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专题4.2 平行线分线段成比例-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 平行线分线段成比例（“#”字型）】
【例1】（2021 杭州一模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【变式1-1】（2021 拱墅 ( http: / / www.21cnjy.com )区模拟）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（ ）
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A．10 B． C．12 D．14
【变式1-2】（2020秋 密云区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）
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A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6
【变式1-3】（2020秋 泰兴市期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（ ）21cnjy.com
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A．4 B．6 C．8 D．9
【题型2 平行线分线段成比例（“X”字型）】
【例2】（2021春 洪山区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，则下列等式不成立的是（ ）
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A． C． D．
【变式2-1】（2020秋 宝山区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝ ．21世纪教育网版权所有
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【变式2-2】（2020 江西一模）如图l1∥l2∥l3，若，DF＝10，则DE＝ ．
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【变式2-3】（2020 嘉兴模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．21教育网
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【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
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平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例 ( http: / / www.21cnjy.com )的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．www.21-cn-jy.com
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【题型3 平行线分线段成比例定理的推论（“A”字型）】
【例3】（2021春 芝罘区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 深圳模拟）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为 ．
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【变式3-2】（2020秋 大邑县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C．20 D．15
【变式3-3】（2021春 芝罘区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【题型4 平行线分线段成比例定理的推论（“8”字型）】
【例4】（2020秋 成华区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【变式4-1】（2020秋 曹县期中）如图，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，则CE的长为 ．2·1·c·n·j·y
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【变式4-2】如图，AD、BC相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝5，AF＝3，那么AD＝ ．www-2-1-cnjy-com
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【变式4-3】如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值是 ．2-1-c-n-j-y
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【题型5 平行线分线段成比例（判断比例式）】
【例5】（2021 拱墅区二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
【变式5-1】（2021春 东平县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
【变式5-2】（2020 南召县二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图直线AB、CD、EF被直线a、b所截，若∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，下列结论错误的是（ ）
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A．EF∥CD∥AB B． C． D．
【变式5-3】如图，一组互相平行的直线a， ( http: / / www.21cnjy.com )b，c分别与直线l1，l2交于点A，B，C，D，E，F，直线l1，l2交于点O，则下列各式不正确的是（ ）
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A． C． D．
【题型6 平行线分线段成比例（作辅助线）】
【例6】（2021 陕西模拟）如图，点E是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
【变式6-1】（2020秋 宝 ( http: / / www.21cnjy.com )山区月考）如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．2 B．3 C． D．
【变式6-2】（2020秋 江岸区校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F．若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【变式6-3】 （2020 无锡 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．21·世纪*教育网
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专题4.2 平行线分线段成比例-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 平行线分线段成比例（“#”字型）】
【例1】（2021 杭州一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】本题通过三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可得到结果．
【解答过程】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵，DF＝DE+EF．
∴，
故选：D．
【变式1-1】（2021 拱墅区模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（ ）
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A．10 B． C．12 D．14
【解题思路】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答过程】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝4，
∴EF＝10，
∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，
故选：D．
【变式1-2】（2020秋 密云区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）
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A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6
【解题思路】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可．
【解答过程】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，
∴，
∴GH＝2.4，
故选：C．
【变式1-3】（2020秋 泰兴市期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．4 B．6 C．8 D．9
【解题思路】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出DE的长度即可．
【解答过程】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，
∴，
解得：DE＝8，
故选：C．
【题型2 平行线分线段成比例（“X”字型）】
【例2】（2021春 洪山区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，则下列等式不成立的是（ ）
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A． C． D．
【解题思路】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答过程】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，
故选：D．
【变式2-1】（2020秋 宝山区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝ 9 ．2-1-c-n-j-y
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【解题思路】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC，即可得出答案．
【解答过程】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∵AC＝15，
∴BC＝9，
故答案为：9．
【变式2-2】（2020 江西一模）如图l1∥l2∥l3，若，DF＝10，则DE＝ 6 ．
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【解题思路】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入即可求出答案．
【解答过程】解：∵l1∥l2∥l3，，
∴，
∵DF＝10，
∴，
解得：DE＝6，
故答案为：6．
【变式2-3】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com ) 嘉兴模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【解题思路】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答过程】解：∵AB∥CD∥EF，
∴．
故答案为．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
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平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比 ( http: / / www.21cnjy.com )例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．21*cnjy*com
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．【出处：21教育名师】
【题型3 平行线分线段成比例定理的推论（“A”字型）】
【例3】（2021春 芝罘区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由DE∥BC，推出，求出AC，可得结论．
【解答过程】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，
故选：C．
【变式3-1】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 深圳模拟）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为 9 ．
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【解题思路】根据平行线分 ( http: / / www.21cnjy.com )线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．21cnjy.com
【解答过程】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
【变式3-2】（2020秋 大邑县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C．20 D．15
【解题思路】过A作MN∥DE，求出MN∥DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出，即可求出答案．【版权所有：21教育】
【解答过程】解：过A作MN∥DE，
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∵DE∥BC，
∴MN∥DE∥BC，
∵，
∵AD＝5，AB＝12，AE＝3，
∴，
解得：AC，
故选：A．
【变式3-3】（2021春 芝罘区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】设CF＝x，则，求出CF，由EF∥DB可求出的值．
【解答过程】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x，
∴CF，
∵EF∥DB，
∴．
故选：A．
【题型4 平行线分线段成比例定理的推论（“8”字型）】
【例4】（2020秋 成华区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】由AF＝2DF，可以假设DF＝k ( http: / / www.21cnjy.com )，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答过程】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴，
∴
故选：C．
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【变式4-1】（2020秋 曹县期中）如图，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，则CE的长为 4 ．www-2-1-cnjy-com
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【解题思路】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【解答过程】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
即，
解得：CE＝4，
故答案为：4
【变式4-2】如图，AD、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝5，AF＝3，那么AD＝ ．21教育名师原创作品
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【解题思路】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答过程】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵CE＝2，EB＝5，AF＝3，
∴，
∴DF，
∴AD＝AF+DF＝3．
故答案为．
【变式4-3】如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值是 ．
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【解题思路】先利用AB∥E ( http: / / www.21cnjy.com )F得到，则可求出解得AE＝12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出的值．21世纪教育网版权所有
【解答过程】解：∵AB∥EF，
∴，
∵CE＝4，CF＝3，AE＝BC，
∴，解得AE＝12，
∵AB∥CD，
∴．
故答案为．
【题型5 平行线分线段成比例（判断比例式）】
【例5】（2021 拱墅区二模）如图，已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（ ）
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A． C． D．
【解题思路】利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．
【解答过程】解：∵EF∥BC，
∴，，，
∴选项A，C，D正确，
故选：B．
【变式5-1】（2021春 东平县期末）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
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A． C． D．
【解题思路】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解答过程】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，
∴，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，
∴，
∴，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【变式5-2】（2020 南召县二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图直线AB、CD、EF被直线a、b所截，若∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，下列结论错误的是（ ）
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A．EF∥CD∥AB B． C． D．
【解题思路】根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答过程】解：∵∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，
∴AB∥CD∥EF，
∴，
故选：C．
【变式5-3】如图，一组互相平行的直 ( http: / / www.21cnjy.com )线a，b，c分别与直线l1，l2交于点A，B，C，D，E，F，直线l1，l2交于点O，则下列各式不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【解答过程】解：A、∵直线a∥直线b∥直线c，
∴，正确，故本选项不符合题意；
B、∵直线a∥直线b∥直线c，
∴，正确，故本选项不符合题意；
C、∵直线a∥直线b∥直线c，
∴，正确，故本选项不符合题意；
D、∵直线b∥直线c，
∴△OEB∽△OFC，
∴，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【题型6 平行线分线段成比例（作辅助线）】
【例6】（2021 陕西模拟）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
【解题思路】过D作DH⊥AF于点H，延长D ( http: / / www.21cnjy.com )H与AB相交于点G，先根据矩形的性质和已知条件得DA＝DF，根据等腰三角形的性质得H是AF的中点，由平行线等分线段定理得G是AB的中点，进而证明四边形BEDG是平行四边形，求得DE，便可得CE的长度．21*cnjy*com
【解答过程】解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
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故选：C．
【变式6-1】（2020秋 宝山区月考）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C． D．
【解题思路】过G作GM∥CD，交AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )M，根据平行线分线段成比例定理得出M为BD的中点，D为AM的中点，根据三角形的中位线性质得出，，求出CD＝2MG，MG＝2DE，求出CD＝4DE，即可求出答案．
【解答过程】解：过G作GM∥CD，交AB于M，
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∵G是BC中点，E是AG中点，
∴M为BD的中点，D为AM的中点，
∴，，
∴CD＝2MG，MG＝2DE，
∴CD＝4DE，
∴CE＝4DE﹣DE＝3DE，
∴3，
故选：B．
【变式6-2】（2020秋 江岸区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F．若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】如图，过点E作EM⊥AB于M ( http: / / www.21cnjy.com )，EN⊥BC于N，作ET∥CB交AD于T．首先证明AE：EC＝AB：BC＝3：2，推出ET：CD＝ET+BD＝AE：AC＝3：5，即可解决问题．2·1·c·n·j·y
【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，作ET∥CB交AD于T．
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∵BE平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM＝EN，
∴，
∴，
∴，
∵ET∥CD，
∴，
∵CD＝BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式6-3】 （2020 ( http: / / www.21cnjy.com ) 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．21教育网
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【解题思路】过点D作DF∥AE ( http: / / www.21cnjy.com )，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，即可求出此时△ABO的最大面积．21·世纪*教育网
【解答过程】解：如图，过点D作DF∥AE，
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则，
∵，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DODC，
∴S△ADOS△ADC，S△BDOS△BDC，
∴S△ABOS△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：4．
故答案为：．
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