2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.5相似三角形的性质及应用同步测评(word版含答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.5相似三角形的性质及应用》同步测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（　　）
A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米
2．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（　　）平方米．
A．3 B．9 C．12 D．24
3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
4．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
5．小宸同学的身高为1.8m，测得他站立在阳光下的影长为0.9m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.2m，那么小宸举起的手臂超出头顶的高度为（　　）
A．0.3m B．0.5m C．0.6m D．2.1m
6．某一时刻，一根4米长的旗杆的影子长6米，同一时刻一座建筑物的影子长36米，则这座建筑物的高度为（　　）米．
A．22 B．20 C．26 D．24
7．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
8．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为l2cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
9．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
10．王大爷家有一块梯形形状土地，如图，AD∥BC，对角线AD，BC相交于点O，王大爷量得AD长3米，BC长9米，王大爷准备在△AOD处种大白菜，那么王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为（　　）
A．1：14 B．3：14 C．1：16 D．3：16
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为　 　步．
12．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为　 　m．
13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为　 　步．
14．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是　 　．
15．由一块底边长3米，高2米的等腰三角形木板中，锯下一块面积最大的正方形，要求正方形木板有一边与三角形木板的底边重合，则这块正方形木板的面积是　 　平方米．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
18．已知如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．
19．如图，在5×5的正方形网格中有△ABC，
（1）试在网格中画一个与△ABC相似且面积最大的△DEF，使它的顶点都落在小正方形的顶点上，这样的三角形能画　 　个．
（2）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有　 　个（相似比相同时只算1个）？
（3）求出（1）中△DEF的最大面积．
20．如图，小南用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知三角形的两条直角边DE＝0.6m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
21．如图，操场边的路灯照在水平放置的单杠AB上，在地面上留下影子CD，经测量得知AB＝1.8米，CD＝3.24米，单杠高1.6米，试求路灯P的高度．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，
解得：h＝16米．
故选：C．
2．解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠MAB＝∠BCE＝90°，∠M+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBE＝90°，
∴∠M＝∠CBE，
∴△AMB∽△CBE，
∴＝，
∵MB＝6，BE＝4，
∴＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
设CE＝2x，则BC＝3x，在Rt△CBE中，
BE2＝BC2+CE2，即42＝（3x）2+（2x）2，解得x＝，
∴CE＝，AB＝BC＝，AM＝AB＝，
∴S草皮＝S△CBE+S△AMB＝××+××
＝12．
故选：C．
3．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
4．解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB
∴，
设屏幕上的小树高是x，则，
解得x＝18cm．
故选：C．
5．解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：＝，
解得x＝2.4，
2.4﹣1.8＝0.6m，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.6m．
故选：C．
6．解：设建筑物高为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得＝，
∴x＝24，
∴建筑物的高为24米，
故选：D．
7．解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30cm长的作为一边，将50cm长的截成两段，
设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm，ycm，
当30cm长的边对应20cm长的边时，，x＝75（cm），x＞50（cm），不成立；
当30cm长的边对应50cm长的边时，，x＝12（cm），y＝36（cm），x+y＝48cm＜50cm，成立；
当30cm长的边对应60cm长的边时，，x＝10（cm），y＝25（cm），x+y＝35cm＜50cm，成立．
故选：B．
8．解：设这张正方形纸条是第n张．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
解得：n＝6．
故选：C．
9．解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝3，
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5张．
故选：B．
10．解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD＝3，BC＝9，
即AD：BC＝1：3，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：9．
∵△ADO与△ABO等高，
∴S△ADO：S△ABO＝OD：OB＝AD：BC＝1：3，
同理可得：S△ADO：S△DCO＝OA：OC＝AD：BC＝1：3
∴王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为1：16
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴＝，即＝，
∴x＝300，
即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
12．解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
13．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：KC的长为步．
故答案为．
14．解：如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
15．解：设正方形的边长为xm，
∵底长3m、高2m，
∴＝，
解得：x＝，
∴正方形的面积为：m2．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．解：∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH＝GF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴＝，
设EH＝3x，则MD＝EF＝2x，AM＝12﹣2x，
∴＝，
解得：x＝3，
∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30（cm）．
17．解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需＝，即＝，
解得AF＝1或3；
当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需＝，即＝，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3．
（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；
连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．
（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m＝3时，有2个；
当m＝4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
18．解：∵四边形ABCD为正方形，PB⊥BF，
∴∠ABC＝∠PBF＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝∠PBC+∠CBF，
∴∠ABP＝∠CBF，
当△ABP∽△CBM时，则有＝，即＝，
解得BM＝3；
当△ABP∽△MBC时，则有＝，即＝，
解得BM＝；
∴BM＝3或．
19．解：（1）在图中所给的网格中共能画出8个与△ABC相似且面积最大的格点三角形；
（2）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有4个；
（3）△DEF就是所求的最大的相似三角形．
S△ABC＝＝1
根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△DEF＝5
故答案为：（1）8；（2）4．
20．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴＝，
∵DE＝0.6m，EF＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴＝，
∴BC＝4米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝5.5米．
答：树高5.5米．
21．解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵AE∥PG，
∴△CAE∽△CPG，
∴＝，即＝，
∴PG＝3.6（m）．
答：路灯P的高度为3.6m．