2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.4两个三角形相似的判定同步练习（word解析版）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.4两个三角形相似的判定》同步练习（附答案）
1．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
2．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　）
A． B． C． D．
3．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝　 　．
8．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是　 　．
9．边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为　 　秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝　 　秒时，△CPQ与△ABC相似．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为 　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
14．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．
15．如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB＝ED且∠ABE＝∠ADE．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF AG＝BC BE．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND＝1．
（1）证明：△MNO∽△CND；
（2）求BD的长．
17．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C'处，点D落在点D'处，C'D'交线段AE于点M．
（1）求证：△BC'F∽△AMC'；
（2）若C'是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AM的长．
18．三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2．按图①的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大的正方形，称为第1次剪取，记余下的两个三角形面积和为S1；按图②的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中，分别剪去尽可能大的正方形，称为第2次剪取，记余下的四个三角形面积和为S2；继续操作下去…．
（1）如图①，求和S1的值；
（2）第n次剪取后，余下的所有三角形面积之和Sn为 　 　．
19．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，求的值？
20．已知：如图①在 ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当点P与点C重合时△PNM停止平移，点Q也停止运动．如图②设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t为　 　s时，点P与点C重合；
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0≤t≤4）．
（1）当t为何值时，PQ⊥BC？
（2）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
参考答案
1．解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝FC，BC＝AD＝2，
∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝，
∵△ADN∽△FBN，
∴＝＝2，
即AN＝2FN，
∴NF＝AF＝，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝2，
∴AN＝2NF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，
∴AB＝DC＝2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝＝，
∴DF＝2BF，＝（）2＝，
∴＝，
∴S△BEF＝S△DCF，S△DCB＝S△DCF，
∴＝＝，
故选：D．
3．解：由勾股定理得：AC＝，BC＝2，AB＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
4．解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴＝＝2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝6．
∵CG∥AB，AB＝2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝12．
故选：D．
6．解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD AB＝2×8＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
故选：B．
7．解：①当△APD∽△PBC时，＝，
即＝，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，＝，即＝，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
8．解：∵△ABC沿EF折叠C和D重合，
∴FD＝CF，
设CF＝x，则BF＝4﹣x，
以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①若∠BFD＝∠C，
则 ＝，
即 ＝，
解得：x＝；
②若∠BFD＝∠A，
则 ＝＝1，
即：＝1，
解得：x＝2．
综上所述，CF的长为 或2．
故答案为或2．
9．解：①如图，当△PFE∽△EAD时，
可知此时PE⊥CD，
t＝DP＝1；
②如图，当△EFP∽△EAD时，
可知，此时F为DE中点，
EF＝DF＝DE＝，
∵＝＝，
即＝，
解得t＝DP＝
综上所述，满足条件的t的值为1s或s．
10．解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
11．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，
∴CD2＝AD BD＝8×2，
则CD＝4．
故答案是：4．
12．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，∠D＝90°
∴∠AED＝∠PAF，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝∠D＝90°．
∴△PFA∽△ADE．
（2）解：情况1，当△EFP∽△ADE，且∠PEF＝∠EAD时，
则有PE∥AD
∴四边形ADEP为矩形．
∴PA＝ED＝1；
情况2，当△PFE∽△ADE，且∠PEF＝∠AED时，
∵∠PAF＝∠AED，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝＝，
∴AF＝，
∵△PFA∽△ADE，
＝，
∴＝，
∴PA＝
∴满足条件的PA的值为1或．
故答案为1或．
13．解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BAE＝∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝BC＝5，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝2，
∴DF＝5﹣2＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝＝．
15．（1）证明：连接BD．
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴，
同理 ，
∵DE＝BE，四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，
∴，
∴EF AG＝BC BE．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴点O是AC的中点．
∵M为AD中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM∥CD，
∴∠OMN＝∠NCD．
又∠MNO＝∠CND，
∴△MNO∽△CND；
（2）∵OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD．
∵由（1）知，△MNO∽△CND，ND＝1，
∴＝＝，
∴ON＝，
∴OD＝ON+ND＝，
∴BD＝2OD＝3．
17．证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠MC'F＝90°，
∴∠BFC'+∠BC'F＝90°，∠AC'M+∠BC'F＝90°，
∴∠BFC'＝∠AC'M，
∴△BC'F∽△AMC'．
（2）∵C'是AB的中点，AB＝6，
∴AC'＝BC'＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AMC'∽△BC'F，
∴，
∴，
解得，AM＝．
18．解：（1）设CE的长为x，由题意得，AF＝1﹣x，FD＝x，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝，
则＝＝．
则S1＝×1×2﹣（）2＝．
（2）同法可得S2＝（）2，S3＝（）3
∴Sn＝（）n．
故答案为（）n．
19．解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠DBO．
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△OCA∽BDO．
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△AOC：S△OBD＝：2＝1：4，
∴＝．
20．28，解：（1）在如图①中，在RT△ABC中，∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝5＝4，
∴t＝4时，点P与点C重合．
故答案为4
（2）如图②中，作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E
由可得，则由勾股定理易求
因为PD⊥BC，AE⊥BC，
所以AE∥PD，
所以△CPD∽△CAE，
所以，即＝＝，
求得：，CD＝，
因为PM∥BC，
所以M到BC的距离
所以△QCM是面积，
（3）若PQ⊥MQ，则∠MQP＝∠PDQ＝90°
因为MP∥BC，
所以∠MPQ＝∠PQD，
所以△MQP∽△PDQ，
所以＝，
所以PQ2＝PM×DQ，
即：PD2+DQ2＝PM×DQ，由CD＝，得DQ＝CD﹣CQ＝，
故，整理得2t2﹣3t＝0
解得t＝或0．
答：当t＝或0秒时，PQ⊥MQ．
21．解：（1）由题意知：BD＝5，BQ＝t，QC＝4﹣t，DP＝t，BP＝5﹣t，
∵PQ⊥BC，
∴△BPQ∽△BDC，
∴即，
∴，
当时，PQ⊥BC；
（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC，
∴，
∴，
∴＝﹣（t﹣）2+，
∴当时，S有最大值；
（3）①当BP＝BQ时，5﹣t＝t，
∴
②当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE＝
∴△BQE∽△BDC
∴即
∴
③当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，此时，BF＝
∴△BPF∽△BDC
∴即
∴
∴，，，均使△PBQ为等腰三角形．