2021-2022学年浙教版九年级上第4章 相似三角形单元测试（1）（含解析）

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浙教版九年级上第4章 相似三角形单元测试（1）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021 安徽模拟）如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．2
2．（2021 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．（2021春 泰山区期末）下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
4．（2019秋 滨湖区期末）若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
5．（2021 湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
6．（2021春 芝罘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020秋 松北区期末）如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．（2018秋 仁寿县校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④EF2＝CF AF，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021 蚌埠二模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．
10．（2020 拱墅区四模）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（　　）
A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 　 　．
12．（2020春 南召县月考）已知x：y：z＝2：3：4，且x+y﹣z＝2，那么x+y+z＝　 　．
13．（2021秋 宜兴市月考）已知线段AB＝10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长是 　 　．（保留根号）
14．（2021 常州模拟）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为　 　．
15．（2021 津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　 　米．
16．（2020秋 北海期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　 　时，△BPQ与△BAC相似．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021秋 济南期中）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，法线FE⊥AC，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．
18．（8分）（2021春 周村区期末）如图，在直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心将△AOB放大，得到△A2OB2，使△A2OB2与△AOB的相似比为2：1，画出一个满足条件的△A2OB2．
19．（8分）（2021春 饶平县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC．求证：．
20．（10分）（2021秋 灯塔市校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，点F是AC上一点，且∠ADB＝∠FDC＝∠ACB．
（1）求证：△ADF∽△BDC；
（2）若AB＝4，CD＝9，CF＝6，求BD的长．
21．（10分）（2020秋 沈北新区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
22．（12分）（2020秋 庐阳区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC、OC，过点B作BG⊥OC交OC于点E，交AC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：∠CAB＝∠CBG；
（2）求证：BC2＝AB CE．
23．（12分）（2021春 泰山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021 安徽模拟）如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．2
【解析】解：∵，
∴3（a﹣b）＝a，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：B．
2．（2021 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴＝，
∴DE＝，
故选：B．
3．（2021春 泰山区期末）下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
【解析】解：A、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
B、1×4＝2×2，故选项符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
D、×3≠×，故选项不符合题意．
故选：B．
4．（2019秋 滨湖区期末）若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
【解析】解：∵两个相似多边形的面积之比为4：9，
∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，
∴两个相似多边形的周长的比为2：3，
故选：B．
5．（2021 湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【解析】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，
∴EC＝EB+BC＝14，
∵AB⊥EC，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝10.5，
故选：C．
6．（2021春 芝罘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
7．（2020秋 松北区期末）如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴△EAG∽△EBF，△EAG∽△HDG，
∴，，故选项A、B成立，
∵CH∥BA，
∴，
∴，故选项C正确，
∵AG∥AC，CH∥BA，
∴，，
而无法证明是否成立，故选项D不一定成立，
故选：D．
8．（2018秋 仁寿县校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④EF2＝CF AF，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝AB，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＜，
∵tan30°＝，
∴∠BAE＜30°，
所以①错误；
∴＝2
∵CD＝4CF，
∴＝2，
∴＝，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
所以③正确；
∵＝2，＝＝2，
∴＝，
∵∠B＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，
所以②正确，
∵△ABE∽△AEF，△ABE∽△ECF，
∴△AEF∽△ECF，
∴＝，
∴EF2＝CF AF，
所以④正确；
故选：C．
9．（2021 蚌埠二模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．
【解析】解：∵S△ADC：S△BDC＝5：4，
∴S△BCD：S△ABC＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴AC＝6，
故选：B．
10．（2020 拱墅区四模）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（　　）
A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠BAF+∠DEA＝90°，
∴∠AFB＝∠DEA，
在△AFB和△DEA，
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴∠BAF＝∠ADE，BF＝AE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，
∴∠ADE＝∠BDE＝22.5°，
∵∠ABF＝∠AON＝90°，∠BAF＝∠NAO，
∴△ABF∽△AON，
∵∠BAN＝∠CAF，∠ABN＝∠ACF＝45°，
∴△BAN∽△CAF，
∴y＝
＝
＝
＝，
z＝
＝
＝，
∴y＝z，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴BE＝CF，
∴＝＝，
∵∠ADE＝22.5°，∠EAD＝90°，
∴∠AEM＝67.5°，∠AME＝∠ADE+∠MAD＝67.5°，
∴∠AEM＝∠AME，
∴AE＝AM，
过点M作MH⊥AD于点H，如图：
∵∠ADE＝22.5°，∠EDB＝45°，
∴∠MDO＝∠MDH＝22.5°，
∵MH⊥AD，MO⊥AC，
∴OM＝HM，
∵∠MAH＝45°，∠MHA＝90°，
∴AM＝HM＝OM，
∴AE＝OM，
∴BE＝AE＝2OM，
∴x＝＝2，
∴x＞y＝z．
二．填空题
11．（2021春 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 　4　．
【解析】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故答案为：4．
12．（2020春 南召县月考）已知x：y：z＝2：3：4，且x+y﹣z＝2，那么x+y+z＝　18　．
【解析】解：∵x：y：z＝2：3：4，
∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a，
故x+y﹣z＝2a+3a﹣4a＝a＝2，
故x＝4，y＝6，z＝8，
∴x+y+z＝4+6+8＝18．
故答案为：18．
13．（2021秋 宜兴市月考）已知线段AB＝10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长是 　　．（保留根号）
【解析】解：∵点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB＝×10＝5﹣5，
∴AC＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
14．（2021 常州模拟）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为　（3，﹣1）　．
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，E（﹣6，2），
∴点E的对应点E1的坐标为（6×，﹣2×），即（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
15．（2021 津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　9　米．
【解析】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
16．（2020秋 北海期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　2或8　时，△BPQ与△BAC相似．
【解析】解：∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或8．
三．解答题
17．（2021秋 济南期中）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，法线FE⊥AC，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．
【解析】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△AEB∽△CED，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝12.8（米）．
答：教学楼AB的高度为12.8米．
18．（2021春 周村区期末）如图，在直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心将△AOB放大，得到△A2OB2，使△A2OB2与△AOB的相似比为2：1，画出一个满足条件的△A2OB2．
【解析】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；
（2）如图所示，△A2OB2即为所求．
19．（2021春 饶平县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC．求证：．
【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC＝AC：BC，
∴AD：DC＝AC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴＝，
∴．
20．（2021秋 灯塔市校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，点F是AC上一点，且∠ADB＝∠FDC＝∠ACB．
（1）求证：△ADF∽△BDC；
（2）若AB＝4，CD＝9，CF＝6，求BD的长．
【解析】（1）证明：∵∠ADB＝∠FDC＝∠ACB，
∴∠ADB+∠BDF＝∠FDC+∠BDF，∠FDC+∠DCF＝∠ACB+∠DCF，
∴∠ADF＝∠CDB，∠AFD＝∠DCB，
∴△ADF∽△BDC；
（2）解：∵△ADF∽△BDC，
∴，
又∵∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴，
∵AB＝4，CD＝9，CF＝6，
∴，
∴BD＝6．
21．（2020秋 沈北新区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
【解析】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
22．（2020秋 庐阳区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC、OC，过点B作BG⊥OC交OC于点E，交AC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：∠CAB＝∠CBG；
（2）求证：BC2＝AB CE．
【解析】（1）证明：如图，连接CG，
∵OC⊥BG，
∴C为BG中点，，
∴∠CGB＝∠CBG，
∵所対圆周角为∠CAB和∠CGB，
∴∠CAB＝∠CGB，
∴∠CAB＝∠CBG；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBE，
∴△CEB∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB CE．
23．（2021春 泰山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【解析】解：（1）∵∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，
∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，
∴∠1＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，
∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝3；
当DA＝DE时，如图2，
∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，
∴AC＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠C＝45°，∠BAC＝90°，
∵BC＝6，
∴，
∴，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为3或．
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