2021-2022学年浙教版 九年级数学上册第四章相似三角形培优测试卷（Word版含答案）

浙教版2021-2022学年九年级数学上册第四章相似三角形培优测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，已知l3∥l4∥l5 ， 它们依次交直线l1、l2于点E，A，C和点D，A，B，如果AD=2，AE=3，AB=4，那么CE=（ ）
A. 6 B. C. 9 D.
3.已知 ，那么下列等式一定成立的是（ ）
A. x＝2，y＝3 B. C. D.
4.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ）
A. 米 B. 3米 C. 2米 D. 1.5米
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
6.如图表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中DG与EF交于H点．若∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=40°，则下列哪一组三角形相似（　　）
A. △BDG，△CEF B. △ABC，△CEF C. △ABC，△BDG D. △FGH，△ABC
7.在比例尺为1∶40000的工程示意图上，无锡地铁一号线的长度约为54.3cm，则它的实际长度约为 （ ）
A. 0.2172km B. 2.172km C. 21.72km D. 217.2km
8.如图所示，△ABC∽△DEF 其相似比为K , 则一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A. 0.5 B. 4 C. 2 D. 1
9.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（共10题；共30分）
11.如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是________．
12.如图，已知直线 ，分别交直线m、n 于点 A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为________cm.
13.如图，△ABC中，D是边AB上一点，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件，你所添加的条件是________．
14.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是________
15.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________．
16.如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为________ ．
17.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为________．
18.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE=________
19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于________．
20.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为________．
三、解答题（共9题；共90分）
21.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．
22.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求这个长方形零件PQMN面积S的最大值．
23.如图，在△ABC中，∠B 90°，AB 4，BC 2，以AC为边作△ACE，∠ACE 90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD 5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
24.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，12),B(16，0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。
⑴求直线AB的解析式；
⑵求t为何值时，△APQ与△AOB相似？
⑶当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
⑷当t为何值时，△APQ的面积最大，最大值是多少？
25.如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且 = ．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AD2=DG DE，求证： = ．
26.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象过点A（1，6）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例函数 图象的另一个交点为B，与x轴交于点P，若AP=2PB，求点P的坐标．
27.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
28.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y= （x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．
29.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝ ，求⊙O的半径．
答案
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】2:3
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：3，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：3．
故答案为：2：3.
【分析】因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以可得其相似比是2：3，而其对应的角平分线的比等于相似比，所以它们对应的角平分线比是2：3．
12.【答案】6
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵ ，∴ ，即 ，解得，EF=6.【分析】根据平行线分线段成比例，结合题中所给的数据建立比例关系，即可得到EF的长度。
13.【答案】∠ACD=∠B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠CAD，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或 时，△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或 ．
【分析】观察图形。图形中隐含公共角∠A，要证明△ABC∽△ACD，利用相似三角形的判定定理：有两组对应角相等的两三角形相似，因此可添加另外的两组对应角相等；两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可添加AD、AC、AC、AB对应成比例，就可解决问题。
14.【答案】
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=AD=x．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴
即y2=x2 ．
∴x：y=：1．
故答案为：：1．
【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
15.【答案】
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=BM= AB= ，OM= BC=4．
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，∴ ，
∴ ，
∴AF= ．
故答案为： ．
【分析】过O点作OM∥AD，根据平行四边形的性质，可证得OM是△ABD的中位线，就可求出AM、OM的长，再根据平行得三角形相似，去证明△AEF∽△MEO，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例，从而可求出AF的长。
16.【答案】　∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 　
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 ．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
17.【答案】1：4
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方。
18.【答案】2：3
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ ）2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积= ，得到AB：DE═2：3．
19.【答案】78
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20，
∴
BC=25
∴△ABC的面积=ABAC=×15×20=150
∵CD=AC-AD=20-5-15
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°
∠C=∠C
∴△CDE∽△CBA
即CE:20=15：25
解之：CE=12
∴BE=BC-CE=13
∵S△ABE：S△ABC=BE:BC=13：25
∴S△ABE：150=13：25
解之：S△ABE=78
故答案为：78
【分析】根据题意，利用勾股定理求出BC的长，就可求出△ABC的面积，再证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CE的长，从而求出BE的长，然后根据S△ABE：S△ABC=BE:BC，建立方程，求出△ABE的面积即可。
20.【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC ，
即∠B=∠C ， ∠BAP=∠DPC ，
∴△BAP∽△CPD ，
∴ = ，
∵AB=BC=3，CP=BC-BP=3-1=2，BP=1，
即 = ，
解得：CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC ， 证△BAP∽△CPD ， 得出 = ，代入求出即可．
三、解答题
21.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE=．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．
22.解：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80﹣x． ∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴ = ．
因此， = ．
解得a=120﹣ x．
所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120﹣ x）=﹣ x2+120x．
当x=﹣ =40时，a=60．
S最大值=40×60=2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2
23.解：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ .
∵ CE=AC，
∴ .
∵ CD=5，
∴ .
∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，
∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.
∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC∽△CED.
24.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得
解得：
所以，直线AB的解析式为y=-x+12；
（2）由AO=12，BO=16得AB=20，
所以AP=t，AQ=20-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以，
解得t=（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以，
解得t=（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）过Q点作QE⊥Y轴于点E，
由△AQE∽△AOB知：
即：
解得：QE=
又S△APQ=
解得：t1=2,t2=8
(4)∵QE=16-t
∴S△APQ=AP QE=t(16-t)=-t2+8t=-（t-5）2+20
∴当t=5时，△APQ的面积最大，最大面积是20个平方单位．
25.（1）证明：∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG，
∴ ，
∵ = ，
∴ ，
∴AB∥CD
（2）证明：∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG，
∴ ，
∴ = ，
∴ = ，
∵AD2=DG DE，
∴ = ，
∵AD∥BC，
∴ = ，
∴ = ．
26.（1）解：∵反比例函数 的图象过点A（1，6），
∴k=1×6=6，
∴反比例函数的表达式为：y=
（2）解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵AC∥BD，
∴△APC∽△BPD，
∴ ，
∵AP=2PB，
∴AC=2BD，
∵AC=6，
∴BD=3，
∴B的纵坐标为﹣3，
代入y= 得，﹣3= ，解得x=﹣2，
∴B（﹣2，﹣3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=3x+3，
令y=0，则求得x=﹣1，
∴P（﹣1，0）．
27（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；
（2）解：连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
28.（1）解：在矩形OABC中，
∵B（4，6），
∴BC边中点D的坐标为（2，6），
∵又曲线y= 的图象经过点（2，6），
∴k=12，
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为4，
∵y= 经过点E，
∴E点纵坐标为3，
∴E点坐标为（4，3）
（2）解：由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，
∴ = ，即 = ，
∴CF= ，
∴OF= ，即点F的坐标为（0， ），
设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0， ），
∴ ，解得 ，
∴直线BF的解析式为y= x+
29（1）证明：∵DC2＝CE·CA，
∴，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE~△CAD，
∴∠CDE=∠CAD，
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴CD=CB.
（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，
由（1）知CD=CB，
∴弧CD=弧CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴，
∵PB＝OB，
∴PB=OB=OA=r，PO=2r，
∴=2，
∵CD=2，
∴PC=4，PD=PC+CD=6，
又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，
∴∠PCB=∠PAD，
∵∠CPB=∠APD，
∴△PCB~△PAD，
∴，
即，
解得：r=4.
即⊙O的半径为4.