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3.4 简单几何体的表面展开图 （3）
课题 3.4 简单几何体的表面展开图 （3） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1．了解圆柱是怎样的一种旋转体．2．了解圆柱的表面展开图．会画圆柱的表面展开图．3．会计算圆柱的侧面积和全面积．
重点 圆柱的表面展开图的有关概念和画法．
难点 圆柱母线的概念比较抽象，侧面展开图不容易想象，这些是本节教学中的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题如图，AB，CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆．AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线．如果沿圆柱的任意一条母线（MN）把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图，如图（2）．这个侧面展开图是一个矩形（矩形ABCD）．这个矩形的一条边（AD）等于圆柱的母线长，也就等于圆柱的高，另一条与它相邻的边（AB）等于底面圆的周长．一般地，一个底面半径为r．母线长为l的圆柱的表面展开图如图（3）所示．（1）（2）（3）要学生理解圆柱的表面展开图还得从圆柱是怎样一种旋转体说起．利用图（1），讲清圆柱的两个底面是由矩形ABCD的哪两条边旋转一周而成的，圆柱的侧面又是由矩形ABCD的哪条边旋转一周而成的，什么是圆柱的母线，它和圆柱的高有什么关系等．把这些关系搞清楚了，圆柱的表面展开图，以及展开图的尺寸大小与底面半径r和母线长l的关系就容易理解．讲侧面展开图时最好还是利用模型展示． 思考：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ 思考自议掌握圆柱侧面展开图，并会求圆柱的侧面积和全面积． 圆柱的表面展开图，以及展开图的尺寸大小与底面半径r和母线长l的关系就容易理解．讲侧面展开图时最好还是利用模型展示．
讲授新课 提炼概念圆柱的侧面积与全面积侧面展开图：长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱母线长的长方形．侧面积＝展开图长方形的面积；全面积＝侧面积＋底面积．三、典例精讲【例3】如图为一个圆柱的三视图．以相同的比例画出它的表面展开图，并计算它的侧面积和全面积（结果保留π）．分析：由图知．圆柱底面圆的半径r为1cm．母线长l为2.5cm．因此圆柱的表面展开图中两个底面应画成半径为1cm的圆，侧面展开图应画成长为2πr＝2π×1≈6.28（cm）．宽为2.5cm的长方形．解：所求圆柱的表面展开图如图．S侧＝2πrl＝2×π×1×2.5＝5π（cm2）；S全＝2πr2＋2πrl＝2π×12＋2π×1×2.5＝7π（cm2）．答：这个圆柱的侧面积为5πcm2，全面积为7πcm2．理解了圆柱的表面展开图的一般规律后，解例3学生不会有困难，讲解时可把重点放在尺寸的确定上，尤其是侧面展开图的一条边长为2πr，画图时需先算出近似值．本例还给出圆柱的侧面积和全面积的计算公式，这些公式不必要求学生记住，因为它们很容易从展开图的成因中推得． 掌握圆柱的表面展开图的有关概念和画法． 圆柱的侧面积和全面积的计算公式，这些公式不必要求学生记住，因为它们很容易从展开图的成因中推得．
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一条路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是( )A2.一个几何体的三种视图如图所示，这个几何体的表面积是_________(结果保留 π)．100 π3.请阅读下列材料：问题：如图，圆柱的底面半径为1 dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5 dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图①所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示．(1)设路线1的长度为l1，则l12＝49.设路线2的长度为l2，则l22＝25＋π2.所以选择路线______(填“1”或“2”)较短．(2)小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5 dm，高AB为1 dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1，l12＝121.路线2，l22＝1＋25 π2.所以选择路线______(填“1”或“2”)较短．(3)请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2 dm，高为h dm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短(结果保留π)．解：(1)∵49＞25＋π2，∴选择路线2较短；(2)∵l12＝121，l22＝1＋25 π2，∵l12－l22<0，∴l12时，l22l12，选择路线1.4.如图，一只蚂蚁在圆柱的底面A处，准备沿着圆柱的侧面爬到B处，它怎样爬行路线最近？先说说你的解题思路，然后给出解答，并算出最近路线的长（精确到0.01 cm）．解：画出圆柱的侧面展开图如图，AC＝2π，BC＝6．根据两点之间线段最短，蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路成长应是展开图上AB两点之间的距离AB，AB＝≈8.64（cm）．答：最近路线的长为8.64cm．
课堂小结 圆柱的侧面积与全面积侧面展开图：长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱母线长的长方形．侧面积＝展开图长方形的面积；全面积＝侧面积＋底面积．
A
B
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浙教版 九年级下
3.4 简单几何体的表面展开图 （3）
新知导入
情境引入
合作学习
以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转
一周而成的面所围成的几何体是？
圆锥体
在小学我们已学过圆锥，
哪位同学能说出圆锥有那些特征？
O
S
底面
侧面
轴
母线
圆锥的定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
定义：
圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条
直角边旋转一周所成的图形，如图所示．
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．
无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线．
另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面．
问题：圆锥的底面半径、母线及其高的位置关系如图所示，
它们存在怎样的数量关系呢？
解：记圆锥底面半径为r，母线为l，高为h，
则r2＋h2＝l2．
圆锥的侧面积和底面积的和叫做圆锥的
全面积（或表面积）．
即为S圆椎表＝S圆椎侧＋S圆椎底．
如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则
l2=h2+r2
S侧＝πrl；
S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．
若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，则
θ＝ ·360°.
将圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆锥的侧面展开图为扇形，其半径等于母线长，弧长是底面圆的周长．
圆锥的表面展开图
提炼概念
1.弧长的计算公式
2.扇形面积计算公式
典例精讲
新知讲解
例4 圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高38.7cm.
（1）求这个烟囱帽的面积.
（2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图.
解：
答：烟囱帽的面积约
归纳概念
圆锥与扇形的关系
* 圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等
* 圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等
课堂练习
1．如图所示，圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2.
【解析】 由圆锥的侧面积公式得S侧＝ πrl＝ π×4×6＝24 π(cm2)．
24 π
A．9 π B．18 π
C．27 π D．39 π
B
3.亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为12 cm，底面圆的半径为5 cm，那么，这个圆锥模型的侧面展开图中扇形铁皮的圆心角度数应为 ( )
A．90° B．120°
C．150° D．240°
C
A
B
C
4. 如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少
A
B
C
4
1
B’
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
∴ △ABB’是直角三角形
n=90
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∴ 2π=
4nπ
180
∴ BB’=
答:蚂蚁爬行的最短路线为 .
5.一想：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗？
（2）以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？
（3）若AB＝5，BC＝4，你能求出题（2）中几何体的表面积吗？
解：（1）不相同．
（2）两个圆锥的组合体．
课堂总结
1．圆锥的相关概念
侧面：圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，所示，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．
母线：无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线．
底面：另一条直角边旋转而成的面，叫做圆锥的底面．
2. 在有关圆锥的计算中，关键抓住以下几点：
(1)圆锥的侧面展开图是扇形；
(2)扇形的半径是圆锥的母线；
(3)扇形的弧长是圆锥底面圆的周长．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.4 简单几何体的表面展开图 （3）
课题 3.4 简单几何体的表面展开图 （3） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1．了解圆柱是怎样的一种旋转体．2．了解圆柱的表面展开图．会画圆柱的表面展开图．3．会计算圆柱的侧面积和全面积．
重点 圆柱的表面展开图的有关概念和画法．
难点 圆柱母线的概念比较抽象，侧面展开图不容易想象，这些是本节教学中的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】如图，AB，CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆．AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的什么？如果沿圆柱的任意一条母线（MN）把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图，如图（2）．这个侧面展开图是一个矩形（矩形ABCD）．这个矩形的一条边（AD）等于圆柱的母线长，也就等于圆柱的高，另一条与它相邻的边（AB）等于底面圆的周长．一般地，一个底面半径为r．母线长为l的圆柱的表面展开图如图（3）所示．请画出来：（1）（2）（3）
新知讲解 提炼概念圆柱的侧面积与全面积侧面展开图：长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱母线长的长方形．侧面积＝展开图长方形的面积；全面积＝侧面积＋底面积． 典例精讲 【例3】如图为一个圆柱的三视图．以相同的比例画出它的表面展开图，并计算它的侧面积和全面积（结果保留π）．
课堂练习 巩固训练 1.如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一条路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是( )2.一个几何体的三种视图如图所示，这个几何体的表面积是_________(结果保留 π)．3.请阅读下列材料：问题：如图，圆柱的底面半径为1 dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5 dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图①所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示．(1)设路线1的长度为l1，则l12＝49.设路线2的长度为l2，则l22＝25＋π2.所以选择路线______(填“1”或“2”)较短．(2)小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5 dm，高AB为1 dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1，l12＝121.路线2，l22＝1＋25 π2.所以选择路线______(填“1”或“2”)较短．(3)请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2 dm，高为h dm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短(结果保留π)．4.如图，一只蚂蚁在圆柱的底面A处，准备沿着圆柱的侧面爬到B处，它怎样爬行路线最近？先说说你的解题思路，然后给出解答，并算出最近路线的长（精确到0.01 cm）．答案引入思考 利用图（1），讲清圆柱的两个底面是由矩形ABCD的哪两条边旋转一周而成的，圆柱的侧面又是由矩形ABCD的哪条边旋转一周而成的，什么是圆柱的母线，它和圆柱的高有什么关系等．把这些关系搞清楚了，圆柱的表面展开图，以及展开图的尺寸大小与底面半径r和母线长l的关系就容易理解．讲侧面展开图时最好还是利用模型展示．提炼概念典例精讲 例3 解：所求圆柱的表面展开图如图．S侧＝2πrl＝2×π×1×2.5＝5π（cm2）；S全＝2πr2＋2πrl＝2π×12＋2π×1×2.5＝7π（cm2）．答：这个圆柱的侧面积为5πcm2，全面积为7πcm2．巩固训练1.A100 π3.解：(1)∵49＞25＋π2，∴选择路线2较短；(2)∵l12＝121，l22＝1＋25 π2，∵l12－l22<0，∴l12时，l22l12，选择路线1.4.解：画出圆柱的侧面展开图如图，AC＝2π，BC＝6．根据两点之间线段最短，蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路成长应是展开图上AB两点之间的距离AB，AB＝≈8.64（cm）．答：最近路线的长为8.64cm．
课堂小结 圆柱的侧面积与全面积侧面展开图：长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱母线长的长方形．侧面积＝展开图长方形的面积；全面积＝侧面积＋底面积．
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