． 会画简单直棱柱的表面展开图． 能根据展开图判断和制作立体模型．
课堂检测 四、巩固训练 1.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体，正确的是（ ）1.B2.下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？① ② ③④ ⑤解：①②④可以，③⑤不可以．3. 长方体的长为5，宽为3，高为4，求一只蚂蚁从点A绕长方体的表面爬行到点B的最短距离.解：（1）展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.（2）展开前面和上面，连接AB，此时路径最短. （3）展开左面和上面，连接AB，此时路径最短.
课堂小结 正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得各种情况。
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3.4 长方体的表面展开图（1）
课题 3.4 长方体的表面展开图（1） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1．了解几何体的表面展开图的概念．2．会在简单情况下判断一个平面图形是不是直棱柱的表面展开图．3．会画简单直棱柱的表面展开图．4．能根据展开图判断和制作立体模型．
重点 直棱柱的表面展开图，包括认和画展开图．
难点 由于立方体的各个面都是全等的正方形，判断由六个全等的正方形组成的平面图形是否为立方体的表面展开图，比其他直棱柱的表面展开图更难辨认，所以例1是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】【合作学习】分别将老师发给你的正方形纸片连接成以下图形，那么，它们能拼成一个立方体纸盒么？请试一试．你还能得到其他不同的设计图吗？
新知讲解 提炼概念正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得各种情况。 典例精讲 【例1】如图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示法）．【例2】如图，为了生产这种牛奶包装盒，需要先画出展开图纸样．（1）如图给出三种纸样，它们都正确吗？（2）从图正确的纸样中选出一种，标注上尺寸．（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和全面积（侧面积与两个底面积的和）．思考：杜登尼（Dudeney，1857－1930年）是19世纪英国知名的谜题创作者，下面的问题来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇”问题：在一个长，宽，高为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间，离天花板0.1米处（点A处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（点B处）．试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
课堂练习 巩固训练 1.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体，正确的是（ ） 2.下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？① ② ③④ ⑤3. 长方体的长为5，宽为3，高为4，求一只蚂蚁从点A绕长方体的表面爬行到点B的最短距离. 答案引入思考都能拼成．像上图那样的平面图形称为立方体的表面展开图．归纳：“一四一”型：“一三二”型：“三个二”型与“二个三”型：“五子连”、“7”字形、“田”字形、“凹”字形时，都不能折叠成正方体． 提炼概念典例精讲 例1 解：如图是一个立方体的表面展开图，各对应面上的数字表示如图．例2 解：（1）因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，所以图乙不正确．图甲和图丙都正确（请动手试一试，为什么？）．（2）选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如图所示．（3）包装盒的侧面积和全面积为S侧＝(b＋a＋b＋a)h＝2ah＋2bh；S表＝S侧＋2S底＝2ah＋2bh＋2ab．思考：解：按展开图，分以下几种情形讨论：AB＝≈5.31（米）∴蜘蛛需要爬行的最短矩距离为5米．巩固训练1.B2.解：①②④可以，③⑤不可以．3.解：（1）展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.（2）展开前面和上面，连接AB，此时路径最短. （3）展开左面和上面，连接AB，此时路径最短.
课堂小结 .正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得各种情况。
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浙教版 九年级上
3.4 简单几何体的表面展开图 （1）
新知导入
情境引入
B
A
在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）
B
A
前面
右面
上面
后面
左面
下面
立方体共有六个面
立方体
转化
平面图
A
B1
前面
右面
B
A
B2
B
前面
上面
蚂蚁共有六种走法
左面
上面
A1
B3
A
B4
左面
后面
A
B5
A
B6
下面
后面
下面
右面
A点
前面
左面
下面
上面
右面
后面
B点
从A到B走最短路径要走几个面？
①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；
④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.
合作学习
【合作学习】分别将老师发给你的正方形纸片连接成以下图形，那么，它们能拼成一个立方体纸盒么？请试一试．你还能得到其他不同的设计图吗？
像上图那样的平面图形称为立方体的表面展开图．
将几何体沿某些棱“剪”开，且使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图.
请将一个立方体纸盒沿某些棱剪开，你能得到立方体怎样的表面展开图？请大家动手试一试.
提炼概念
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种.
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种.
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种.
第四类，两排各三个，只有一种.
立方体表面展开图
一四一型
二三一型
二个三型
三个二型
对面 “不相连”;异层 “日”字连,整体没有“田”
共11种
“一三二”，“一四一”“一”在同层可任意；
“三个二”成台阶；“两个三”，“日”字连；
异层“日”字连； 整体没有“田”。
典例精讲
新知讲解
【例1】如图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示法）．
解：如图是一个立方体的表面展开图，各对应面上的数字表示如图．
【例2】如图，为了生产这种牛奶包装盒，需要先画出展开图纸样．
（1）如图给出三种纸样，它们都正确吗？
（2）从图正确的纸样中选出一种，标注上尺寸．
（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和全面积（侧面积与两个底面积的和）．
甲
乙
丙
解：（1）因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，
所以图乙不正确．图甲和图丙都正确．
（2）选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如图所示．
（3）包装盒的侧面积和全面积为
S侧＝(b＋a＋b＋a)h＝2ah＋2bh；
S表＝S侧＋2S底＝2ah＋2bh＋2ab．
杜登尼（Dudeney，1857－1930年）是19世纪英国知名的
谜题创作者，下面的问题来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇”问
题：在一个长，宽，高为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间，离天花板0.1米处（点A处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（点B处）．试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
解：按展开图，分以下几种情形讨论：
归纳概念
1.经历几何体表面展开的过程，认识几何体的表面展开图，并能根据所给的几何体的表面展开图判定几何体的形状.
2.熟记立方体表面展开图的规律.
课堂练习
1.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体，
正确的是（ ）
B
2.下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
③
④
⑤
①
②
√
√
√
3. 长方体的长为5，宽为3，高为4，求一只蚂蚁从点A绕长方体的表面爬行到点B的最短距离.
B
A
5
4
3
A
B
B
（1）展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.
5
4
3
A
B
B
（2）展开前面和上面，连接AB，此时路径最短.
5
4
3
A
B
B
A
（3）展开左面和上面，连接AB，此时路径最短.
比较三种情况的最短路径
且另三种情况与上述三种情况结果分别相同
因此爬行的最短路径为
课堂总结
1．了解几何体的表面展开图的概念．
2．会在简单情况下判断一个平面图形是不是直棱柱的表面展开图．
3．会画简单直棱柱的表面展开图．
4．能根据展开图判断和制作立体模型．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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