初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习

初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·绍兴）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
2．（2021九上·上虞期末）已知二次函数 ，当 时，函数值是－5，则下列关于 ， 的关系式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020九上·孝义期末）已知二次函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的最小值为2 B．该函数的最小值为1
C．该函数的最大值为2 D．该函数的最大值为1
4．（2021·章丘模拟）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而减小，且 时， 的最小值为15，则 的值为（　　）
A．1或-2 B． 或 C．-2 D．1
5．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
6．（2021·深圳模拟）已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2
C．y3< y1< y2 D．y2< y3< y1
7．（2021·河南模拟）在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… －2 0 3 4 ……
y …… －7 m n －7 ……
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
8．（2021·河南模拟）对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（　　）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（ ，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
9．（2021·历城模拟）函数 ，当 时，此函数的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·河西期末）当 时，二次函数 有（　　）
A．最大值-3 B．最小值-3 C．最大值-4 D．最小值-4
11．（2021九上·沙坪坝期末）抛物线 的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
12．（2020九上·越秀期中）如图，二次函数 ( )的图象过点（-2，0），对称轴为直线 ，此二次函数与 轴的另一个交点是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
13．（2021·福建模拟）已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（　　）
A．16 B．15 C．9 D．7
14．（2021·滨江模拟）已知函数 （a为常数），当 时，y随x增大而增大. 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， 总满足 ，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．（2021·陕西模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕原点旋转 后得到抛物线 ，在抛物线 上，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2021·哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
17．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　 　.
18．（2021·福建模拟）二次函数 ，当 时， 的最小值为1，则 的取值范围是　 　.
19．（2021·海陵模拟）已知 ，当 　 　时， 的值最小.
20．（2021·赣州模拟）当 时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为　 　．
21．（2021·姜堰模拟）已知二次函数 （k为常数，且k > 0），当x < m时，y随着x的增大而增大，则满足条件的整数m的值为　 　.（写出一个即可）
22．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　 　.
23．（2021九上·东海期末）已知二次函数 ，当 时，对应的y的整数值有　 　个.
24．（2021·驻马店模拟）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　 　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小.
25．（2021九上·昆山期末）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为9，则 的值为　 　.
三、计算题
26．（2018九上·临河期中）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2，且过(0,1)，求此函数的解析式.
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
四、解答题
28．（2020九上·赵县期中）四边形ABCD的两条对角线AC， BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？
五、综合题
29．（2021·禹州模拟）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”.已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围.
30．（2021九下·兴化月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.
（1）当a＝﹣1，m＝1时.
①求点D的坐标；
②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.
（2）当m＝ 时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ ，函数值是-5，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】把x=1，函数值为5，代入 ， 即可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，
∴二次函数开口向下，当x=2时有最大值1，
故答案为：D．
【分析】把二次函数化成顶点式可求得其最大值，可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴a＜0，
∵当 时， 的最小值为15，
∴当x=1时，y=15，
即 ，解得： ，
∵a＜0，∴a=﹣2．
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a<0，再由 时， 的最小值为15，可得当x=1时，y=15，即可求得a。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2－2ax
+1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x= 2时，y= 7，x=4时，y= 7，
∴抛物线对称轴为直线x= =1，抛物线开口向下，
∴(0，m)与(2，m)是对称点，
∴当x>1时，抛物线为减函数，x<1时，抛物线为增函数，
∴(2，m)与(3，n)在抛物线对称轴右侧，且2<3，
则m>n.
故答案为：A.
【分析】首先由表格中的数据求出抛物线的对称轴，得到（0，m）与（2，m）为对称点，然后判断出函数的增减性，由增减性可确定出m与n的大小关系.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵-1<0，
∴y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝ =﹣2，图象开口向下，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；故A选项不正确；
∵﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
∴当﹣5＜x＜1时，y＞0；故B选项不正确；
∵-2-(﹣4)>﹣ -(﹣2)，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；故C选项正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9，故D选项不正确.
故答案为：C.
【分析】首先求出二次函数的对称轴，然后判断出单调性，据此可判断选项A；求出二次函数所对应的一元二次方程的两根，然后根据单调性可判断选项B；根据二次函数的单调性可判断选项C；由于二次函数开口向下，故在对称轴处取得最大值，据此可判断D.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时， 得 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得当x=2时，函数取得最大值1，再求出函数值取最小值y=-3时x的值，根据抛物线开口向下及增减性即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
∴抛物线的对称轴为：x=1,
∵函数开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小值=（2-1）2-4=-3
故答案为：B
【分析】根据二次函数y=（x-1）2-4，可以得到当x＞1时，该函数有最小值，故可得结论．
11．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由抛物线 可得：对称轴为直线 ；
故答案为：B.
【分析】根据题意及对称轴公式直接进行求解即可.
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为（-2，0），
∴点（-2，0）关于x=1的对称点的坐标为（4，0）．
故答案为：B．
【分析】找出点(-2，0)关于x=1的对称点的坐标即可．
13．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵a+b=3，c﹣3a=-6，
∴b=3﹣a，c=3a-6.
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得：a≤3，
解不等式②得：a≥ ，
∴2≤a≤3.
又∵a是非负数，
∴2≤a≤3，
S=a2+b+c=a2+（3﹣a）+3a-6=a2+2a-3，
∴对称轴为直线a=﹣ =﹣1，
∴a=2时，最小值n=5，
∴a=3时，最大值m=32+2×3-3=12，
∴m﹣n=12﹣5=7.
故答案为：D.
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解.
14．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为 ，
当 时，y随x增大而增大.
∵ ，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
对任意的 和 ， 总满足 ，
∵ ，
∴ 差的最大值是 上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得： ，
在 区间内，
抛物线的最小值为y2= ，
抛物线的最大值为，x=5时，y1= ，
∵ 总满足 ，
∴ - ，
解得 ，
∴实数a的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先判断出二次函数的增减性，由题意可得2a≤4，求解可得a的范围，推出y1-y2差的最大值是2a-1≤x≤5上的最大值与最小值的差，抛物线的最小值为y2=5-4a2，最大值为y130-20a，据此求解即可.
15．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线 的表达式是
∴抛物线 的开口向上，对称轴为 ，
又抛物线 是抛物线 绕原点旋转180°得到的，
∴抛物线 的开口向下，对称轴为 ，
∴抛物线 上，在对称轴 的左边y随x的增大而增大，
又在抛物线 上，当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由抛物线C的解析式可知a=1＞0，根据二次函数的性质可知抛物线的开口向上，对称轴x=,；由旋转的性质可知抛物线 的开口方向和对称轴方程，根据二次函数的性质可得抛物线 ，在对称轴的左边y随x的增大而增大，结合已知可得关于m的方程：≥1，解不等式即可求解.
16．【答案】6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，最大值是6．
故答案为：6．
【分析】直接利用顶点式即可写出最大值．
17．【答案】﹣5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5.
【分析】对于二次函数y=a(x-h)2+k, 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最大值k.
18．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ， ，
∴函数图象开口向下，对称轴 ，
①当 ，即 时，
当 时，y随x的增大而减小，
，
当 时， 或 ，不符合题意；
②当 时，
时，y随x的增大而增大，x=0时， 恒成立，此时 都满足题意；
时， ， ，
即当 时，y在 随x的增大而增大，
∴x=0时， ，符合题意，
则此情况下；
③当 时，即 ，当 时， ，
当 时， ，
∵ 的最小值为1，
∴ ， ，
此时 ，
综上： .
【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可；
19．【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
∵a=1＞0
∴当 时，y有最小值为
故答案为：2.
【分析】将原式进行化简为二次函数形式，然后根据二次函数的性质求最值.
20．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可。
21．【答案】m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：k > 0，-k<0，抛物线开口向下，
抛物线对称轴 ，
在对称轴的左侧，y随x增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m为整数，
∴m=-2（不唯一）.
故m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）.
【分析】由二次函数的对称轴可得抛物线对称轴，根据抛物线开口朝下，且 当x < m时，y随着x的增大而增大可得对称轴≤m，由 k > 0 可得m范围，即可找到符合题意的值.
22．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
23．【答案】4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 ，
，抛物线开口向上，
当 ，y随x的增大而增大，
当x=3时，y= ，
， ， ，
当x=4时， y= ，
y的整数有-5，-6，-7，-8，
对应的y的整数值4个.
故答案为：4.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线开口向上，对称轴直线是x=2，故当 ，y随x的增大而增大，当x=3时，y= ，，，当x=4时， y= ，的整数有-5，-6，-7，-8，可得出结果.
24．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵二次项的系数为3＞0，
∴当x＝ ＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣ 时，w有最小值.
故答案为： .
【分析】设w＝(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2＝nx2-2(x1+x2+…+xn)x+(x12+x22+…+xn2)，然后根据二次函数的最值求解即可.
25．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝ ＝ 1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵ 2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a＋2a＋3a2＋3＝9，
∴3a2＋3a 6＝0，
∴a＝1，或a＝ 2（不合题意舍去）.
故答案为1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由 2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a.
26．【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2， ∴此二次函数的顶点坐标为：(3， 2)， ∴此二次函数为：y=a(x 3)2 2， ∵过(0，1)， ∴9a 2=1， 解得：a= ， ∴此二次函数的解析式为：y= (x 3)2 2= x2 2x+1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据题意即可得到二次函数的顶点，可以设二次函数的顶点式，根据二次函数经过点（0,1）即可得到a的值，求出函数解析式。
27．【答案】解：原式=3（y﹣1）2+8，
∵（y﹣1）2≥0，
∴3（y﹣1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可．
28．【答案】 解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）
∴根据题意可得，y==-x2+5x=-（x-5）2+12.5
根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大
此时AC=BD=5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据题意列出关于四边形面积的函数，根据其面积最大，即可得到答案。
29．【答案】（1）解：∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，
∴16-8a-a-3=-a-3
解得a=2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5
（2）解：∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，
∴x2﹣4x-5=x，
即x2﹣5x-5=0，
解得 ，
∴点N、Q的坐标分别为 、 ，
由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；
∴N、Q位于对称轴两侧，
图象有最低点，坐标为（2，-9），
∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】 (1)、根据 点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，把坐标代入解析式即可求出a的值，从而 求出抛物线的解析式；
(2)根据规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”，可以求出 点N、Q的坐标分别为 、 ，再根据抛物线的对称轴和最值，从而求出 点H的纵坐标的取值范围 .
30．【答案】（1）解：①解：当a=-1，m=1时，
=
∴点D的坐标为
②∵ ，
当y=0时，
解得： ，
∴点A的坐标为
设直线AD的表达式为：
解得
∴直线AD的表达式为：
∵F为线段AD上一动点，
设点F的横坐标为t，
∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P
∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为
∴P ，H（t，0)
∴PH+OH= = =
∴当 时，PH+OH有最大值，
当 时， =
∴F（ ， ）
（2）解：∵m= ，
∴y＝ = = ，
∴D
∵y＝ = = ，
∴E
∵y＝
当y=0时， =0
解得 ，
∴A（-2，0）
设直线AD的表达式为：y=mx+n
解得
∴直线AD的表达式为
当 ， =
∴点E在直线AD上
∴直线AD经过点E.
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①将a=-1，m=1代入抛物线解析式中，然后将其化为顶点时即可得到顶点坐标；
②首先求出抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，设点F的横坐标为t，表示出点P的坐标，然后得到PH+OH，利用二次函数的性质求解即可；
（2）将m的值代入抛物线解析式中，化为顶点式，得到D、E的坐标，求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AD的表达式，然后将点E的横坐标代入求出对应的y的值，进而判断即可.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·绍兴）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答.
2．（2021九上·上虞期末）已知二次函数 ，当 时，函数值是－5，则下列关于 ， 的关系式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ ，函数值是-5，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】把x=1，函数值为5，代入 ， 即可求解.
3．（2020九上·孝义期末）已知二次函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的最小值为2 B．该函数的最小值为1
C．该函数的最大值为2 D．该函数的最大值为1
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，
∴二次函数开口向下，当x=2时有最大值1，
故答案为：D．
【分析】把二次函数化成顶点式可求得其最大值，可得出答案．
4．（2021·章丘模拟）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而减小，且 时， 的最小值为15，则 的值为（　　）
A．1或-2 B． 或 C．-2 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴a＜0，
∵当 时， 的最小值为15，
∴当x=1时，y=15，
即 ，解得： ，
∵a＜0，∴a=﹣2．
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a<0，再由 时， 的最小值为15，可得当x=1时，y=15，即可求得a。
5．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
6．（2021·深圳模拟）已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2
C．y3< y1< y2 D．y2< y3< y1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2－2ax
+1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
7．（2021·河南模拟）在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… －2 0 3 4 ……
y …… －7 m n －7 ……
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x= 2时，y= 7，x=4时，y= 7，
∴抛物线对称轴为直线x= =1，抛物线开口向下，
∴(0，m)与(2，m)是对称点，
∴当x>1时，抛物线为减函数，x<1时，抛物线为增函数，
∴(2，m)与(3，n)在抛物线对称轴右侧，且2<3，
则m>n.
故答案为：A.
【分析】首先由表格中的数据求出抛物线的对称轴，得到（0，m）与（2，m）为对称点，然后判断出函数的增减性，由增减性可确定出m与n的大小关系.
8．（2021·河南模拟）对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（　　）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（ ，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵-1<0，
∴y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝ =﹣2，图象开口向下，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；故A选项不正确；
∵﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
∴当﹣5＜x＜1时，y＞0；故B选项不正确；
∵-2-(﹣4)>﹣ -(﹣2)，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；故C选项正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9，故D选项不正确.
故答案为：C.
【分析】首先求出二次函数的对称轴，然后判断出单调性，据此可判断选项A；求出二次函数所对应的一元二次方程的两根，然后根据单调性可判断选项B；根据二次函数的单调性可判断选项C；由于二次函数开口向下，故在对称轴处取得最大值，据此可判断D.
9．（2021·历城模拟）函数 ，当 时，此函数的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时， 得 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得当x=2时，函数取得最大值1，再求出函数值取最小值y=-3时x的值，根据抛物线开口向下及增减性即可求出结论.
10．（2020九上·河西期末）当 时，二次函数 有（　　）
A．最大值-3 B．最小值-3 C．最大值-4 D．最小值-4
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
∴抛物线的对称轴为：x=1,
∵函数开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小值=（2-1）2-4=-3
故答案为：B
【分析】根据二次函数y=（x-1）2-4，可以得到当x＞1时，该函数有最小值，故可得结论．
11．（2021九上·沙坪坝期末）抛物线 的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由抛物线 可得：对称轴为直线 ；
故答案为：B.
【分析】根据题意及对称轴公式直接进行求解即可.
12．（2020九上·越秀期中）如图，二次函数 ( )的图象过点（-2，0），对称轴为直线 ，此二次函数与 轴的另一个交点是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为（-2，0），
∴点（-2，0）关于x=1的对称点的坐标为（4，0）．
故答案为：B．
【分析】找出点(-2，0)关于x=1的对称点的坐标即可．
13．（2021·福建模拟）已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（　　）
A．16 B．15 C．9 D．7
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵a+b=3，c﹣3a=-6，
∴b=3﹣a，c=3a-6.
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得：a≤3，
解不等式②得：a≥ ，
∴2≤a≤3.
又∵a是非负数，
∴2≤a≤3，
S=a2+b+c=a2+（3﹣a）+3a-6=a2+2a-3，
∴对称轴为直线a=﹣ =﹣1，
∴a=2时，最小值n=5，
∴a=3时，最大值m=32+2×3-3=12，
∴m﹣n=12﹣5=7.
故答案为：D.
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解.
14．（2021·滨江模拟）已知函数 （a为常数），当 时，y随x增大而增大. 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， 总满足 ，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为 ，
当 时，y随x增大而增大.
∵ ，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
对任意的 和 ， 总满足 ，
∵ ，
∴ 差的最大值是 上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得： ，
在 区间内，
抛物线的最小值为y2= ，
抛物线的最大值为，x=5时，y1= ，
∵ 总满足 ，
∴ - ，
解得 ，
∴实数a的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先判断出二次函数的增减性，由题意可得2a≤4，求解可得a的范围，推出y1-y2差的最大值是2a-1≤x≤5上的最大值与最小值的差，抛物线的最小值为y2=5-4a2，最大值为y130-20a，据此求解即可.
15．（2021·陕西模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕原点旋转 后得到抛物线 ，在抛物线 上，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线 的表达式是
∴抛物线 的开口向上，对称轴为 ，
又抛物线 是抛物线 绕原点旋转180°得到的，
∴抛物线 的开口向下，对称轴为 ，
∴抛物线 上，在对称轴 的左边y随x的增大而增大，
又在抛物线 上，当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由抛物线C的解析式可知a=1＞0，根据二次函数的性质可知抛物线的开口向上，对称轴x=,；由旋转的性质可知抛物线 的开口方向和对称轴方程，根据二次函数的性质可得抛物线 ，在对称轴的左边y随x的增大而增大，结合已知可得关于m的方程：≥1，解不等式即可求解.
二、填空题
16．（2021·哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，最大值是6．
故答案为：6．
【分析】直接利用顶点式即可写出最大值．
17．（2021九下·西湖开学考）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是　 　.
【答案】﹣5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5.
【分析】对于二次函数y=a(x-h)2+k, 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最大值k.
18．（2021·福建模拟）二次函数 ，当 时， 的最小值为1，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ， ，
∴函数图象开口向下，对称轴 ，
①当 ，即 时，
当 时，y随x的增大而减小，
，
当 时， 或 ，不符合题意；
②当 时，
时，y随x的增大而增大，x=0时， 恒成立，此时 都满足题意；
时， ， ，
即当 时，y在 随x的增大而增大，
∴x=0时， ，符合题意，
则此情况下；
③当 时，即 ，当 时， ，
当 时， ，
∵ 的最小值为1，
∴ ， ，
此时 ，
综上： .
【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可；
19．（2021·海陵模拟）已知 ，当 　 　时， 的值最小.
【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
∵a=1＞0
∴当 时，y有最小值为
故答案为：2.
【分析】将原式进行化简为二次函数形式，然后根据二次函数的性质求最值.
20．（2021·赣州模拟）当 时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为　 　．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可。
21．（2021·姜堰模拟）已知二次函数 （k为常数，且k > 0），当x < m时，y随着x的增大而增大，则满足条件的整数m的值为　 　.（写出一个即可）
【答案】m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：k > 0，-k<0，抛物线开口向下，
抛物线对称轴 ，
在对称轴的左侧，y随x增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m为整数，
∴m=-2（不唯一）.
故m=-2（不唯一，m为不大于－2的整数）.
【分析】由二次函数的对称轴可得抛物线对称轴，根据抛物线开口朝下，且 当x < m时，y随着x的增大而增大可得对称轴≤m，由 k > 0 可得m范围，即可找到符合题意的值.
22．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
23．（2021九上·东海期末）已知二次函数 ，当 时，对应的y的整数值有　 　个.
【答案】4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 ，
，抛物线开口向上，
当 ，y随x的增大而增大，
当x=3时，y= ，
， ， ，
当x=4时， y= ，
y的整数有-5，-6，-7，-8，
对应的y的整数值4个.
故答案为：4.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线开口向上，对称轴直线是x=2，故当 ，y随x的增大而增大，当x=3时，y= ，，，当x=4时， y= ，的整数有-5，-6，-7，-8，可得出结果.
24．（2021·驻马店模拟）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　 　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小.
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵二次项的系数为3＞0，
∴当x＝ ＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣ 时，w有最小值.
故答案为： .
【分析】设w＝(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2＝nx2-2(x1+x2+…+xn)x+(x12+x22+…+xn2)，然后根据二次函数的最值求解即可.
25．（2021九上·昆山期末）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为9，则 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝ ＝ 1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵ 2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a＋2a＋3a2＋3＝9，
∴3a2＋3a 6＝0，
∴a＝1，或a＝ 2（不合题意舍去）.
故答案为1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由 2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a.
三、计算题
26．（2018九上·临河期中）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2，且过(0,1)，求此函数的解析式.
【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2， ∴此二次函数的顶点坐标为：(3， 2)， ∴此二次函数为：y=a(x 3)2 2， ∵过(0，1)， ∴9a 2=1， 解得：a= ， ∴此二次函数的解析式为：y= (x 3)2 2= x2 2x+1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据题意即可得到二次函数的顶点，可以设二次函数的顶点式，根据二次函数经过点（0,1）即可得到a的值，求出函数解析式。
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
【答案】解：原式=3（y﹣1）2+8，
∵（y﹣1）2≥0，
∴3（y﹣1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可．
四、解答题
28．（2020九上·赵县期中）四边形ABCD的两条对角线AC， BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？
【答案】 解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）
∴根据题意可得，y==-x2+5x=-（x-5）2+12.5
根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大
此时AC=BD=5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据题意列出关于四边形面积的函数，根据其面积最大，即可得到答案。
五、综合题
29．（2021·禹州模拟）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”.已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围.
【答案】（1）解：∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，
∴16-8a-a-3=-a-3
解得a=2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5
（2）解：∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，
∴x2﹣4x-5=x，
即x2﹣5x-5=0，
解得 ，
∴点N、Q的坐标分别为 、 ，
由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；
∴N、Q位于对称轴两侧，
图象有最低点，坐标为（2，-9），
∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】 (1)、根据 点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，把坐标代入解析式即可求出a的值，从而 求出抛物线的解析式；
(2)根据规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”，可以求出 点N、Q的坐标分别为 、 ，再根据抛物线的对称轴和最值，从而求出 点H的纵坐标的取值范围 .
30．（2021九下·兴化月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.
（1）当a＝﹣1，m＝1时.
①求点D的坐标；
②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.
（2）当m＝ 时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.
【答案】（1）解：①解：当a=-1，m=1时，
=
∴点D的坐标为
②∵ ，
当y=0时，
解得： ，
∴点A的坐标为
设直线AD的表达式为：
解得
∴直线AD的表达式为：
∵F为线段AD上一动点，
设点F的横坐标为t，
∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P
∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为
∴P ，H（t，0)
∴PH+OH= = =
∴当 时，PH+OH有最大值，
当 时， =
∴F（ ， ）
（2）解：∵m= ，
∴y＝ = = ，
∴D
∵y＝ = = ，
∴E
∵y＝
当y=0时， =0
解得 ，
∴A（-2，0）
设直线AD的表达式为：y=mx+n
解得
∴直线AD的表达式为
当 ， =
∴点E在直线AD上
∴直线AD经过点E.
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①将a=-1，m=1代入抛物线解析式中，然后将其化为顶点时即可得到顶点坐标；
②首先求出抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，设点F的横坐标为t，表示出点P的坐标，然后得到PH+OH，利用二次函数的性质求解即可；
（2）将m的值代入抛物线解析式中，化为顶点式，得到D、E的坐标，求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AD的表达式，然后将点E的横坐标代入求出对应的y的值，进而判断即可.
1 / 1