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专题4.3 相似三角形的判定-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 相似三角形的判定】
判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．
判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
【题型1 相似三角形的判定（判定定理1）】
【例1】（2021 越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．21*cnjy*com
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【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似．
【解答过程】证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC．
【变式1-1】（2021 越秀区校级二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．21*cnjy*com
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【解题思路】根据等腰三角形的性质得出∠P ( http: / / www.21cnjy.com )CD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．
【解答过程】证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
【变式1-2】（2020秋 宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．
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【解题思路】利用“两角法”证得结论．
【解答过程】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°．
∴∠ACB+∠ACD＝90°．
又∵AC⊥DE，
∴∠CDE+∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝∠CDE．
∴△ABC∽△ECD．
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【变式1-3】（2020秋 淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
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【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．www.21-cn-jy.com
【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
【题型2 相似三角形的判定（判定定理2）】
【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由
（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20
【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．
（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．
【解答过程】解：（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 1）∵ QUOTE ，
∴△ABC∽△A′B′C′
（2）∵
∴△ABC∽△A′B′C′．
【变式2-1】（2020秋 南召县期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．21教育网
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【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】解：相似，理由如下：
∵．
∴，
又∵，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
又∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【变式2-2】（2020秋 肥东县月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
【解题思路】设小正方形的边长为1，分别求得两个三角形各边的长，再根据各边是否对应成比例来判定两三角形是否相似．【出处：21教育名师】
【解答过程】解：结论：相似．
理由：设正方形的边长为1，则AC，CD＝1，AD，EC＝2，EA，
∵
∴△ACD∽△ECA．
【变式2-3】如图，在边长为1的小 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．
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【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；
（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可．
【解答过程】（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，
即AB2+AC2＝BC2，
所以△ABC是直角三角形；
（2）解：相似，
理由是：由勾股定理 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 得：DF QUOTE 2，DE4，EF2，
由（1）知：AB＝2，AC，BC＝5，
所以，
所以△△ABC和△DEF相似；
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（3）解：和△ABC相似的三角形是△P2P4P5，
理由是：∵由勾股定理得：P5P2，P2P4，P4P5＝2，
又∵AB＝2，AC，BC＝5，
∴，
∴△ABC∽△P4P5P2．
【题型3 相似三角形的判定（判定定理3）】
【例3】（2020秋 浦东新 ( http: / / www.21cnjy.com )区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
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【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE ( http: / / www.21cnjy.com )与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出∠B＝∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽∠ACD，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠ODF，
∴∠B＝∠ODF，
∵∠DOF＝∠BOD，
∴△DOF∽△DOB
【变式3-1】（2021春 肇州县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
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【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．
∴AE＝5，AD＝6，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【变式3-2】（2021春 朝 ( http: / / www.21cnjy.com )阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD BC，求证：△ABC∽△DAC．
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【解题思路】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答过程】证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC2＝CD BC，
∴，
∴△ABC∽△DAC．
【变式3-3】（2020秋 蜀山区校级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．21·世纪*教育网
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【解题思路】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．www-2-1-cnjy-com
【解答过程】证明：∵EF DF＝CF BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
【题型4 相似三角形的判定（多结论问题）】
【例4】（（2021 阿勒泰地区一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】由∠BEG＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．21教育名师原创作品
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
【变式4-1】（2020春 淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：
①∠APB＝∠EPC；②AB PC＝EC BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
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A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
【解题思路】根据正方形的性质求出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，再逐个判断即可．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠APB＝∠EPC，
∴△ABP和△ECP相似，故①正确；
∵AB PC＝EC BP，
∴，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△ECP，故②正确，
∵P为BC的中点，E为DC的中点，
∴BP＝CPBC，CECD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∴BP＝CP＝CE，
∴2，1，
即，
即△ABP和△ECP不相似，故③错误；
设PB＝2x，BC＝3x，
则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CEBCx，
∴，，
即，
∴，
∵∠B＝∠C＝90°，
即△ABP和△ECP相似，故④正确；
所以正确的为①②④，
故选：C．
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【变式4-2】（2020秋 南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（ ）21cnjy.com
①BC＝4；②；③；④△ADE∽△ABC．
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
【解题思路】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【解答过程】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，（）2，
∴，
∵DE＝2，
∴BC＝6，
∴②④正确，
故选：D．
【变式4-3】（2020秋 天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（ ）2-1-c-n-j-y
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答过程】解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
【题型5 相似三角形的判定（网格问题）】
【例5】（2021春 芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答过程】解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
【变式5-1】（2021 龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可．
【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第二个三角形的三边的三边之比为：：：，
第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，
只有第一和第三个三角形的三边成比例，
所以只有第一和第三个三角形相似，
故选：A．
【变式5-2】（2020秋 鹿邑县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）2·1·c·n·j·y
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A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【解题思路】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．
【解答过程】解：设小正方形的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，
故选：C．
【变式5-3】（2020秋 成华区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是 10 ，符合条件的格点三角形共有 16 个．【来源：21·世纪·教育·网】
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【解题思路】根据Rt△ABC的各边长得出与其 ( http: / / www.21cnjy.com )相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可．21世纪教育网版权所有
【解答过程】解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
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若该三角形最短边长为4，则另一直角边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，
Rt△ABC的三边为1：2：的直角三角形，
∵相似，直角边为1：2，
∴直角边最长应为与2，如图中4个，
每旋转90°又有4个，
∴共4×4＝16（个）．
故答案为：10；16．
【题型6 相似三角形的判定（动点问题）】
【例6】（2021春 龙口市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．【版权所有：21教育】
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
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【解题思路】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
【解答过程】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
2x（8﹣x）8×10．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①，即，
解得t；
②，即．
解得t．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
【变式6-1】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com )濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 或 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
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【解题思路】分两种情形①当时，②当时，分别构建方程求解即可．
【解答过程】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当时，
即，解得：t；
②当时，
即，解得：t；
综上所述：当t或时，△ADE与△ABC相似．
【变式6-2】（2020秋 渭滨区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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【解题思路】（1）由已知条件易证四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD是矩形，所以∠A＝∠B＝∠C＝90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE＝BF，进而可求出t的值；
（2）若△EFB∽△FDC，则BE：CF＝BF：DC，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．21·cn·jy·com
【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°．
当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE＝BF，AE＝t，则BE＝AB﹣AE＝6﹣t，BF＝2t，
∴2t＝6﹣t．
解得：t＝2．
∴当t＝2时，△BEF为等腰直角三角形．
（2）存在，理由如下：
∵△EFB∽△FDC，
∴BF：DC＝BE：CF．
∵BE＝6﹣t，BF＝2t，CF＝12﹣2t，
∴．
解得：t或t＝6．
又∵t＝6时，B与E重合，所以不符合题意，舍去，
综上所述，当t时，△EFB∽△FDC．
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【变式6-3】 （2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )舒城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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【解题思路】（1）设P、Q同时出发，x秒钟 ( http: / / www.21cnjy.com )后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
【解答过程】解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x） 2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，，即，
解得：t．
当△PCQ∽△BCA时，，即，
解得：t．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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专题4.3 相似三角形的判定-重难点题型
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【知识点1 相似三角形的判定】
判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．
判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
【题型1 相似三角形的判定（判定定理1）】
【例1】（2021 越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．21cnjy.com
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【变式1-1】（2021 越秀区校级二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．21·cn·jy·com
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【变式1-2】（2020秋 宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【来源：21·世纪·教育·网】
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【变式1-3】（2020秋 淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．2-1-c-n-j-y
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【题型2 相似三角形的判定（判定定理2）】
【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由
（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20
【变式2-1】（2020秋 南召县期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．21*cnjy*com
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【变式2-2】（2020秋 肥东 ( http: / / www.21cnjy.com )县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．www.21-cn-jy.com
【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：【出处：21教育名师】
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．【版权所有：21教育】
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【题型3 相似三角形的判定（判定定理3）】
【例3】（2020秋 浦东新区校级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
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【变式3-1】（2021春 肇州县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
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【变式3-2】（2021春 朝阳区校级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD BC，求证：△ABC∽△DAC．
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【变式3-3】（2020秋 蜀 ( http: / / www.21cnjy.com )山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．21世纪教育网版权所有
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【题型4 相似三角形的判定（多结论问题）】
【例4】（（2021 阿勒泰地区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式4-1】（2020春 淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：21教育网
①∠APB＝∠EPC；②AB PC＝EC BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）21·世纪*教育网
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A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
【变式4-2】（2020秋 南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
①BC＝4；②；③；④△ADE∽△ABC．
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
【变式4-3】（2020秋 天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（ ）www-2-1-cnjy-com
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【题型5 相似三角形的判定（网格问题）】
【例5】（2021春 芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021 龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式5-2】（2020秋 鹿邑县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【变式5-3】（2020秋 成华区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是 ，符合条件的格点三角形共有 个．21教育名师原创作品
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【题型6 相似三角形的判定（动点问题）】
【例6】（2021春 龙口市期末）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．21*cnjy*com
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
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【变式6-1】（2021春 濮阳期末）在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
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【变式6-2】（2020秋 渭滨区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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【变式6-3】 （2020秋 舒城县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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