4.4两个相似三角形的判定同步测评 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.4两个相似三角形的判定》同步测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．
3．在⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条直径，点E在上，CF⊥AE于点F．若点F三等分弦AE，⊙O的直径为12，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（　　）
A．9 B．12 C．24 D．27
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，那么△DEF的周长与△BAF的周长之比为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．1：3 D．3：2
7．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 （　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（　　）
A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4
10．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为　 　．
12．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC边上若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则矩形EFGH的面积为　 　．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若S△ADE＝2，S△CDE＝3，则S△ADE：S△ABC＝　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为　 　．
15．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE＝2，则的值为　 　．
16．如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝15，则AF为　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，＝，求FG的长．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AB、BC上的点，且BD AB＝BE BC．求证：DE⊥AB．
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC＝∠CBP；
（2）求证：PB2＝PC PA．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴＝，
∴＝，故A选项正确；
∵DE∥BC，
∴＝，故B选项错误；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，＝，
∴≠，故C选项错误；
而＝不成立，故D选项错误；
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC：BD＝3：4，
∴AO：OB＝3：4，
设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，
∵AB＝5，
∴5x＝5，x＝1，
∴AC＝6，BD＝8，
S菱形ABCD＝，
∴，
AE＝，
故选：B．
3．解：如图，连接AC，EC．设AE交OC于点K，设EF＝a．
∵AF＝2EF，EF＝a，
∴AF＝2a，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠CEA＝∠AOC＝45°，
∵CF⊥EF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠FCE＝∠FEC＝45°，
∴CF＝EF＝a，
∴AC＝＝a，
∵OA＝OC＝6，
∴AC＝6，
∴a＝6，
∴a＝
∴CF＝
故选：D．
4．解：∵S△ADE：S△BDE＝1：2，
∴AD：BD＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝27，
故选：D．
5．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A错误，C正确，D错误．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴C△DFE：C△BFA＝3：4．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
8．解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC AH＝6，
∴AH＝＝3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即正方形DEFG的边长为．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴S△ABE：S△ECF＝AB2：CE2，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝AB
∴＝＝，即S△ABE：S△ECF＝4：1
故选：B．
10．解：∵BE⊥AC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠ACD＝∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD＝∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝DC，
∴BM＝AM，
∴AN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF＝DA，故B选项正确；
设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，
由△ADC∽△ECB，可得＝，
即b＝a，
∴，
∴＝，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE：AB＝1：2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，故选D选项正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝AD＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10．
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝．
又∵E是边AB的中点，
∴CD＝AB＝2AE，
∴＝2，
∴CF＝2AF．
∵AC＝AF+CD＝10，
∴CF＝AC＝．
故答案为：．
12．解：∵EF⊥FG，AD⊥BC
∴AD∥EF
∴＝，
∵EH∥BC
∴＝，
∴+＝+，且BC＝3，AD＝2，EF＝EH．
∴＝1＝+
∴EH＝，
则EF＝1
∴矩形EFGH的面积＝EF×EH＝，
故答案为：．
13．解：∵△ADE的边AE上的高和△CDE的边CE上的高相等，
又∵S△ADE＝2，S△CDE＝3，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝．
故答案为：4：25．
14．解：由射影定理得，CD2＝AD BD＝18，
解得，CD＝3，
故答案为：3．
15．解：∵DE＝2，DC＝6，
∴EC＝DC﹣DE＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
16．解：在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝15，
∴AF＝×15＝6．
故答案为6．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．（1）证明：连接OG，
∵弦CD⊥AB于点H，
∴∠AHK＝90°，
∴∠HKA+∠KAH＝90°，
∵EG＝EK，
∴∠EGK＝∠EKG，
∵∠HKA＝∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE＝90°，
∵AO＝GO，
∴∠OAG＝∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE＝90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，
∵CO＝13，CH＝12，
∴HO＝5，
∴AH＝8，
∵＝，
∴OF＝15，
∴FG＝＝＝2．
18．证明：∵BD AB＝BE BC，
∴＝，又∠DBE＝∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BDE＝∠C＝90°，即DE⊥AB．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB＝∠ABP＝90°，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠CBP＝90°，
∴∠BAC＝∠CBP；
（2）∵∠PCB＝∠ABP＝90°，
∠P＝∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴＝，
∴PB2＝PC PA；