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专题4.6 图形的位似变换-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【题型1 图形的位似变换（放大与缩小问题）】
【例1】（2021 北碚区校级模拟）在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．（，1） B．（﹣2，4）
C．（，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【变式1-1】已知△ABC在直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，那么A′的坐标为 ．
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【变式1-2】（2020 成华 ( http: / / www.21cnjy.com )区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（ ）
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A．1 B．2 C． D．
【变式1-3】（2020秋 龙沙区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B（8，0），点C在线段AB上，AC＝2，若以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的，得到线段A′B′，则点C的对应点C′坐标为 ．www-2-1-cnjy-com
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【题型2 图形的位似变换（求点的坐标问题）】
【例2】（2021 阳东区模拟）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
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A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【变式2-1】（2021春 滦州市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）
【变式2-2】（2021 ( http: / / www.21cnjy.com ) 渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（ ）
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A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）
【变式2-3】（2021春 苏州期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（ ）
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A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（，） D．（，2）
【题型3 图形的位似变换（求位似中心问题）】
【例3】（2021 河北模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（ ）21cnjy.com
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A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）
【变式3-1】如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD分别在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是 ．21·cn·jy·com
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【变式3-2】一个正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )AOBC各顶点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原点为位似中心，将这个正方形的边长缩小为原来的，则新正方形的中心的坐标为 ．www.21-cn-jy.com
【变式3-3】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )滨海县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′的顶点的横、纵坐标都是整数．若B（5，2），△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 .2·1·c·n·j·y
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【题型4 图形的位似变换（求面积问题）】
【例4】（2021 北碚区校级模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，点A的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，将△ABC位似缩小后得到△A′B′C′．若点A′的坐标为（1，2），△A′B′C′的面积为1，则△ABC的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．3 C．4 D．9
【变式4-1】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 福鼎市校级月考）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为（ ）
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A． B． C． D．
【变式4-2】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )广陵区校级期末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-3】如图，点O为四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为 ．
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【题型5 位似变换作图（求点坐标问题）】
【例5】（2021 肇源县开学）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1）（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
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【变式5-1】（2020秋 新 ( http: / / www.21cnjy.com )田县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，2），C（4，1），点E坐标为（1，1）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位长度的△A1B1C1；
（2）画出和△ABC以点E为位似中心的位似图△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比为2：1，且位于点E的两侧．21*cnjy*com
（3）直接写出A2、B2、C2三个点的坐标．
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【变式5-2】（2021春 垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，1），C（1，1）．21教育名师原创作品
请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△A1B1C1放大后的图形△A2B2C2，并直接写出A2点的坐标．
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【变式5-3】（2021 顺城区一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣1，1），请解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）在网格内将△ABC沿x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移1个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O（0，0）为位似中心，在第 ( http: / / www.21cnjy.com )一象限内将△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
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【题型6 位似变换作图（求面积问题）】
【例6】（2021春 朝阳区校级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．【版权所有：21教育】
（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；21教育网
（3）连结MD、ND，四边形AMND的面积是 ．
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【变式6-1】（2020秋 连南县期末）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（2）若图中每个小方格的面积为1，请直接写出△A2B2C2的面积．
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【变式6-2】（2020秋 三水区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'．21*cnjy*com
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA'B'的面积．
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【变式6-3】 （2021 青神县模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．【出处：21教育名师】
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．
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专题4.6 图形的位似变换-重难点题型
【浙教版】
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【知识点1 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心21·cn·jy·com
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【题型1 图形的位似变换（放大与缩小问题）】
【例1】（2021 北碚区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）21*cnjy*com
A．（，1） B．（﹣2，4）
C．（，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【解题思路】直接利用位似图形的性质，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．21·世纪*教育网
【解答过程】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，【出处：21教育名师】
∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
【变式1-1】已知△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，那么A′的坐标为 （﹣8，4）或（8，﹣4） ．
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【解题思路】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答过程】解：由平面直角坐标系可知，点A的坐标为（﹣4，2），
以O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，
则A′的坐标为（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），
即（﹣8，4）或（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
【变式1-2】（2020 成华区模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（ ）
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A．1 B．2 C． D．
【解题思路】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【解答过程】解：∵点A（4，2），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，
∴C（2，1），则OC的长度．
故选：C．
【变式1-3】（2020秋 龙沙区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B（8，0），点C在线段AB上，AC＝2，若以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的，得到线段A′B′，则点C的对应点C′坐标为 （1，3）或（﹣1，﹣3） ．21世纪教育网版权所有
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【解题思路】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C'点坐标．
【解答过程】解：∵点A（0，8），点B（8，0），点C在线段AB上，AC＝2，
∴AB＝8，
∴点C坐标为（2，6），
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段A′B′，
∴点C'的横坐标和纵坐标都变为C点的横坐标和纵坐标的一半，
∴点C'的坐标为（1，3）．
在第三象限时，点C'的坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（1，3）或（﹣1，﹣3）．
【题型2 图形的位似变换（求点的坐标问题）】
【例2】（2021 阳东区模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
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A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【解题思路】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得﹣2 x＝4，﹣2 y＝﹣2，由此求得点B的坐标．
【解答过程】解：设点B的坐标为（x，y），
因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2 x＝4，﹣2 y＝﹣2，
即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
【变式2-1】（2021春 滦州市期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）
【解题思路】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
【解答过程】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，【来源：21cnj*y.co*m】
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选：D．
【变式2-2】（2021 渝中区校级三模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（ ）
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A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）
【解题思路】根据位似变换的性质得到△OBC∽△OEF，且，根据相似三角形的性质求出BE，得到答案．21*cnjy*com
【解答过程】解：∵正方形ABCD中的点D的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2．
∴OB＝3
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，即相似比为1：3，
∴△OBC∽△OEF，且，
∴，
∴，即
解得，BE＝6，
∴点G的坐标为（3，6），
故选：A．
【变式2-3】（2021春 苏州期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（ ）
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A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（，） D．（，2）
【解题思路】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．利用相似三角形的性质求出AE，OE，可得结论．
【解答过程】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．
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∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）
∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，
∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，
∵△ABC∽△A′B′C，
∴，
∴AE，
∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，
∴△AEC∽△A′FC，
∴，
∴EC，
∴OE＝EC+OC，
∴A（，），
故选：C．
【题型3 图形的位似变换（求位似中心问题）】
【例3】（2021 河北模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）
【解题思路】两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．
【解答过程】解：∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
设直线CF解析式为y＝kx+b，
将C（4，2），F（1，1）代入，
得，
解得 ，
即yx，
令y＝0得x＝﹣2，
∴O′坐标是（﹣2，0）；
故选：C．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD分别在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是 （﹣4，0）或（2，） ．
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【解题思路】直接利用位似图形的性质结合比例式得出位似中心的坐标即可．
【解答过程】解：连接FC并延长交x轴于点M，
由题意可得：△MOC∽△MAF，
则，
∴，
解得：MO＝4，
故M点的坐标为：（﹣4，0）．
连接DC，OE，交点为N，
可得△CNO∽△END，
则，
解得：AN，
故N点坐标为：（2，），
综上所述：正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是（﹣4，0）或（2，）．
故答案为：（﹣4，0）或（2，）．
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【变式3-2】一个正方形AOBC各 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原点为位似中心，将这个正方形的边长缩小为原来的，则新正方形的中心的坐标为 （，）或（，） ．
【解题思路】分点A、B、C的对应点在第一象限和第三象限两种情况，根据位似变换和正方形的性质解答可得．
【解答过程】解：如图，
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①当点A、B、C的对应点在第一象限时，
由位似比为1：2知点A′（0，）、B′（，0）、C′（，），
∴该正方形的中心点的P的坐标为（，）；
②当点A、B、C的对应点在第三象限时，
由位似比为1：2知点A″（0，）、B″（，0）、C″（，），
∴此时新正方形的中心点Q的坐标为（，），
故答案为：（，）或（，）．
【变式3-3】（2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com )滨海县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′的顶点的横、纵坐标都是整数．若B（5，2），△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 （8，0） ．
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【解题思路】根据位似图形的主要特征：每对位似对应点与位似中心共线画图解答．
【解答过程】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），
所以位似中心的坐标为（8，0）．
故答案为：（8，0）
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【题型4 图形的位似变换（求面积问题）】
【例4】（2021 北碚区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级模拟）如图，在△ABC中，点A的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，将△ABC位似缩小后得到△A′B′C′．若点A′的坐标为（1，2），△A′B′C′的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．9
【解题思路】利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．
【解答过程】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A（3，6），A′（1，2），2-1-c-n-j-y
∴△ABC与△A′B′C′的相似比等于：3：1．
∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为9：1．
∵△A′B′C′的面积为1，
∴△ABC的面积为9．
故选：D．
【变式4-1】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 福鼎市校级月考）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为（ ）
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A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答过程】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，
∴，
则（）2＝（）2，
故选：D．
【变式4-2】（2020秋 广陵区校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）【版权所有：21教育】
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A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】根据点D，E，F分别是O ( http: / / www.21cnjy.com )A，OB，OC的中点知，由位似图形性质得（）2，即，据此可得答案．
【解答过程】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴（）2，即，
解得：S△DEF＝2，
故选：A．
【变式4-3】如图，点O为四边形ABCD与 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为 45 ．
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【解题思路】直接利用位似图形得出两图形的相似比和面积比，进而利用四边形ABCD的面积为5，求出四边形A1B1C1D1的面积．21cnjy.com
【解答过程】解：∵点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1＝3OA，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为：1：3，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为：1：9，
∵四边形ABCD的面积为5，
∴四边形A1B1C1D1的面积为：5×9＝45．
故答案为：45．
【题型5 位似变换作图（求点坐标问题）】
【例5】（2021 肇源县开学）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1）（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
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【解题思路】（1）利用位似变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可．
（2）根据B′，C′的位置，写出坐标即可．
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答过程】解：（1）如图，△OB′C′即为所求．
（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）．
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（3）M′（﹣2x，﹣2y）．
【变式5-1】（2020秋 新田县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，2），C（4，1），点E坐标为（1，1）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位长度的△A1B1C1；
（2）画出和△ABC以点E为位似中心的位似图△A2B2C2，△A2B2C2和△ABC位似比为2：1，且位于点E的两侧．2·1·c·n·j·y
（3）直接写出A2、B2、C2三个点的坐标．
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【解题思路】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据点的位置确定坐标即可．
【解答过程】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
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（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）由图可知：A2（﹣3，﹣3），B2（1，﹣1），C2（﹣5，1）．
【变式5-2】（2021春 垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，1），C（1，1）．21教育网
请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△A1B1C1放大后的图形△A2B2C2，并直接写出A2点的坐标．
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【解题思路】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答过程】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（4，﹣1）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（﹣2，6）．
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【变式5-3】（2021 顺城区一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣1，1），请解答下列问题：
（1）在网格内将△ABC沿x轴方向向右平移3 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，再沿y轴方向向下平移1个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O（0，0）为位似中心，在第一 ( http: / / www.21cnjy.com )象限内将△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
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【解题思路】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答过程】解：（1）如图，△A1B1C1如图所示，A1（1，2），B1（2，1），C1（2，0）．
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（2）如图，△A2B2C2如图所示，A2（2，4），B2（4，2），C2（4，0）．
【题型6 位似变换作图（求面积问题）】
【例6】（2021春 朝阳区校级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；21教育名师原创作品
（3）连结MD、ND，四边形AMND的面积是 ．
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【解题思路】（1）根据三角形中线的定义作出图形即可．
（2）在BC上取一点N，使得NB＝2，取格点T，连接NT交AB于M，△BMN即为所求．
（3）根据S四边形AMND＝S△ABC﹣S△BMN﹣S△ADC，求解即可．
【解答过程】解：（1）如图，线段AD即为所求．
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（2）如图，△BMN即为所求．
（3）S四边形AMND＝S△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC﹣S△BMN﹣S△ADC6×43×42．
故答案为：．
【变式6-1】（2020秋 连南县期末）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（2）若图中每个小方格的面积为1，请直接写出△A2B2C2的面积．
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【解题思路】（1）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（2）利用分割法求出三角形的面积即可．
【解答过程】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求作．C2（2，10）．
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（2）△A2B2C2的面积＝6×82×62×84×6＝22．
【变式6-2】（2020秋 三水区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA'B'的面积．
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【解题思路】（1）根据原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，即可在第一象限内画出△OA'B'；
（2）根据网格利用割补法即可求△OA'B'的面积．
【解答过程】解：（1）如图，△OA'B'即为所求；
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（2）△OA'B'的面积为：4×62×42×42×6＝10．
【变式6-3】 （2021 青神 ( http: / / www.21cnjy.com )县模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．
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【解题思路】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质即可画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）根据网格即可求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．
【解答过程】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
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（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积为：
（2+4）×3＝9．
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