2021-2022学年浙教版九年级数学上册4.4两个相似三角形的判定解答题专题训练（word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《4.4两个相似三角形的判定》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F．求证：AD2＝DE DF．
2．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD＝BC BE．
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD AB．
3．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF．求证：
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）OB2＝OE OF；
4．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点E在AD的延长线上，BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）过点C作CF∥BE交AE于点F，求证：AD2＝AE AF．
5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
（1）求证：CE∥AD；
（2）求证：AC2＝AB AD；
（3）若AC＝，AB＝8，求的值．
6．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB＝BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．
（1）求证：△FDC∽△FBD；
（2）求证：AC BF＝BC DF．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．
（1）求证：AF2＝EF FG；
（2）如果EF＝，FG＝，求的值．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G．
（1）求证：AG GO＝HG GD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求DG的长．
10．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P，Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝AC BQ．
11．如图，BF和CE分别是钝角△ABC（∠ABC是钝角）中AC、AB边上的中线，又BF⊥CE，垂足是G，过点G作GH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：GH2＝BH CH；
（2）若BC＝20，并且点G到BC的距离是6，则AB的长为多少？
12．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE＝CD，连接EB、ED，延长BE交AD于点F．求证：DF2＝EF BF．
13．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．
（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG AF．
14．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．
（1）如图1，求证：DE CD＝DF BE；
（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，E是AB延长线上一点，∠CDB＝∠ADE．
（1）DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）求证：AC2＝CD BE．
16．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．若AB＝3，AE＝2，求的值．
17．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：AG2＝GE GF．
18．如图，已知AC和BD相交于点E，∠B＝∠C．求证：EC EA＝EB ED．
19．如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF＝∠B＝∠C．求证：OE FC＝FO OB．
20．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，∠DFC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠DFC，
∵BC的垂直平分线交BC于点F，∠BAC＝90°．
∴DA＝BD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴∠DFC＝∠BAD，
∵∠EDA＝∠ADF，
∴△ADE∽△FDA．
∴＝．
∴AD2＝DE DF．
2．（1）证明：∵BA BD＝BC BE．
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA．
（2）证明：∵BA BD＝BC BE．
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD AB．
3．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴＝，
∴，
∴OB2＝OE OF；
4．证明：（1）∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠E＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
∵CF∥BE，
∴△BDE∽△CDF，
∴，
∴＝＝，
∴AE（AD﹣AF）＝AD（AE﹣AD），
∴AE AD﹣AE AF＝AD AE﹣AD2，
∴AD2＝AE AF．
5．解：（1）∵E为AB中点，∠ACB＝90°
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AB AD；
（3）由（2）证得，AC2＝AB AD，
∵AC＝，AB＝8，
∴AD＝＝6，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AB＝4，
∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE，
∴＝＝＝．
6．证明：（1）∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴＝，
∴＝，
即2DF EG＝AF DG．
7．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠FDC＝∠B，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC；
（2）∵△FBD∽△FDC，
∴，
∵△BDC∽△BCA，
∴，
∴AC BF＝BC DF．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，
∴，，
∴，
∴AF2＝EF FG．
（2）∵△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，
∵由（1）得出AF2＝EF FG＝；
∴AF＝2，
∴，
∴．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH⊥AB于H，
∴∠DHA＝∠DOG＝90°，
∵∠AGH＝∠DGO，
∴△AGH∽△DGO，
∴＝，
∴AG GO＝HG GD；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AB＝AD＝＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD＝AB DH，
∴DH＝，
∵∠DOG＝∠DHB＝90°，∠ODG＝∠HDB，
∴△DOG∽△DHB，
∴，
∴＝，
∴DG＝．
10．（1）证明：连接OD．
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∵AB∥PQ，
∴OD⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．
（2）证明：连接AD．
∵AB∥PQ，
∠ABC＝∠Q，∠ADB＝∠BDQ，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠Q，∠ACD＝∠BDQ，
∴△BDQ∽△ACD，
∴＝，
∴BD2＝AC BQ；
11．（1）证明：∵CE⊥BF，GH⊥BC，
∴∠CGB＝∠CHG＝∠BHG＝90°，
∴∠CGH+∠BGH＝90°，∠BGH+∠GBH＝90°，
∴∠CGH＝∠GBH，
∴△CGH∽△GBH，
∴＝，
∴GH2＝BH CH；
（2）解：作EM⊥CB交CB的延长线于M．设CH＝x，HB＝y．
则有，解得或，
∵∠ABC是钝角，
∴CH＞BH，
∴CH＝18，BH＝2，
∵G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，
∵GH⊥BC，EM⊥BC，
∴GH∥EM，
∴＝＝，
∴EM＝9，CM＝27，
∴BM＝CM﹣BC＝7，
∴BE＝＝，
∴AB＝2BE＝2．
12．证明：连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，且∠BCE＝∠DCE，
又∵CE是公共边，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC．
∵CE＝CD，
∴∠DEC＝∠EDC．
∵∠BEC＝∠DEC，∠BEC＝∠AEF，
∴∠EDC＝∠AEF．
∵∠AEF+∠FED＝∠EDC+∠ECD，
∴∠FED＝∠ECD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECD＝∠BCD＝45°，∠ADB＝∠ADC＝45°，
∴∠ECD＝∠ADB．
∴∠FED＝∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴＝，即DF2＝EF BF．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°＝∠ABC，
又∵∠FCE＝∠ACB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，
又∵∠ACF＝∠BCE，
∴△CAF∽△CBE；
（2）∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠BAF＝∠CBE，
∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°，
即∠ABF＝∠BGA＝90°，
∵∠BAG＝∠BAF，
∴△ABF∽△AGB，
∴＝，
∴AB2＝AG AF，
∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2，
∴AC2＝2AG AF
14．证明：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
即DE CD＝DF BE；
（2）由（1）可得：△BDE∽△CFD，
∴，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴，
∵∠B＝∠EDF，
∴△BDE∽△DFE，
∴∠BED＝∠DEF，
∴ED平分∠BEF．
15．（1）解：结论：DE是⊙O的切线．
理由：连接OD．
∵∠CDB＝∠ADE，
∴∠ADC＝∠EDB，
∵CD∥AB，
∴∠CDA＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ADO＝∠EDB，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵CD∥AB，
∴∠ADC＝∠DAB，∠CDB＝∠DBE，
∴＝，
∴AC＝BD，
∵∠DCB＝∠DAB，∠EDB＝∠DAB，
∴∠EDB＝∠DCB，
∴△CDB∽△DBE，
∴＝，
∴BD2＝CD BE，
∴AC2＝CD BE．
16．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝AB＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝．
17．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
在△ADG与△CDG中，
∵，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG＝∠DCG，
又∵AB∥CD，
∴∠F＝∠DCG，
∴∠EAG＝∠F，
∵∠AGE＝∠AGE，
∴△AEG∽△FGA，
∴＝，
∴AG2＝GE GF．
18．解：∵∠B＝∠C、∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，即EC EA＝EB ED．
19．证明：∵∠EOC＝∠EOF+∠FOC，∠EOC＝∠B+∠BOE，∠EOF＝∠B，
∴∠FOC＝∠OEB，又∠B＝∠C，
∴△BOE∽△CFO，
＝，
∴OE FC＝FO OB．
20．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．