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浙教版数学九下第一章解直角三角形单元测试提升卷（含答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．
【解答】解：
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
2．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AD⊥BC交BC延长线于D，解Rt△ABD，先由勾股定理得出AB＝5，再根据三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
【分析】由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米，由tan∠ABC＝可知AB＝，据此计算可得．
【解答】解：由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝900米，
∵tan∠ABC＝，
∴AB＝＝（米），
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2米，BC＝5米，，则AB＝（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用四边形DEBC是矩形，得出BE＝DC，DE＝BC，根据三角函数得出AD，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形DEBC是矩形，
∴BE＝DC＝2米，DE＝BC＝5米，
∵sinA＝，
∴，
∴AD＝13（米），
∴AE＝（米），
∴AB＝AE+BE＝12+2＝14（米），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB＝＝＝2，
解法二：AD＝2DT 由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
6．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE＝CD＝6米，AC＝DE．设BE＝x米，先解Rt△BDE，得出AC＝DE＝x米，再解Rt△ABC，得出AB＝3x米，然后根据AB﹣BE＝AE，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则四边形ACDE为矩形，
∴AE＝CD＝2×3＝6（米），AC＝DE．
设BE＝x米．
在Rt△BDE中，
∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝BE＝x（米），
∴AC＝DE＝x米．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝×x＝3x（米），
∵AB﹣BE＝AE，
∴3x﹣x＝6，
∴x＝3，
∴AB＝3×3＝9（米）．
即旗杆AB的高度为9米．
故选：C．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证BE＝BC＝AE．设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，再证△ABC∽△BEC，由相似三角形的性质可求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴AE＝2﹣2，
∴cosA＝＝＝，
解法二：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
∴E为AC上靠近C点的黄金分割点，
∴＝，
∴AE＝AC＝2（），
∵，
∴cosA＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出AE的长是解题的关键．
8．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，得BE＝CF，由坡比得BE＝CF＝DF＝CD＝6（米），AE＝2BE＝12（米），再由勾股定理解答即可．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝x，求出BC＝x，CD＝AD＝x，求出BD，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，能求出BD＝（+1）x是解此题的关键．
10．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
【分析】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．
【解答】解：延长QN交AE于H．
由题意AO＝AD＝DE＝，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH＝＝，
∴AH＝，
∴OH＝＝，DH＝AH＝AD＝，
∵△NHD∽△HAO，
∴＝＝，
∴DN＝1，HN＝，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．计算：2cos60°﹣sin30°+tan245°＝ ．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝2×﹣+12＝1﹣+1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提．
12．已知△ABC中，AB＝6，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 或 ．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝AB＝3，BD＝ABcosB＝3，
在Rt△ACD中，∵AC＝2，
∴CD＝＝＝，
则BC＝BD+CD＝3+＝4，
∴S△ABC＝ BC AD＝×4×3＝6；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD＝3，CD＝，
则BC＝BD﹣CD＝2，
∴S△ABC＝ BC AD＝×2×3＝3．
综上，△ABC的面积是3或6．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
13．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 1500 米．
【分析】过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，再求得MC的长、NC的长，进而求得AN的长．
【解答】解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，
则MN最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，
∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），
即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，
故答案为：1500．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
14．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是 ．
【分析】连接AE、BE．通过平行四边形的判定说明AE∥CD，从而得到∠EAB＝∠DPB．再利用勾股定理的逆定理判断△AEB的形状，最后求出sin∠BPD的值．
【解答】解：如图所示：连接AE、BE．
∵AC＝ED＝1，AC∥ED，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE∥CD．
∴∠EAB＝∠DPB．
∵BE＝AE＝＝，
AB＝＝＝2．
∴AB2＝AE2+BE2．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠EAB＝∠DPB＝45°．
∴sin∠BPD＝sin45°＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，题目综合性较强，构造平行四边形和直角三角形，把求sin∠BPD的值转化为求sin∠EAB的值是解决本题的关键．
15．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝ ﹣1 ．
【分析】如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．想办法用m表示出AD，再证明DE＝EC，推出＝，可得结论．
【解答】解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明DE＝EC，推出＝是解题的关键．
16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是 ．
【分析】在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，则GH＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，在Rt△AEG中，EC＝＝，再求出HC；在△BHC中，求得BC＝×，在Rt△BCD中，求得CD＝，进而求解．
【解答】解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
【点评】此题为解直角三角形综合题，解题的关键在于正确设定线段的长度，通过三角形边角之间关系，确定相应线段的长度，进而求解．
三．解答题（共8小题）
17．计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据实数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2+
＝2﹣2﹣+
＝0．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
【分析】在直角三角形ACD中，根据边角关系先求出AC、CD，再在直角三角形ABD中，求出AB的长．
【解答】解：在Rt△ACD中，sinC＝，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝．
在Rt△ABD中，
∵cosB＝，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
20．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
【分析】过点A作AG⊥CD于G，根据矩形的性质和三角形函数值得出DE，进而解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG tan30°，即CD﹣GD＝AG tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．2021年4月12日，中华人民共和国南部战区在中国南海军事实弹演习．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．
【分析】首先作CE⊥AB于E，根据题意可知AB＝1500，∠EAC＝28°，∠CBE＝45°，设CD＝x，则BE＝x，在Rt△ACE中，利用正切函数的定义求出x即可，进而求出结果．
【解答】解：过点C作CE⊥AB的延长线于E，依题意得：AB＝1500，∠EAC＝28°，∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝45°＝∠CBE，
∴CE＝BE，
设CE＝x，则BE＝x，
在Rt△ACE中，
∵tan∠EAC＝tan28°＝＝≈0.53，
解得：x≈1691，
∴1691.49+500＝2191.49≈2191（米），
答：海底C点处距离海面DF的深度约2191米．
【点评】此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，正确理解俯角的定义，利用三角函数和已知条件构造出方程是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，求tan∠CAD的值．
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据tanB＝设AD＝5x，AB＝3x，证△CDE∽△BDA，得出比例式，求出CE＝x，DE＝x，求出AE＝x，解直角三角形得出即可．
【解答】解：如图，作CE⊥AD，
∴∠CED＝90°
又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE
∴△CDE∽△BDA，
∵DC＝BD
∴＝＝＝，
∵tan B＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∴CE＝x，DE＝x，
∴tan∠CAD＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．
23．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【分析】（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽＝矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长＝6，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）由锐角三角函数的定义进行解答．
【解答】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE＝3或3或；
（3）∵由图可计算AC＝，
∴AB＝，
设AC边上的高为h．则有 3 h＝ 3 6，
∴h＝
∴sin∠BAC＝＝．
【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．
24．如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．
【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，得到BD⊥DE，利用CA平分∠BCE和OA＝OC，求出∠OAC＝∠ACE，进而得到AO∥DE，即可证明AO⊥BD；
（2）延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB，设AH＝3a，AO＝OB＝r，根据勾股定理求出r＝a，以及OH的长，再利用相似算出AF的长，根据锐角三角函数计算出TO和AT，进而算出FT即可求出tan∠AFO．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥DE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACE＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠ACE，
∴AO∥DE，
∴AO⊥BD；
（2）解：延长AO交BD于点H，延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB于点T，
∵tan∠ACE＝tan∠ABD＝，
∴设AH＝3a，AO＝OB＝r，则BH＝2a，OH＝3a﹣r，
在Rt△ABC中，r2＝（2a）2+（3a﹣r）2，
解得r＝a，
∴OH＝a，
∵BG是直径，
∴∠GBD＝90°，
∴AH∥GB，
∴△DHO∽△DBG，△GBF∽△OAF，
∴＝＝，BG＝a，
∴＝＝，
∴AF＝AB＝a，
∵TO＝AOsin∠BAH＝a，AT＝AOcos∠BAH＝a，
∴FT＝AF﹣AT＝a，
∴tan∠AFO＝＝．
【点评】本题主要考查圆周角定理和解直角三角形，会根据已知条件作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
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浙教版数学九下第一章解直角三角形单元测试提升卷（含答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
2．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2米，BC＝5米，，则AB＝（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
6．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A． B． C． D．
10．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：2cos60°﹣sin30°+tan245°＝ ．
12．已知△ABC中，AB＝6，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 ．
13．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 米．
14．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是 ．
15．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是 ．
三．解答题（共8小题，第17至22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分）
17．计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
18．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
19．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
20．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
21．2021年4月12日，中华人民共和国南部战区在中国南海军事实弹演习．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．
22．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，求tan∠CAD的值．
23．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
24．如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．
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