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专题4.5 相似三角形的应用-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 相似三角形的应用】
在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的 ( http: / / www.21cnjy.com )高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。
【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】
【例1】（2020秋 曾都区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解答过程】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴x，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
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【变式1-1】（2021 广西模拟）《 ( http: / / www.21cnjy.com )九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（ ）21*cnjy*com
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A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里
【解题思路】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【版权所有：21教育】
【解答过程】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴，
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴，
解得：FH＝1.05里．
故选：B．
【变式1-2】（2021春 苏州期末） ( http: / / www.21cnjy.com )我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们
可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、 ( http: / / www.21cnjy.com )CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 57.5 尺．
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【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答过程】解：设BC＝x尺．
∵四边形BCDE是矩形，
∴BF∥CD，
∴△AFB∽△ADC，
∴，
∴，
解得x＝57.5，
经检验：x＝57.5是分式方程的解．
∴BC＝57.5（尺）．
故答案为：57.5．
【变式1-3】（2020 芗城区校级一模） ( http: / / www.21cnjy.com )《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．
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【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解答过程】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴x，
∴正方形CDEF的边长为．
【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】
【例2】（2021 津南区模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 9 米．21cnjy.com
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【解题思路】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解答过程】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
【变式2-1】（2020秋 碑林区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF， ( http: / / www.21cnjy.com )EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
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【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长．
【解答过程】解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∴FG＝GD+DF＝4m．
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴，即．
∴．
∴DFx﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴，即．
∴．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．
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【变式2-2】（2020 秦皇岛 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．21·cn·jy·com
①计算小亮在路灯AD下的影长；
②计算AD的高．
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【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．
【解答过程】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EPA＝∠CBA＝90°
∵∠EAP＝∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴
∴
∴AB＝10
BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；
②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠FQB＝∠DAB＝90°
∵∠FBQ＝∠DBA，
∴△BFQ∽△BDA
∴
∴
∴DA＝12．
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【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走 ( http: / / www.21cnjy.com )向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．2·1·c·n·j·y
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
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【解题思路】（1）如图1，先证明△AP ( http: / / www.21cnjy.com )M∽△ABD，利用相似比可得APAB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQAB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图2，他在路灯A下的影 ( http: / / www.21cnjy.com )子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BN即可．
【解答过程】解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴APAB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴，即，
∴BQAB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
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【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】
【例3】（2020秋 汉寿县期末）学 ( http: / / www.21cnjy.com )校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 0.2 m．
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【解题思路】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得．21教育网
【解答过程】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，
∴，
解得：CD＝0.2，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．
故答案为：0.2．
【变式3-1】．（2020 南安 ( http: / / www.21cnjy.com )市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 60 cm．
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【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．
【解答过程】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；
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∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN；
∴，
∵AC与BC之比为6：1，
∴，即AM＝6BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．
故答案为：60．
【变式3-2】太原市某学 ( http: / / www.21cnjy.com )校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为 2.3m ．
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【解题思路】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．21·世纪*教育网
【解答过程】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴，
∴DG＝1.8m，
∵OE＝0.5m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5＝2.3m．
故答案是：2.3m．
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【变式3-3】（2020秋 秦都区期末）随着 ( http: / / www.21cnjy.com )生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）www-2-1-cnjy-com
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【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．
【解答过程】解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，
∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°，
又∵∠COA′＝∠DOB′，
∴△OCA′∽△ODB′．
∴，
即，
∴，
【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】
【例4】（2021 市中区一模）如图，李 ( http: / / www.21cnjy.com )老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（ ）m．www.21-cn-jy.com
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A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【解题思路】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．2-1-c-n-j-y
【解答过程】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即，
解得：BC＝78（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），
即树高79.8m，
故选：C．
【变式4-1】（2021 韩城市 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．21教育名师原创作品
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【解题思路】根据已知条件推出△PCQ ( http: / / www.21cnjy.com )∽△ACB，求得QC＝1.2PQ，又根据相似三角形的性质得到，于是得到答案．
【解答过程】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴QC＝1.2PQ，
∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，
即，
∴PQ＝47，
答：真身宝塔的高度PQ为47米．
【变式4-2】（2021 雁塔区校级二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
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【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．
【解答过程】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴，
即，
∴CD，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
【变式4-3】（2021 凤 ( http: / / www.21cnjy.com )翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
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【解题思路】过点D作DP⊥AB于点P， ( http: / / www.21cnjy.com )交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．21*cnjy*com
【解答过程】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．【出处：21教育名师】
∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，
∴△DEN∽△DBP，
∴，
∴．
∵∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，
∴△GMK∽△BMQ
∴．
∴．
∴AB＝8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
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【题型5 相似三角形的应用（河宽问题）】
【例5】（2021 津南区模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？
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【解题思路】先证明△ABD∽△ECD，利用对应边成比例可求出AB的长度．
【解答过程】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
将BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：，
解得：AB＝150．
答：小河的宽是150m．
【变式5-1】如图，为了估算河的宽度，我们可 ( http: / / www.21cnjy.com )以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？
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【解题思路】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．
【解答过程】解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，即，
∴AB＝210．
答：小河的宽度是210米．
【变式5-2】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com )崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
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【解题思路】根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．
【解答过程】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故，
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴，
解得：PQ＝90（m），
∴河的宽度为90米．
【变式5-3】（2020秋 安国市期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．
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【解题思路】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答过程】解：设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：ED，
∴x：（x+5）＝1：1.5，
解得x＝10，∴AB＝10，
即小河的宽度为10米．
【题型6 相似三角形的应用（内接矩形问题）】
【例6】（2020秋 大理市期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
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A．16 B．24 C．30 D．36
【解题思路】根据正方形的对边 ( http: / / www.21cnjy.com )平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．21世纪教育网版权所有
【解答过程】解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
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【变式6-1】（2020秋 阳山县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
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A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm
【解题思路】设矩形的宽EF＝xmm，则长E ( http: / / www.21cnjy.com )H＝2xmm，由矩形的性质得到EH∥BC，EF∥AD，推出△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答过程】解：设矩形的宽EF＝xmm，则长EH＝2xmm，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥BC，EF∥AD，
∴△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，
∴，，
∴，，
∵BE+AE＝AB，
∴1，
解得：x＝18，
∴EF＝18mm，EH＝36mm，
故选：A．
【变式6-2】（2021 唐山开 ( http: / / www.21cnjy.com )学）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
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【解题思路】方案①：设正方形的边长为xcm，然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于 ( http: / / www.21cnjy.com )K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8﹣y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答过程】解：设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得x，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，交DE于K，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴．
∵AC10．
∴S△ABCBH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝4.8﹣y．
∴．
解得y．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
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【变式6-3】 （2021春 东平县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？
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【解题思路】过点A作AN⊥BC交HF于 ( http: / / www.21cnjy.com )点M，交BC于点N，用勾股定理求出BC的长，再证明△ABN∽△CBA，从而求出AN；然后证明△AHF∽△ABC，设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x，根据相似列比例式求解即可．
【解答过程】解：过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N．
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∵∠BAC＝90°，
∴∠BNA＝∠BAC，BC20（cm），
又∵∠B＝∠B，
∴△ABN∽△CBA，
∴
∴AN（cm），
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥HD，
∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C．
∴△AHF∽△ABC．
∴．
设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x．
．
解得x．
∴2x．
答：截得的矩形的长为cm，宽为cm．
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专题4.5 相似三角形的应用-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 相似三角形的应用】
在实际生活中，我们面对不能 ( http: / / www.21cnjy.com )直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。21世纪教育网版权所有
【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】
【例1】（2020秋 曾都 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【变式1-1】（2021 广西 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（ ）21cnjy.com
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A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里
【变式1-2】（2021春 苏州期末） ( http: / / www.21cnjy.com )我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们21·cn·jy·com
可以解释为：如图，矩形B ( http: / / www.21cnjy.com )CDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 尺．www.21-cn-jy.com
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【变式1-3】（2020 芗城区校级一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．21*cnjy*com
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【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】
【例2】（2021 津南区模拟）如图，身高 ( http: / / www.21cnjy.com )1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米．
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【变式2-1】（2020秋 碑林区校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
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【变式2-2】（2020 秦皇岛一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯AD下的影长；
②计算AD的高．
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【变式2-3】如图，小华在晚上由 ( http: / / www.21cnjy.com )路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．www-2-1-cnjy-com
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
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【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】
【例3】（2020秋 汉寿 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．
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【变式3-1】．（2020 南安市 ( http: / / www.21cnjy.com )校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．21·世纪*教育网
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【变式3-2】太原市某学校门 ( http: / / www.21cnjy.com )口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【变式3-3】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）
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【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】
【例4】（2021 市中区一模）如图，李 ( http: / / www.21cnjy.com )老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（ ）m．【版权所有：21教育】
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A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【变式4-1】（2021 韩城市模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．2·1·c·n·j·y
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【变式4-2】（2021 雁塔区校级二模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
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【变式4-3】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
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【题型5 相似三角形的应用（河宽问题）】
【例5】（2021 津南区模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？
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【变式5-1】如图，为了估算河的宽度 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？
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【变式5-2】（2021 崆峒区一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．21*cnjy*com
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【变式5-3】（2020秋 安国 ( http: / / www.21cnjy.com )市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．【来源：21·世纪·教育·网】
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【题型6 相似三角形的应用（内接矩形问题）】
【例6】（2020秋 大理市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．16 B．24 C．30 D．36
【变式6-1】（2020秋 阳山县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
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A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm
【变式6-2】（2021 唐山开 ( http: / / www.21cnjy.com )学）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【出处：21教育名师】
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【变式6-3】 （2021春 ( http: / / www.21cnjy.com ) 东平县期末）如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？21教育名师原创作品
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