2021-2022学年浙教版九年级上第3章 圆的基本性质单元测试（1）（含解析）

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浙教版九年级上第3章 圆的基本性质单元测试（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021 婺城区校级开学）若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A外 C．P在⊙A内 D．不确定
2．（2021 兴化市模拟）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
3．（2021 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
4．（2020秋 巩义市期末）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．75° C．65° D．60°
5．（2021秋 江阴市期中）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
7．（2021 越秀区校级四模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的一个外角∠CBE＝56°，则∠AOC的度数为（　　）
A．56° B．124° C．112° D．146°
8．（2021 眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　　）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
9．（2021 安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（　　）
A． B． C． D．3
10．（2020春 海淀区校级月考）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　 　°．
12．（2021秋 海珠区校级期中）如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合，旋转中心是 　 　，旋转角为 　 　度．
13．（2021 济宁一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为　 　．
14．（2020 娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　 　米．
15．（2021 惠阳区二模）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝3，则的长为 　 　．
16．如图，点C是扇形OAB上的的任意一点，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AC，BC，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021秋 香洲区校级期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），若将△ABC绕点O逆时针旋转90°．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点A坐标为 　 　，B1坐标为 　 　，C1坐标为 　 　．
18．（8分）（2021 商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
19．（8分）（2021 徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
20．（10分）（2021春 永嘉县校级期末）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
21．（10分）（2020秋 拱墅区校级期中）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）求△BEC的面积．
22．（12分）（2020秋 红谷滩区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
23．（12分）已知：⊙O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，若AC⊥BD，点O到AD的距离为a，求证：BC＝2a；
（2）如图2，若＝，AD是⊙O的直径，AD＝25，CD＝7，求四边形ABCD的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2021 婺城区校级开学）若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A外 C．P在⊙A内 D．不确定
【解析】解：∵AP＝2＜5，
∴点P在⊙A内部．
故选：C．
2．（2021 兴化市模拟）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
【解析】解：S扇形＝＝9π，
故选：D．
3．（2021 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【解析】解：∵∠AOB和∠C都对，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故选：B．
4．（2020秋 巩义市期末）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．75° C．65° D．60°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：C．
5．（2021秋 江阴市期中）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解析】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，本说法错误；
②任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；
③长度相等的两条弧不一定是等弧，本说法错误；
④直径是圆中最长的弦，本说法正确；
故选：D．
6．（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
【解析】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
7．（2021 越秀区校级四模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的一个外角∠CBE＝56°，则∠AOC的度数为（　　）
A．56° B．124° C．112° D．146°
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠CBE+∠ABC＝180°，∠CBE＝56°，
∴∠ADC＝∠CBE＝56°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝112°，
故选：C．
8．（2021 眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　　）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
9．（2021 安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（　　）
A． B． C． D．3
【解析】解：如图，连接AD，OC．
∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵D是的中点，
∴＝，
∴AD＝DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝2，
故选：A．
10．（2020春 海淀区校级月考）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【解析】解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．（2021 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　32　°．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
12．（2021秋 海珠区校级期中）如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合，旋转中心是 　点A　，旋转角为 　90　度．
【解析】解：从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，即为90°，
故答案为：点A；90．
13．（2021 济宁一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为　4　．
【解析】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝4，
故答案为：4．
14．（2020 娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　300　米．
【解析】解：设线段AB对应的圆心角度数为n，
∵100π＝＝，
∴n＝60°，
又AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝300（米），
故答案为：300．
15．（2021 惠阳区二模）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝3，则的长为 　　．
【解析】解：连接AC，AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝3，
∵将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，
∴A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，
∴∠FAC＝45°，
∴的长是＝，
故答案为：．
16．如图，点C是扇形OAB上的的任意一点，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AC，BC，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于　　．
【解析】解：连接AB，如图，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴AE＝CE，BF＝CF，
∴EF为△CAB的中位线，
∴EF＝AB，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴AB＝OA＝2，
∴EF＝．
故答案为．
三．解答题
17．（2021秋 香洲区校级期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），若将△ABC绕点O逆时针旋转90°．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点A坐标为 　（﹣4，4）　，B1坐标为 　（﹣1，1）　，C1坐标为 　（﹣1，3）　．
【解析】解：（1）如图△A1B1C1即为所求；
（2）点A1坐标为（﹣4，4），B1坐标为（﹣1，1），C1坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣4，4），（﹣1，1），（﹣1，3）．
18．（2021 商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
【解析】解：作半径OD⊥AB交AB于C，连接OB，如图所示，
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
19．（2021 徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
【解析】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
20．（2021春 永嘉县校级期末）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
【解析】（1）证明：∵C是的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF＝2.8．
21．（2020秋 拱墅区校级期中）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）求△BEC的面积．
【解析】解：（1）∵OD⊥AC，AC＝6，
∴AD＝3，
∵OD＝，
∴OA＝4，
∴⊙O的直径＝8；
（2）过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD＝AC＝3，BC＝＝＝2，
∴S△BEC＝×BC×EF＝×3＝3．
22．（2020秋 红谷滩区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8．
②连接 OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣××4
＝π﹣16
23．已知：⊙O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，若AC⊥BD，点O到AD的距离为a，求证：BC＝2a；
（2）如图2，若＝，AD是⊙O的直径，AD＝25，CD＝7，求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）证明：如图1中，作直径AF，连接DF，过点O作OG⊥AD于G．
∵AF是直径，
∴∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠F＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CAB+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝∠F，
∴∠FAD＝∠CAB，
∴＝，
∴BC＝DF，
∵OG⊥AD，
∴AG＝DG，
∵AO＝OF，
∴DF＝2OG＝2a，
∴BC＝2a．
（2）解：如图2中，连接OB交AC于点Q．
∵＝，
∴OB⊥AC，
∴AQ＝CQ，
∵AO＝OD，
∴OQ＝CD＝，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝25，
∴OB＝AD＝，
∴BQ＝OB﹣OQ＝9，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝×AC×CD+×AC×BQ＝×7×24+×24×9＝192．
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