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九上数学第四章：相似三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2 B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2 D．DE∥BC
3.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
4.如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
5.如图，点A，B都在格点上，若，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC的长是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在△ABC中，，高 ，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
10.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.已知，则
12.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且，△DBE与四边形ADEC的面积的比
13.如图，△ABC内接于⊙O,于点H，若AC=10,AH=8,⊙O的半径为7，则
14.如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
15.如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则
16.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝_________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，若，AB＝8cm，求DE的长．
18.（本题8分）如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB = AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB ∽△ECD.请你在不添加辅助线的情况下，在图中再找出一对相似三角形，并加以证明.
19（本题8分）．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，,
求：（1）的长；（2）求
20（本题10分）如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA·BD = BC·BE.
（1）求证:△BDE ∽△BCA.（2）如果AE = AC，求证:AC 2 = AD·AB.
21（本题10分）如图1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，过 A 作直线分别交 CB，CD 于点 E，F，且 CE=CF.（1）求证：∽；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求的长．
22(本题12分）四边形是边长为2的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点（不与点重合），连结，交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长．
（2）如图2，点在线段的延长线上时，与相交于点．若．
①求证：．②求线段的长．
23.（本题12分）如图1，是的高，,
（1）求证：;（2）如图2，是的中线，于点I交于点，若，求的值;（3）如图3，是的中点， 交于，于.若 ，，直接写出的值.
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九上数学第四章：相似三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴，
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
2.答案：D
解析：
∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
3.答案：B
解析：如图，
在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故选：B．
4.答案：A
解析：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
5.答案：B
解析：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，
则CD∥AE，
∴△BDC∽△BEA，
∴，
∴，
解得BA＝，
∴AC＝BA﹣BC＝，
故选：B．
6.答案：C
解析：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴，即，
∴．
故选：C．
7.答案：B
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BC=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠CFB=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB=FE=2，FC=1，
∴CE=CF+EF=3，，
∴，
∴，
故答案为：B.
8.答案：A
解析：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，
则∠E＝90°，
∵BD⊥AB，CE⊥BD，
∴AB∥CE，∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△CED，
∴，
∵AD＝AC，
∴，
∴，则，
∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE＝CE＝，
∴BD＝BE＝，
∴S△BCD＝ BD CE＝．
故选：A．
9.答案：B
解析：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴.
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20.
故答案为：B.
10.答案：D
解析：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，
∵∠ADB＝∠AGB＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6+3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故选：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：设
∴
∴
12.答案：
解析：∵，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴，，
∴，
又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC．
相似比为，面积比，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC＝．
13.答案：
解析：连AO并延长交⊙O于M，连接BM,
∵AM是直径，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴△ABM∽△AHC,
∴,
∵,
∴,∴
14.答案：
解析：∵BB1∥CC1，
∴，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
15.答案：
解析：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：
∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，
∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，
∵，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴,
故答案为：．
16.答案：24
解析：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（ASA），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
故答案为：24．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：∵，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴
∵AB＝8cm，
∴
18.解析：△AEC∽△ACD
证明：∵,
,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴△∽△
19.解析：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴，
∵BO＝6，
∴AO＝10；
(2)∵△OBD∽△OAC，
，
∴，
∵,
∴
20.解析：（1）∵,
∴,
∵,
∴△BDE∽△BCA,
(2)∵,
∴,
∵,
∴△BDE∽△BCA,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∴
21.解析：（1）证明：
又
（2）
由（1）知
，即
22.解析：（1）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝=，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴， 即
∴AG＝；
（2）①∵，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG；
②∵是的中点，
∴=1，
∵在Rt△ADM中，AM2 DM2＝AD2，DM＝MG，
∴（DM＋1）2 DM2＝22，
解得：DM＝，
∴CM＝CD DM＝2 ＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴，即
∴BF＝．
23.解析：（1）∵， ∴,
∵，∴，
∴∽，∴，
∵，
∴，
∴.
（2）作交直线于，
∴,
∵,∴,
∴,
∵,
∴,
∴∽,
∴
∵，∴设，，，
∴，
∵,
∴∽，
∴.
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H.
∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥FH，
∴,，
∴，
∵DM=CM，∴HE=EF=4，
在Rt△CEH中，CH=，
∵△AEF∽△HEC，
∴，∴，
∴AE=5，
∴AC=AE+EC=8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴
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