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专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．如图，，则有． ( http: / / www.21cnjy.com / )
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有
【题型1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】
【例1】（2020秋 岳阳期末）如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6．求证：AB∥DE．21教育网
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【变式1-1】（2020秋 德江县期末）如图，∠1＝∠2，，求证：∠C＝∠D．
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【变式1-2】（2020秋 遂川县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证；
（2）猜想△CDF的形状，并说明理由．
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【变式1-3】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )中方县期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．2·1·c·n·j·y
（1）求证：△AEF∽△ACG．
（2）求证：∠ADE＝∠B．
（3）若AD＝3，AB＝5，求．
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【题型2 相似三角形的性质（对应边成比例问题）】
【例2】（（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )崇左期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（ ）
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A． B． C． D．1
【变式2-1】（2020秋 万荣县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若，DE，则BC的长为（ ）
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A． B． C． D．
【变式2-2】（2021 岳麓区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )二模）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）若GE GF＝9，求CG的长．
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【变式2-3】（2021 滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．21·世纪*教育网
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求CE的长．
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【题型3 相似三角形的性质（周长问题）】
【例3】（2020春 罗定市 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长．
【变式3-1】．（2020秋 北碚区校级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周长是72cm，求△ABC的各边的长．
【变式3-2】（2020秋 泰兴市期末）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE．21世纪教育网版权所有
（1）求证：△DAC∽△EBC；
（2）求△ABC与△DEC的周长比．
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【变式3-3】（2020秋 东莞市校级月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． C． D．
【题型4 相似三角形的性质（面积问题）】
【例4】（2021春 海阳 ( http: / / www.21cnjy.com )市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．21·cn·jy·com
（1）求∠ABC的度数；
（2）求的值．
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【变式4-1】（2020秋 道里区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
【变式4-2】（2020 河北模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）【出处：21教育名师】
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A．22 B．24 C．26 D．28
【变式4-3】（2020秋 德江县期末）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【题型5 相似三角形的性质（多结论问题）】
【例5】（2021 大埔县模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（ ）
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A．1 B．3 C．2 D．0
【变式5-1】（2021春 淮阳区校级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，平行四边形ABCD中，AB＝2BC．AE平分∠BAD，交CD于点E，点F为AB边的中点，AE与DF交于点M，BD与EP交于点N，连接MN．则下列结论：①四边形ADEF是菱形；②与△BFN全等的三角形有5个；③S四边形BCEN＝7S△FMN；④当FM＝FN时，∠BAD＝60°．其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式5-2】（2020秋 松桃 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP MD＝MA ME；④2CB2＝CP CM，其中正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-3】（2021春 龙泉驿区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD BD；④BC2＝BD AD，一定成立的有（ ）个．【版权所有：21教育】
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A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 相似三角形的性质（辅助线问题）】
【例6】（2020秋 开 ( http: / / www.21cnjy.com )江县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．若AF＝7，DF＝1，则△ABC的边长等于（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【变式6-1】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 天长市期末）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）21cnjy.com
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A．4 B． C．3 D．
【变式6-2】（2021 利辛县 ( http: / / www.21cnjy.com )二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．
（1）求的值；
（2）求证：BG＝EG；
（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．
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【变式6-3】 （2020秋 潜山市期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在边BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．21*cnjy*com
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式．
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专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型
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【知识点1 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．如图，，则有． ( http: / / www.21cnjy.com / )
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有
【题型1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】
【例1】（2020秋 岳阳期末）如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6．求证：AB∥DE．2·1·c·n·j·y
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【解题思路】根据已知条件证明△ACB∽△ECD，可得∠A＝∠E，进而可得结论．
【解答过程】证明：∵，，
∴，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB∽△ECD，
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
【变式1-1】（2020秋 德江县期末）如图，∠1＝∠2，，求证：∠C＝∠D．
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【解题思路】根据∠1＝∠2可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝∠EAD，结合，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三角形的性质即可得到∠C＝∠D．21教育名师原创作品
【解答过程】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵，
∴△BAC∽△EAD，
∴∠C＝∠D．
【变式1-2】（2020秋 遂川 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．
（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证；
（2）猜想△CDF的形状，并说明理由．
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【解题思路】（1）证明△BDG∽△ACG即可得到结论；
（2）先证明△CDG∽△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABG，可得∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC＝135°，进一步得到∠CDE＝90°，由CF∥DE，可得∠DCF＝∠CDE＝90°，即∠CFD＝45°，进而可得△CDF为等腰直角三角形．
【解答过程】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠BGD＝∠AGC，
∴△BDG∽△ACG，
∴；
（2）△CDF为等腰直角三角形，
理由：由（1）得．
又∵∠CGD＝∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，
由翻折得∠BDE＝∠BDC＝135°．
∴∠CDE＝90°，
∵CF∥DE，
∴∠DCF＝∠CDE＝90°，
∴∠CFD＝45°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
∴CF＝CD，
∴△CDF为等腰直角三角形．
【变式1-3】（2020秋 中方县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△AEF∽△ACG．
（2）求证：∠ADE＝∠B．
（3）若AD＝3，AB＝5，求．
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【解题思路】（1）利用有两个角对应相等的三角形相似进行判定即可；
（2）由（1）的结论可得∠AEF＝∠C，∠EAD＝∠CAB，可得△EAD∽△CAB，利用相似三角形的对应角相等，结论得证；
（3）由△AEF∽△ACG可得EAD∽△CAB可得；则，结论可求．
【解答过程】证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°．
∵∠EAF＝∠GAC
∴△AEF∽△ACG．
（2）由（1）知△AEF∽△ACG，
∴∠AEF＝∠C
∵∠DAE＝∠BAC（公共角），
∴△EAD∽△CAB．
∴∠ADE＝∠B．
解：（3）由（2）知：△ADE∽△ABC，
∴．
由（1）知△AEF∽△ACG，
∴．
∴．
∵AD＝3，AB＝5，
∴．
【题型2 相似三角形的性质（对应边成比例问题）】
【例2】（（2020秋 崇左期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（ ）
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A． B． C． D．1
【解题思路】结合矩形的性质证明△BAE∽△CEF可求得CF的长，再利用DF＝CD﹣DF可求解．
【解答过程】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∵E是BC的中点，BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
∵AB＝4，
∴4：3＝3：CF，
解得CF，
∴DF＝CD﹣DF＝4．
故选：B．
【变式2-1】（2020秋 万荣县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若，DE，则BC的长为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】由DE∥BC，得∠ADE＝∠B ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AED＝∠C，故△ADE∽△ABC，进而推断出．由，DE，故可求出BC．
【解答过程】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∴△ADE∽△ABC．
∴．
又∵，
∴AE．
∴．
∴BC．
故选：A．
【变式2-2】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 岳麓区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）若GE GF＝9，求CG的长．
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【解题思路】（1）根据正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的性质得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；21cnjy.com
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG＝∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，推出∠BCF＝∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．21·世纪*教育网
【解答过程】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
又AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴，即GA2＝GE GF，
∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），
根据（1）中的结论AG＝CG，
∴CG＝3．
【变式2-3】（2021 滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求CE的长．
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【解题思路】（1）根据矩形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据翻折变换的性质得到∠D＝∠AFE＝90°，结合图形利用角之间的互余关系推出∠BAF＝∠EFC，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；【出处：21教育名师】
（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推 ( http: / / www.21cnjy.com )出BC＝AD＝AF＝4，从而利用勾股定理求得BF＝2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．21*cnjy*com
【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
又△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠EFC+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵AB＝2，AD＝4，
∴BC＝AD＝AF＝4，
在Rt△ABF中，
BF2，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，
根据（1）中的结论△ABF∽△FCE，
∴，即，
解得CE，
故CE长为．
【题型3 相似三角形的性质（周长问题）】
【例3】（2020春 罗 ( http: / / www.21cnjy.com )定市月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长．
【解题思路】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形周长的比等于相似比列出比例式，计算即可求解．
【解答过程】解：△ABC的周长为：3+4+5＝12，
设△A′B′C′的周长为x，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，
解得x＝28．
故答案为：28．
【变式3-1】．（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 北碚区校级期中）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周长是72cm，求△ABC的各边的长．
【解题思路】根据题意，△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB：BC：CA＝2：3：4，可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，则根据△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，可用k表示出A1B1k，B1C1k，A1C1k，然后，根据△A1B1C1的周长是72cm，可得kkk＝72，解得k＝6，代入即可求出△ABC的各边的长；
【解答过程】解：∵△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，
∴可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，
∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，
∴A1B1AB2kk，
B1C1BC3kk，
A1C1AC4kk，
又∵△A1B1C1的周长是72cm，
∴kkk＝72，
解得，k＝6．
【变式3-2】（2020秋 泰兴市期末）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE．
（1）求证：△DAC∽△EBC；
（2）求△ABC与△DEC的周长比．
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【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的性质得到 QUOTE ，结合图形由角之间的和差关系推出∠BCA＝∠ECD，从而得到△ABC∽△DEC，利用等腰直角三角形的性质推出，进而利用相似三角形的性质证明即可．
【解答过程】证明：（1）∵△DAC和△EBC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，
∴△DAC∽△EBC；
（2）根据（1）中的结论△DAC∽△EBC，
∴，
又∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴，
∴△ABC与△DEC的周长比为．
【变式3-3】（2020秋 东莞市校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（ ）
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A． C． D．
【解题思路】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可．
【解答过程】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，（）2，
∴选项C正确，选项D错误，
∵无法确定，的值，故选项A，B错误，
故选：C．
【题型4 相似三角形的性质（面积问题）】
【例4】（2021春 海阳市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求的值．
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【解题思路】（1）依据三角形内角和 ( http: / / www.21cnjy.com )定理以及角平分线的定义，即可得到∠1+∠2的度数，根据三角形外角性质即可得出∠3的度数，最后根据相似三角形的对应角相等，即可得出结论；
（2）过A作AF⊥DE于点F，设A ( http: / / www.21cnjy.com )F＝a，易得DE＝2a，DF＝a，ADa，BFa+a，依据勾股定理即可得到AB2＝AF2+BF2＝（4+2）a2，最后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得出结论．
【解答过程】解：（1）∵AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠BAC）90°＝45°，
∴∠3＝∠1+∠2＝45°，
∵△ABC∽△EDA，
∴∠ABC＝∠3＝45°；
（2）过A作AF⊥DE于点F，
∵∠3＝45°，AE⊥AD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
设AF＝a，则DE＝2a，DF＝a，
Rt△ADF中，ADa，
∵2∠1＝2∠2＝45°，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝BDa，
∴BFa+a，
在Rt△ABF中，AB2＝AF2+BF2＝a2+（a+a）2＝（4+2）a2，
∵△ABC∽△EDA，
∴．
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【变式4-1】（2020秋 道里区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答过程】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-2】（2020 河北模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
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A．22 B．24 C．26 D．28
【解题思路】利用△AFH∽△AD ( http: / / www.21cnjy.com )E得到（）2，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答过程】解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，
可得FH：DE＝3：4，
∴（）2，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．
故选：D．
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【变式4-3】（2020秋 德江县期末）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（ ）
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【解题思路】由矩形性质可证明 ( http: / / www.21cnjy.com )△BEF∽△DCF，从而可得，由于△BEF与△BCF等高，故S△BEF：S△BCF＝1：2．
【解答过程】解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，
∴AB∥CD，BE，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵△BEF与△BCF等高，
∴S△BEF：S△BCF．
故选：A．
【题型5 相似三角形的性质（多结论问题）】
【例5】（2021 大埔县模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（ ）
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A．1 B．3 C．2 D．0
【解题思路】由四边形ABCD是正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
【变式5-1】（2021春 淮阳区校级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，平行四边形ABCD中，AB＝2BC．AE平分∠BAD，交CD于点E，点F为AB边的中点，AE与DF交于点M，BD与EP交于点N，连接MN．则下列结论：①四边形ADEF是菱形；②与△BFN全等的三角形有5个；③S四边形BCEN＝7S△FMN；④当FM＝FN时，∠BAD＝60°．其中正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解题思路】①根据四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D是平行四边形，可得：AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，再由AE平分∠BAD，可得出∠AED＝∠DAE，进而推出AF＝DE，即可运用菱形的判定方法证得结论；www.21-cn-jy.com
②根据题目条件可证明△BFN≌△DEN（AAS），其它三角形均不能证明；
③根据题目条件可得出S△ ( http: / / www.21cnjy.com )FMN＝S△DMNS△BFN，再由S菱形BCEF＝4S△BFN，进而得出S四边形BCEN＝3S△BFN，即可判断结论③错误；www-2-1-cnjy-com
④由FM＝FN可得出DF＝AF＝AD，即△ADF是等边三角形，可判定结论④正确．
【解答过程】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵点F为AB边的中点，
∴AFAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∴BC＝DE，
∵AB＝2BC．
∴BCAB，
∴AF＝DE，
∵AF∥DE，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是菱形，故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠FBN＝∠EDN，
∵DE＝AF＝BF，∠BNF＝∠DNE，
∴△BFN≌△DEN（AAS），
能够确定与△BFN全等的三角形只有1个，故②错误；
③∵△BFN≌△DEN，
∴FN＝EN，BN＝DN，
∵四边形ADEF是菱形，
∴DM＝FM，
∴S△FMN＝S△DMNS△BFN，
同理可证：四边形BCEF是菱形，
∴S菱形BCEF＝4S△BFN，
∴S四边形BCEN＝3S△BFN，
∵S△BFN＝2S△FMN，
∴S四边形BCEN＝6S△FMN，故③错误；
④当FM＝FN时，
∵FN＝EN，EF＝AF，
∴AF＝2FM，
∵DF＝2FM，
∴DF＝AF＝AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，故④正确；
故选：B．
【变式5-2】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 松桃县期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP MD＝MA ME；④2CB2＝CP CM，其中正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】①由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ADE三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA问题可证．
【解答过程】解：由已知得：ACAB，ADAE，
∴，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴①正确；
如图：设BE与AC相交于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AOB＝∠POC，
∵△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴②正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴，
∴MP MD＝MA ME，
∴③正确；
由③MP MD＝MA ME，∠PMA＝∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°，
∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
∠ACP＝∠MCA，
∴△CAP∽△CMA，
∴AC2＝CP CM，
∵ACBC，
∴2CB2＝CP CM，
∴④正确，
故选：D．
【变式5-3】（2021春 ( http: / / www.21cnjy.com )龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD BD；④BC2＝BD AD，一定成立的有（ ）个．2-1-c-n-j-y
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A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项﹣﹣分析可得出答案．
对于①，根据∠1+∠2＝90°，2+∠A＝90°，可得结论．
对于③，由所给条件，结合夹角相等，易证得△CDA∽△BDC，至此③也就可作出判断了．
对于②，由∠B＝∠2，但∠2+∠B不一定等于90°．
对于④，△CDB∽△ACB，根据形似三角形的性质得，进而得出④不正确．
【解答过程】解：∵Rt△ABC中∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠2+∠A＝90°，
∴∠1＝∠A，
故①正确；
∠2＝B，但是∠2+∠B不一定等于90°，
故②错误；
∵∠1＝∠A，∠CDB＝∠ADC＝90°，
∴△CDB∽△ADC，
则CD：AD＝BD：CD，
即CD ＝AD BD，
故③正确；
∵∠1＝∠A，∠B＝∠B，
∴△CDB∽△ACB，
则BC：AB＝BD：BC，
即BC ＝BD AB≠BD AD，
故④错误；
所以一定成立的是：①③，
故选：B．
【题型6 相似三角形的性质（常见辅助线问题）】
【例6】（2020秋 开 ( http: / / www.21cnjy.com )江县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．若AF＝7，DF＝1，则△ABC的边长等于（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
【解题思路】先由△ABC是等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形证明△ABD≌△BCE，由此得∠BAD＝∠CBE，再证明△ABD∽△BFD，由此得，即BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，BD＝2，再过点D作DG⊥AB于G，用勾股定理求出AG、BG即可．
【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∠BAD＝∠CBE，
∵∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，
∴BD＝2，
如图，过点D作DG⊥AB于G，
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∵∠DBG＝30°，
∴BGBD，
∴DG，
∴AG，
∴AB．
故选：C．
【变式6-1】（2020秋 天长市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（ ）21·cn·jy·com
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A．4 B． C．3 D．
【解题思路】过点A作AM⊥BC于点M， ( http: / / www.21cnjy.com )根据题意得到BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MCBC＝1，AB＝AC＝4，从而利用勾股定理求得AM，AI＝8，再根据同位角相等推出FG∥AC，从而得到△IQG∽△IAC，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答过程】解：如下图所示，
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过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，AB＝4，BC＝2，
∴BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MCBC＝1，AB＝AC＝4，
∴AM，
又MI＝BI﹣BM＝7，
∴AI8，
∵∠ACB＝∠FGE，
∴FG∥AC，
∴△IQG∽△IAC，
∴，即，
解得QI，
故选：D．
【变式6-2】（2021 利辛县二模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．
（1）求的值；
（2）求证：BG＝EG；
（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．
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【解题思路】（1）根据已 ( http: / / www.21cnjy.com )知条件，利用ASA证明△GDF≌△ECF，可得DG＝CE，再由BC＝3CE，得CEBC＝DG，AGBC，即可得出答案；
（2）过点G作GH⊥BC于H，利用SAS证明△ABG≌△HGE，即可证得结论；
（3）过点M作MT∥AD交BG于T ( http: / / www.21cnjy.com )，利用AAS证明△MNT≌△DNG，进而得出，可证△CBN∽△EBG，得出∠BCN＝∠BEG，可得CN∥EG．
【解答过程】解：（1）∵F为CD的中点，
∴DF＝CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠GDF＝∠ECF＝90°．
又∵∠DFG＝∠CFE．
∴△GDF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE．
∵BC＝3CE，
∴CEBC＝DG，
∴AG＝AD﹣DG＝BC﹣CE＝BCBCBC，
∴2；
（2）过点G作GH⊥BC于H，
∴CH＝DG＝CEBC，
∴EH＝CH+CEBC，
在△ABG和△HGE中，
，
∴△ABG≌△HGE（SAS），
∴BG＝EG；
（3）过点M作MT∥AD交BG于T，
∵M为AB的中点，
∴MTAG＝DG，
∵AD∥MT，
∴∠NMT＝∠NDG，
在△MNT和△DNG中，
，
∴△MNT≌△DNG（AAS），
∴NT＝NG，
∴BG＝4NG，
∴，
∵BC＝3CE，
∴，
∴，
∵∠CBN＝∠EBG，
∴△CBN∽△EBG，
∴∠BCN＝∠BEG，
∴CN∥EG．
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【变式6-3】 （2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在边BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．21教育网
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式．
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【解题思路】（1）由ED＝EB得到∠B＝∠DEB，再根据等角的余角相等得到∠A＝∠FEG，加上公共角∠G，则可判断△EFG∽△AEG；【版权所有：21教育】
（2）过E点作EH⊥AC于H ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，先证明△AEF∽△ACB得到，再利用△EFG∽△AEG得到，则EG＝2x，GA＝4x，AF＝3x，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EFx，AEx，接着利用面积法求出EHx，然后根据三角形面积公式得到y关于x的函数解析式．
【解答过程】（1）证明：∵ED＝EB，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FBE＝90°，
∴∠DEB+∠FEG＝90°，
∴∠A＝∠FEG，
∵∠EGF＝∠AGE，
∴△EFG∽△AEG；
（2）解：过E点作EH⊥AC于H，如图，
∵∠AEF＝∠ACB，∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∵△EFG∽△AEG，
∴，
∵FG＝x，
∴EG＝2x，GA＝4x，
∴AF＝3x，
在Rt△AEF中，∵EF2+AE2＝AF2，
∴EF2+4EF2＝（3x）2，解得EFx，
∴AEx，
∵EH AFEF AE，
∴EHx，
∴△EFG的面积 FG EH x xx2，
即y关于x的函数解析式为yx2．
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