2021-2022学年浙教版九年级上第3章 圆的基本性质单元测试（2）（含解析）

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浙教版九年级上第3章 圆的基本性质单元测试（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021 常州）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．（2021 醴陵市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．50° B．60° C．25° D．30°
3．（2021春 聊城期末）如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）
A．0.5 B． C．1 D．
4．（2020秋 金乡县期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020秋 龙泉驿区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．4
6．（2020 沭阳县模拟）如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．3π
7．（2021 贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．1
8．（2021 淄川区一模）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
9．（2021 山西模拟）如图，扇形AOB的圆心角是45°，正方形CDEF的顶点分别在OA，OB和弧AB上．若OD＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021秋 江汉区期中）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝5，PB＝1，则PC的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021秋 诸暨市月考）若一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 　 　cm．
12．（2021 松北区三模）已知一个扇形的弧长为20π，面积为240π，则此扇形的圆心角是　 　．
13．（2021春 兴化市期末）如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为 　 　．
14．（2021 金坛区模拟）如图，∠EBC是⊙O内接四边形也ABCD的一个外角，若∠CBE＝60°，则∠ADC＝　 　°．
15．（2020秋 崇川区期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝　 　．
16．（2021 江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 　 　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
18．（8分）（2020秋 望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
19．（8分）（2021 蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
20．（10分）（2020 河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
21．（10分）（2021 雨花区二模）如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
22．（12分）（2020秋 永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
23．（12分）（2020 贵阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：∠DBA＝∠CAD；
（2）若的长度为2π，求∠AEB的度数．
答案与解析
一．选择题
1．（2021 常州）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解析】解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
2．（2021 醴陵市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．50° B．60° C．25° D．30°
【解析】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠CDB）＝（180°﹣130°）＝25°，
故选：C．
3．（2021春 聊城期末）如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）
A．0.5 B． C．1 D．
【解析】解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2+，
∴x+x+x＝2+，
解得x＝＝，
∴正八边形的边长为，
故选：D．
4．（2020秋 金乡县期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：①正确；
②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；
③圆中90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
5．（2020秋 龙泉驿区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．4
【解析】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
6．（2020 沭阳县模拟）如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．3π
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，
即的长是3+3＝6，
∴扇形DAB的面积是6×3＝9，
故选：C．
7．（2021 贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．1
【解析】解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
故选：A．
8．（2021 淄川区一模）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
【解析】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
9．（2021 山西模拟）如图，扇形AOB的圆心角是45°，正方形CDEF的顶点分别在OA，OB和弧AB上．若OD＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：∵∠O＝45°，四边形CDEF是正方形，
∴∠CDO＝90°，△COD是等腰直角三角形，
∴DE＝EF＝OD＝2，
连接OF，
Rt△EOF中，OE＝4，EF＝2，
∴OF＝＝2．
∴扇形AOB的面积是＝，
正方形CDEF的面积是2×2＝4，
等腰三角形COD的面积是×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣4﹣2＝﹣6．
故选：B．
10．（2021秋 江汉区期中）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝5，PB＝1，则PC的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
【解析】解：连接AC、BC，过点C作CQ⊥BP，交BP的延长线于点Q，
∵AB为直径，C为半圆的中点，
∴CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴BC＝AB＝×5＝5，
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠CPB+∠CAB＝180°，
∵∠CPB+∠CPQ＝180°，
∴∠CPQ＝∠CAB＝45°，
又∵CQ⊥BP，
∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
∴PQ＝CQ＝PC，
∴BQ＝BP+PQ＝1+PC，
在Rt△BCQ中，BQ2+CQ2＝BC2，
即+＝52，
解得，PC＝3或PC＝﹣4（舍去），
∴PC＝3，
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 诸暨市月考）若一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 　13　cm．
【解析】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝13（cm），
∴这个三角形的外接圆的直径长为13cm，
故答案为：13．
12．（2021 松北区三模）已知一个扇形的弧长为20π，面积为240π，则此扇形的圆心角是　150°　．
【解析】解：设扇形弧长为l，面积为s，圆心角为n，半径为r．
∵＝240π，
∴×20π×r＝240π，
∴r＝24，
∵＝240π，
∴＝240π，
∴n＝150°，
故答案为150°．
13．（2021春 兴化市期末）如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为 　24　．
【解析】解：连接OC，如图所示：
∵直径AB＝26，
∴OC＝OB＝13，
∵OE：BE＝5：8，
∴OE＝5，BE＝8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∴CE＝＝＝12，
∴CD＝2CE＝24，
故答案为：24．
14．（2021 金坛区模拟）如图，∠EBC是⊙O内接四边形也ABCD的一个外角，若∠CBE＝60°，则∠ADC＝　60　°．
【解析】解：∵∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠CBE＝60°，
∴∠ADC＝∠CBE＝60°，
故答案为：60．
15．（2020秋 崇川区期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝　32+16或32﹣16　．
【解析】解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝8，
在△OBD中，OD＝＝4，
当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8+4，此时△ABC的面积＝×8×（8+4）＝32+16；
当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8﹣4，此时△ABC的面积＝×8×（8﹣4）＝32﹣16．
综上所述，△ABC的面积为32+16或32﹣16．
故答案为32+16或32﹣16．
16．（2021 江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 　6π　．
【解析】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3，
∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，
故答案为6π．
三．解答题
17．（2021 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【解析】解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
18．（2020秋 望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
【解析】解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
19．（2021 蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
【解析】（1）证明：连接BD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；
（2）解：连接OD交AC于H，
∵＝，OD过O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D为的中点，OD过O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH＝BC，
∴BC＝2OH＝6．
20．（2020 河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
【解析】解：（1）∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
21．（2021 雨花区二模）如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
【解析】（1）解：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠BEC＝∠BAC＝30°．
（2）证明：连接BM．
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM＝15°，
∴∠MBC＝∠CAM＝15°，
∵BE⊥AC，
∴∠BDG＝∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝∠BGD＝75°，
∵∠M＝∠ACB＝75°，
∴∠M＝∠BGD＝75°，
∴BG＝BM，
∵BD⊥GM，
∴DG＝DM．
22．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
【解析】（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．
23．（2020 贵阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：∠DBA＝∠CAD；
（2）若的长度为2π，求∠AEB的度数．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DBA＝∠CAD；
（2）解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∵的长度为2π，
设∠BOC＝n°，
∴＝2π，
∴n＝90，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ABC＝22.5°，
∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．
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