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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021·重庆）如图，在 和 中， ，添加一个条件，不能证明 和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·望城模拟）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
3．（2021·香洲模拟）如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，AD即为所求作，请说明△AFD≌△AED的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（2021·历下模拟）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以小于 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③连接 ，交 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021八下·福田期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD
C．AC＝AD D．AC＝BC
6．（2021七下·普陀期中）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ）
A．顶角对应相等 B．底边对应相等
C．两腰对应相等 D．一腰和底边对应相等
7．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件错误的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
8．（2021七下·海淀期中）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
9．（2021·四川模拟）如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 ，连接 与 相交于点 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．13
10．（2021·普陀模拟）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
11．（2021九下·北京月考）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
⑴如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑶以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
⑷过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
12．（2021八下·滦州月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
13．（2021八下·长兴开学考）如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC
14．（2021八下·东坡开学考）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA
15．（2021八下·河南开学考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一直角边对应相等
二、填空题
16．（2021·遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 .
17．（2021·龙沙模拟）在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线．若添加一个条件： ，则△ABD≌△ACD．
18．（2021·西城模拟）如图，直线l为线段 的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于 异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 ．
19．（2021·东城模拟）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．
20．（2021·燕山模拟）如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ，请你添加一个条件 ，使得 ．
21．（2021·顺义模拟）如图， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 （写出一个即可）
22．（2021七下·平顶山期中）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ，请你只添加一个条件，使得 ．你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
23．（2021·平谷模拟）如图，在 和 中， ， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 （写出一个即可）.
24．（2021·丰台模拟）如图， 平分 ，点B在射线 上，若使 ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
25．（2021八下·罗湖期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 cm．
三、计算题
26．（2018·菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
27．如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．
28．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
四、解答题
29．（2021·白云模拟）如图，已知 平分 ， ．求证： ．
五、综合题
30．（2021八上·哈巴河期末）如图，点A，E，F在直线l上， ， .
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使 ，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA），
选项B，添加 ，
在 和 中， ， ， ，无法证明 ≌ ；
选项C，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）；
选项D，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）；
综上，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可知：隐含条件为BC=CB，已知了∠ACB=∠DBC，可以添加另一组对应角相等或添加边AC=DB，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即 ，
当 时，满足 ，无法判定 ，故A选项符合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故B选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故C选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故D选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作法得AE＝AF，DF＝DE，
而AD为公共边，
所以根据“SSS”可判断△AFD≌△AED．
故答案为：A．
【分析】利用基本作图得到AE＝AF，DF＝DE，再根据全等三角形的判定方法进行判断。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图知AP平分∠BAC，
∵∠C=∠AED=90°，
∴CD=DE=3，
∵BD=5，
∴BE=4，
∵AD=AD，CD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
设AC=AE=x，
由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，即AC=6，
故答案为：C．
【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C=∠AED=90°知CD=DE=3，结合BD=5知BE=4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE，设AC=AE=x，由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2，解之可得答案．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用“HL”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、顶角对应相等的两个等腰三角形是AAA，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判定即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法进行求解即可。
9．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分
（线段垂直平分线的定义），
的周长 ，
故答案为：:A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DA=DB，再证明△BDC的周长=AC+BC，然后代入计算.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故答案为：C．
【分析】三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），据此逐一判断即可.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可知OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法即可解答．
12．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AC=2EC=8，
∵C△ABC=AC+BC+AB=23，
∴AB+BC=23-8=15，
∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.
故答案为：B.
【分析】先求出AD=CD，AC=2EC=8，再求出AB+BC=15，最后求周长即可。
13．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
添加AB=CD时，可得AC= DB，
在△AEC和△DFB中,
∴，
△AEC≌△DFB(SAS），
而添加EC=BF或∠A=∠D或AB=BC时，不能判定△EAC丰OFDB.
【分析】若已知一边和一角对应相等，则找这个角另一边相等，则添加AB=CD时，可得AC=DB，利用边角边定理判定△AEC≌△DFB．
14．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当BD=CD，AD=AD，∠1=∠2时，SSA不能证明 △ABD≌△ACD ，故A符合题意；
B、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS）故B不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS）故C不符合题意；
D、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（ASA）故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】图形中的隐含条件是：AD=AD；利用SSA不能证明两三角形全等，可对A作出判断，利用SAS，AAS，ASA可证明两三角形全等，可对B，C，D作出判断.
15．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，符合AAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
B、两条直角边对应相等，符合SAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
C、两个锐角对应相等，全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等，符合HL的全等判定条件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判断方法，对各选项逐一判断.
16．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴ ，
∴△ABD的周长 ，
故答案为：12.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC，由此可证得△ABD的周长就是AB+AC的值.
17．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】当AD⊥BC时，∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
故答案为：AD⊥BC．
【分析】先求出∠BAD=∠CAD，再利用SAS证明△ABD≌△ACD即可。
18．【答案】CE=CF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】证明：添加： ，理由如下：
∵直线l为线段 的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴ （SAS）
故答案为：CE=CF
【分析】符合全等三角形的判定定理即可。
19．【答案】∠A=∠E
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：增加一个条件：∠A=∠E，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
在△ABC和△FDE中， ，
∴△ABC≌△EDF(SAS)．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．
【分析】利用三角形的判定方法求解即可。
20．【答案】 或 或 （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
21．【答案】AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AD=BC，可用SAS判断 ；
添加∠D=∠C，可用AAS判断 ；
添加∠DBA=∠CAB，可用ASA判断 ；
故答案为：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）．
【分析】根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可．
22．【答案】DA=BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：DA=BC
∵∠DBE=∠A=∠C=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠D=∠CBE，
在△DAB和△BCE中
∴△DAB≌△BCE（AAS）
故答案为：DA=BC.
【分析】利用余角的性质可证得∠D=∠CBE，有两组对应角相等，由此只需添加三组对应边中的任意一组对应边相等，都可得到△DAB≌△BCE.
23．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 与 中，
= ，AC=AC，
若 ，
则由AAS可得 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
24．【答案】AC=AD或 或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：因为AE平分∠CAD，
所以∠CAB=∠DAB，
又∵AB=AB，
已具备一边一角，
从边上考虑，只能添加AC=AD，
在△ABC和△ABD中，
，
，
从角上考虑，可添加 或 ，
添加
在△ABC和△ABD中，
，
，
添加 ，
在△ABC和△ABD中，
，
，
故答案为：AC=AD或 或 ．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE＝BE
∴AE+CE＝BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm
∴BE+CE+BC＝18，
∴AE+CE+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴AC+8＝18，
∴AC＝10cm
故答案为：10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，再利用三角形的周长计算出AC的长即可。
26．【答案】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB∥CD，可证得∠C=∠B，再由CE=BF，可得出CF=BE，然后利用SAS证明△CDF≌△BAE，根据全等三角形的性质可证得结论。
27．【答案】解：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DAB=∠CBA=28°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠CBA=90°﹣28°=62°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=62°﹣28°=34°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠CBA，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠DAB代入数据计算即可得解．
28．【答案】解：如图，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6 ，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6 ，AE=3，
∴BE= = = =9，
∴AD=9．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接BE，根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根据勾股定理求出AB，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根据AB、AE的值，求出BE，从而得出AD．
29．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，结合题意，证明三角形全等即可。
30．【答案】（1）∠CAF＝∠DBE
（2）证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE(SAS) .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证 ；
（2）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证 .
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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021·重庆）如图，在 和 中， ，添加一个条件，不能证明 和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA），
选项B，添加 ，
在 和 中， ， ， ，无法证明 ≌ ；
选项C，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）；
选项D，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）；
综上，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可知：隐含条件为BC=CB，已知了∠ACB=∠DBC，可以添加另一组对应角相等或添加边AC=DB，再对各选项逐一判断.
2．（2021·望城模拟）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即 ，
当 时，满足 ，无法判定 ，故A选项符合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故B选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故C选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故D选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
3．（2021·香洲模拟）如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，AD即为所求作，请说明△AFD≌△AED的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作法得AE＝AF，DF＝DE，
而AD为公共边，
所以根据“SSS”可判断△AFD≌△AED．
故答案为：A．
【分析】利用基本作图得到AE＝AF，DF＝DE，再根据全等三角形的判定方法进行判断。
4．（2021·历下模拟）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以小于 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③连接 ，交 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图知AP平分∠BAC，
∵∠C=∠AED=90°，
∴CD=DE=3，
∵BD=5，
∴BE=4，
∵AD=AD，CD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
设AC=AE=x，
由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，即AC=6，
故答案为：C．
【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C=∠AED=90°知CD=DE=3，结合BD=5知BE=4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE，设AC=AE=x，由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2，解之可得答案．
5．（2021八下·福田期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD
C．AC＝AD D．AC＝BC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用“HL”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
6．（2021七下·普陀期中）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ）
A．顶角对应相等 B．底边对应相等
C．两腰对应相等 D．一腰和底边对应相等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、顶角对应相等的两个等腰三角形是AAA，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可。
7．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件错误的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判定即可。
8．（2021七下·海淀期中）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法进行求解即可。
9．（2021·四川模拟）如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 ，连接 与 相交于点 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．13
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分
（线段垂直平分线的定义），
的周长 ，
故答案为：:A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DA=DB，再证明△BDC的周长=AC+BC，然后代入计算.
10．（2021·普陀模拟）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故答案为：C．
【分析】三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），据此逐一判断即可.
11．（2021九下·北京月考）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
⑴如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑶以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
⑷过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可知OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法即可解答．
12．（2021八下·滦州月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AC=2EC=8，
∵C△ABC=AC+BC+AB=23，
∴AB+BC=23-8=15，
∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.
故答案为：B.
【分析】先求出AD=CD，AC=2EC=8，再求出AB+BC=15，最后求周长即可。
13．（2021八下·长兴开学考）如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
添加AB=CD时，可得AC= DB，
在△AEC和△DFB中,
∴，
△AEC≌△DFB(SAS），
而添加EC=BF或∠A=∠D或AB=BC时，不能判定△EAC丰OFDB.
【分析】若已知一边和一角对应相等，则找这个角另一边相等，则添加AB=CD时，可得AC=DB，利用边角边定理判定△AEC≌△DFB．
14．（2021八下·东坡开学考）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当BD=CD，AD=AD，∠1=∠2时，SSA不能证明 △ABD≌△ACD ，故A符合题意；
B、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS）故B不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS）故C不符合题意；
D、在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（ASA）故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】图形中的隐含条件是：AD=AD；利用SSA不能证明两三角形全等，可对A作出判断，利用SAS，AAS，ASA可证明两三角形全等，可对B，C，D作出判断.
15．（2021八下·河南开学考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一直角边对应相等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，符合AAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
B、两条直角边对应相等，符合SAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
C、两个锐角对应相等，全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等，符合HL的全等判定条件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判断方法，对各选项逐一判断.
二、填空题
16．（2021·遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 .
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴ ，
∴△ABD的周长 ，
故答案为：12.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC，由此可证得△ABD的周长就是AB+AC的值.
17．（2021·龙沙模拟）在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线．若添加一个条件： ，则△ABD≌△ACD．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】当AD⊥BC时，∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
故答案为：AD⊥BC．
【分析】先求出∠BAD=∠CAD，再利用SAS证明△ABD≌△ACD即可。
18．（2021·西城模拟）如图，直线l为线段 的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于 异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 ．
【答案】CE=CF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】证明：添加： ，理由如下：
∵直线l为线段 的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴ （SAS）
故答案为：CE=CF
【分析】符合全等三角形的判定定理即可。
19．（2021·东城模拟）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【答案】∠A=∠E
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：增加一个条件：∠A=∠E，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
在△ABC和△FDE中， ，
∴△ABC≌△EDF(SAS)．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．
【分析】利用三角形的判定方法求解即可。
20．（2021·燕山模拟）如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ，请你添加一个条件 ，使得 ．
【答案】 或 或 （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
21．（2021·顺义模拟）如图， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 （写出一个即可）
【答案】AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AD=BC，可用SAS判断 ；
添加∠D=∠C，可用AAS判断 ；
添加∠DBA=∠CAB，可用ASA判断 ；
故答案为：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）．
【分析】根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可．
22．（2021七下·平顶山期中）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ，请你只添加一个条件，使得 ．你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】DA=BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：DA=BC
∵∠DBE=∠A=∠C=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠D=∠CBE，
在△DAB和△BCE中
∴△DAB≌△BCE（AAS）
故答案为：DA=BC.
【分析】利用余角的性质可证得∠D=∠CBE，有两组对应角相等，由此只需添加三组对应边中的任意一组对应边相等，都可得到△DAB≌△BCE.
23．（2021·平谷模拟）如图，在 和 中， ， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 （写出一个即可）.
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 与 中，
= ，AC=AC，
若 ，
则由AAS可得 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
24．（2021·丰台模拟）如图， 平分 ，点B在射线 上，若使 ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．
【答案】AC=AD或 或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：因为AE平分∠CAD，
所以∠CAB=∠DAB，
又∵AB=AB，
已具备一边一角，
从边上考虑，只能添加AC=AD，
在△ABC和△ABD中，
，
，
从角上考虑，可添加 或 ，
添加
在△ABC和△ABD中，
，
，
添加 ，
在△ABC和△ABD中，
，
，
故答案为：AC=AD或 或 ．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
25．（2021八下·罗湖期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 cm．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE＝BE
∴AE+CE＝BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm
∴BE+CE+BC＝18，
∴AE+CE+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴AC+8＝18，
∴AC＝10cm
故答案为：10．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，再利用三角形的周长计算出AC的长即可。
三、计算题
26．（2018·菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB∥CD，可证得∠C=∠B，再由CE=BF，可得出CF=BE，然后利用SAS证明△CDF≌△BAE，根据全等三角形的性质可证得结论。
27．如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．
【答案】解：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DAB=∠CBA=28°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠CBA=90°﹣28°=62°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=62°﹣28°=34°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠CBA，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠DAB代入数据计算即可得解．
28．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
【答案】解：如图，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6 ，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6 ，AE=3，
∴BE= = = =9，
∴AD=9．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接BE，根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根据勾股定理求出AB，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根据AB、AE的值，求出BE，从而得出AD．
四、解答题
29．（2021·白云模拟）如图，已知 平分 ， ．求证： ．
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，结合题意，证明三角形全等即可。
五、综合题
30．（2021八上·哈巴河期末）如图，点A，E，F在直线l上， ， .
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使 ，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明 .
【答案】（1）∠CAF＝∠DBE
（2）证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE(SAS) .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证 ；
（2）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证 .
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